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Nom original: EG1.pdf
Titre: CHAP I: Généralités sur les ensembles et applications
Auteur: Ilham HAMOUD BOULALEH

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CHAP I: G´en´eralit´es sur les ensembles et applications
Ilham HAMOUD BOULALEH
Universit´
e de Djibouti
Enseignante en Math´
ematique

EG 1 Math´ematique 1: ANALYSE
Ann´ee 2013-2014

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 24

Sommaire

1

Ensemble

2

Op´eration sur les ensembles

3

Application entre deux ensembles

4

Application injective, surjective, bijective

5

Rappels sur les applications num´eriques d’une variable r´eelle

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 24

Sommaire

1

Ensemble

2

Op´eration sur les ensembles

3

Application entre deux ensembles

4

Application injective, surjