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Nom original: C2_EG1_2.pdfTitre: CHAP 2: Fonctions numériques d'une variable réelle Auteur: Ilham HAMOUD BOULALEH

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CHAP 2: Fonctions num´eriques d’une variable r´eelle
Ilham HAMOUD BOULALEH
Universit´
e de Djibouti
Enseignante en Math´
ematique

EG 1 Math´ematique 1: ANALYSE
Ann´ee 2013-2014

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 26

Sommaire
1
2

3

4

5
6

Notion de fonction
D´eriv´ees
Approximation affine
D´eriv´ee et Tangente
Fonction d´eriv´ee
D´eriv´ee d’une fonction compos´ee
Variation
Primitives
Int´egrale
D´eveloppements limit´es
Formule de Taylor-Young
Developpements limit´es usuels
Fonction logarithme, exponentielle, puissance
Fonction Logarithme
Logarithme de base a
Fonction exponentielle
Fonction puissance
I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 26

Sommaire
1
2

3

4

5
6

Notion de fonction
D´eriv´ees
Approximation affine
D´eriv´ee et Tangente
Fonction d´eriv´ee
D´eriv´ee d’une fonction compos´ee
Variation
Primitives
Int´egrale
D´eveloppements limit´es
Formule de Taylor-Young
Developpements limit´es usuels
Fonction logarithme, exponentielle, puissance
Fonction Logarithme
Logarithme de base a
Fonction exponentielle
Fonction puissance
I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 26

Notion de fonction

Une fonction est un proc´ed´e, `a une association entre des ´el´ements
d’un ensemble de d´epart et des ´el´ements d’un ensemble d’arriv´ee. Une
fonction associe `a chaque ´el´ement de l’ensemble de d´epart un ou
aucun (mais pas plus d’un) ´el´ement de l’ensemble d’arriv´ee. Dans
cette association, l’´el´ement consid`ere x de l’ensemble de d´epart est
appel´ee un ant´ec´edent et l’´el´ement de l’ensemble d’arriv´ee est appel´ee
l’image.
Le domaine de d´efinition d’une fonction f , not´ee Df est l’ensemble de
tous les ´el´ements de l’ensemble de d´epart qui ont une image par la
fonction f .

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 26

Sommaire
1
2

3

4

5
6

Notion de fonction
D´eriv´ees
Approximation affine
D´eriv´ee et Tangente
Fonction d´eriv´ee
D´eriv´ee d’une fonction compos´ee
Variation
Primitives
Int´egrale
D´eveloppements limit´es
Formule de Taylor-Young
Developpements limit´es usuels
Fonction logarithme, exponentielle, puissance
Fonction Logarithme
Logarithme de base a
Fonction exponentielle
Fonction puissance
I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 26

D´eriv´ees

D´efinition
Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I contenant x0 , f est dite
d´erivable en x0 .
(x0 )
existe et est un nombre r´eel, cette limite est
Si lim f (x0 +h)−f
h
h→0

appel´ee nombre d´eriv´ee de f en x0 et se note f 0 (x0 ).

Remarque
On a aussi :
f 0 (x0 ) = lim

x→x0

I.Hamoud Boulaleh ( )

f (x) − f (x0 )
x − x0

ANALYSE

EG 1 Math´
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Approximation affine
Une fonction est d´erivable en x0 s’il existe une fonction affine de
x − x0 qui r´ealise une approximation de f au voisinage de x0 ,
lim

x→x0


avec

f (x) − f (x0 )
= f 0 (x0 )
x − x0
f 0 (x) = f (x) + (x − x0 )f 0 (x0 ) + (x − x0 ) (x − x0 ),
lim (x − x0 ) = 0

x→x0

De mˆeme :
lim

h→0


avec

I.Hamoud Boulaleh ( )

f (x0 + h) − f (x0 )
= f 0 (x0 )
h
f (x0 + h) = f (x0 ) + hf 0 (x0 ) + h (h)
lim (h) = 0

h→0

ANALYSE

EG 1 Math´
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Approximation affine
Au voisinage de x0 , on a :
f (x0 + h) ' f (x0 ) + hf 0 (x0 ) pour h tr`es proche de x0 .
f (x) ' f (x0 ) + (x − x0 )f 0 (x0 ) pour tout x tr`es proche de x0 .

Exercice : Calculer `a la main une valeur approch´ee de ln(1.002).
f (x) = ln(x), f 0 (x) =
x0 + h
f (x0 + h)

=

1
x

et x0 = 1

1.002 ⇒ 1 + h = 1.002 ⇒ h = 1.002 − 1 ⇒ h = 0.002

f (x0 ) + hf 0 (x0 ) ⇒ f (1 + 0.002) = f (1) + 0.002 × f 0 (1)
1
⇒ f (1.002) = f (1) + 0.002 ×
1
⇒ ln(1.002) = ln(1) + 0.002
=

⇒ ln(1.002) = 0.002

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

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ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 26

D´eriv´ee et Tangente

D´efinition
La tangente T `a une courbe Cf en point M0 , si elle existe, est la
droite qui r´ealise la meilleure approximation de la courbe en M0 . Si Cf
est la courbe d’une fonction f et si T la tangente (non verticale) `a Cf
en M0 (x0 , f (x0 )), T est la droite de la meilleure approximation affine
de f au voisinage de x0 . L’´equation de T est alors :
y = f (x0 ) + (x − x0 )f 0 (x0 )

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 26

Fonction d´eriv´ee

D´efinition
Soit f une fonction d´efinie sur I. On dit que f est d´erivable sur I si
elle est d´erivable en tout x de I. L’application qui `a tout x de I
associe f 0 (x), le nombre d´eriv´ee de f en x , est appel´ee la fonction
d´eriv´ee de f not´ee f 0 .

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 26

D´eriv´ee `a connaˆıtre
Fonction
f (x) = K
f (x) = x n
f (x) = x1n

f (x) = x
f (x) = e x
f (x) = ln(x)
f =u+v
f =K u
f = uv
f = vu
f = un
f = u1

f = u
f =

1
un

I.Hamoud Boulaleh ( )

D´eriv´ee
f 0 (x) = 0
f (x) = nx n−1
f (x) = x−n
n+1
f 0 (x) = 2√1 x
f 0 (x) = e x
f 0 (x) = x1
f 0 = u0 + v 0
f 0 =K u 0
f 0 = u 0 v + uv 0
0
0
f 0 = u vv−uv
2
f 0 = nu 0 u n−1
0
f 0 = − uu2
u0
f 0 = 2√
u

Domaine de d´erivabilit´e
R
R
R∗ = R − {0}
R∗+
R
R∗+

0

f 0 = − unu
n+1
ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
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Th´eor`eme
Soit f une fonction d´erivable sur I et g d´erivable sur f (I). Alors g ◦ f
est d´erivable sur I.
(g ◦ f )0 (x) = f 0 (x) × g 0 (f (x)

Exemple :
f (x) = x 2 + 3 → f 0 (x) = 2x

1
g (x) =
x → g 0 (x) = √
2 x
g ◦ f (x) = g (f (x)) =

p

x2 + 3

1
(g ◦ f )0 (x) = f 0 (x) × g 0 (f (x)) = 2x × p
2 f (x)
1
x
(g ◦ f )0 (x) = 2x × √
=√
2 x2 + 3
x2 + 3
I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

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ematique 1: ANALYSE Ann´
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Th´eor`eme
Soit f une fonction d´efinie et d´erivable sur I.
Si f 0 (x) ≥ 0 sur I, alors f est croissante sur I ;
Si f 0 (x) ≤ 0 sur I, alors f est d´ecroissante sur I ;
Si f 0 (x) = 0 sur I, alors f est constante sur I.
Si f 0 (x) s’annule en x0 , on changera de signe, alors f ad`
uet un
extremum local en x0 c-a-d un minimum local ou maximum local.

Th´eor`eme
1- Si f admet sur I une d´eriv´ee seconde positive (f ”(x) ≥ 0) sur I,
alors f est convexe.
2- Si f ”(x) ≤ 0 sur I, alors f est concave sur I.

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

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ematique 1: ANALYSE Ann´
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/ 26

Sommaire
1
2

3

4

5
6

Notion de fonction
D´eriv´ees
Approximation affine
D´eriv´ee et Tangente
Fonction d´eriv´ee
D´eriv´ee d’une fonction compos´ee
Variation
Primitives
Int´egrale
D´eveloppements limit´es
Formule de Taylor-Young
Developpements limit´es usuels
Fonction logarithme, exponentielle, puissance
Fonction Logarithme
Logarithme de base a
Fonction exponentielle
Fonction puissance
I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 26

Primitives :D´efinition et propri`et´e
Soit F et f deux fonctions d´efinies sur I. F est une primitive de f sur
I, alors toutes les primitives de f sur I sont de la forme F +constante.

Exemple :
f (x) = 2x
Toutes les primitives de f sur R sont de la forme x 7→ x 2 + k.

Th´eor`eme
Si f est continue sur I, alors f admet des primitives sur I.

Th´eor`eme
Si f est une fonction continue sur I et x0 ∈ I, alors il existe une et
une primitive F tels que F (x0 ) = y0 pour tout x0 ∈ I et y0 ∈ R.

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

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Int´egrale : D´efinition et propri`et´e
Soit f une fonction continue sur [a, b], f est int´egrable sur [a, b] et
Z b

f (x) dx = F (b) − F (a) o`
u F est la

l’int´egrale de f sur [a, b] est
a

primitive de f sur [a, b].

Exemple :
Z 2

2x dx = F (2) − F (1) = 4 − 1 = 3

1

f (x) = 2x → F (x) = x 2

Th´eor`eme
Z x

Si f est continu sur [a, b], la fonction F (x) =
primitive de f qui s’annule en a.
I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

f (t) αt est la
a

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 26

Sommaire
1
2

3

4

5
6

Notion de fonction
D´eriv´ees
Approximation affine
D´eriv´ee et Tangente
Fonction d´eriv´ee
D´eriv´ee d’une fonction compos´ee
Variation
Primitives
Int´egrale
D´eveloppements limit´es
Formule de Taylor-Young
Developpements limit´es usuels
Fonction logarithme, exponentielle, puissance
Fonction Logarithme
Logarithme de base a
Fonction exponentielle
Fonction puissance
I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

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Formule de Taylor-Young
On sait qu’une fonction est d´erivable etadmet f 0 (x) comme nombre
d´eriv´e en x0 si et seulement si :
lim

h→0

f (x0 + h) − f (x0 )
= f 0 (x0 ) ⇔ f (x0 +h) = f (x0 )+hf 0 (x0 )+h (x0 )
h

avec lim (h) = 0
h→0

Th´eor`eme
Si une fonction f admet des d´eriv´ees jusqu’`a l’ordre n en x0 alors il
existe un intervalle I contenant x0 tel que : ∀h ∈ I,
h
h2
h3
hn
f (x0 +h) = f (x0 )+ f 0 (x0 )+ f ”0 (x0 )+ f 3 (x0 )+...+ f n (x0 )+hn (h)
1
2
3!
n!
avec lim (h) = 0.
h→0

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ANALYSE

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Developpements limit´es usuels

Voici les principaux D.L au voisinage de 0 `a connaˆıtre :
1
1−x

= 1 + x + x 2 + ... + x n + x n (x)

x2
xn
+ ... +
+ x n (x)
2
n!
xn
x2 x3
+
+ ... + (−1)n−1 + x n (x)
ln(1 + x) = x − x
2
3
n
2
α(α − 1)(α − 2)x 3
α(α − 1)x
+
+ ...
(1 + x)α = 1 + αx +
2!
3!
α(α − 1)(α − 2)...(α − (n − 1)) n
+
x + x n (x)
n!
ex

= 1+x +

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

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Sommaire
1
2

3

4

5
6

Notion de fonction
D´eriv´ees
Approximation affine
D´eriv´ee et Tangente
Fonction d´eriv´ee
D´eriv´ee d’une fonction compos´ee
Variation
Primitives
Int´egrale
D´eveloppements limit´es
Formule de Taylor-Young
Developpements limit´es usuels
Fonction logarithme, exponentielle, puissance
Fonction Logarithme
Logarithme de base a
Fonction exponentielle
Fonction puissance
I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

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Sommaire
1
2

3

4

5
6

Notion de fonction
D´eriv´ees
Approximation affine
D´eriv´ee et Tangente
Fonction d´eriv´ee
D´eriv´ee d’une fonction compos´ee
Variation
Primitives
Int´egrale
D´eveloppements limit´es
Formule de Taylor-Young
Developpements limit´es usuels
Fonction logarithme, exponentielle, puissance
Fonction Logarithme
Logarithme de base a
Fonction exponentielle
Fonction puissance
I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

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Fonction logarithme
D´efinition
On appelle fonction logarithme n´eperien, not´ee la primitive sur
]0, +∞[ de la fonction x 7→ x1 qui s’annule en 1.

Propri`et´es :
⇒ ln1 = 0, ln(e) = 1
⇒ ln(a + b) = ln(a) × ln(b);
ln( ba ) = ln(a) − ln(b) ;
ln(an ) = n × ln(a) ;
ln( 1a ) = −ln(a)
⇒ lim ln(x) = −∞
x→0

lim ln(x) = +∞

x→+∞

lim ln(x ) = 0
x→+∞ x
lim x n ln(x) = 0 ; lim ln(1+x)
x
x→0
x→0
I.Hamoud Boulaleh ( )

=1

ANALYSE

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Logarithme de base a

D´efinition
Soit a un r´eel strictement positif et diff´erent de 1 ( a > 0 et a 6= 1).
Le logarithme de base a est la fonction d´efinie sur ]0, +∞[ et not´e
loga :
ln(x)
loga (x) =
ln(a)

Exemple :
f (x) = log5 (x). Calculer f 0 (x). Nous avons f (x) =
1
1
f 0 (x) = x1 × ln(5)
= xln(5)

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

ln(x)
ln(5)

;

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Fonction exponentielle
D´efinition
la fonction ln est une fonction bijective de ]0, +∞[ dans R. Elle
admet une fonction r´eciproque. Sa r´eciproque est appel´ee fonction
exponentielle de base e et est not´ee exp(x) ou e x .

Propri`et´es :
e 1 ' 2.718; e 0 = 1
e ln(x) = x et ln(e x ) = x
e x+y = e x e y
e −x = e1x
(e x )n = e nx
lim e x = 0 et

x→−∞

x
lim e n
x→+∞ x
x
lim e x−1
x→0

lim e x = +∞

x→+∞

= +∞
=1

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

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Exponentielle de base a
D´efinition
Soit a > 0 et a 6= 1. La fonction log est une fonction bijective de
]0, +∞[ dans R. Elle admet une fonction r´eciproque appel´ee fonction
exponentielle de base a not´ee expa (x) ou ax .
loga (ax ) = x et aloga (x) = x
x

ax = e ln(a ) = e xln(a)

Exemple :
f (x) = (0.7)x
Calculer la d´eriv´ee de f .
f 0 (x) = ln(0.7)e xln(0.7)
I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

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Fonction puissance et propri`et´es

D´efinition
Pour tout r´eel α, on appelle fonction puissance α la fonction fα
d´efinie sur ]0, +∞[ par fα (x) = x α = e αln(x) .

Propri`et´es :
x n+m = x n × x m
x −n =

1
xn
n
x n−m = xxm
(xy )n = x n

I.Hamoud Boulaleh ( )

× yn

ANALYSE

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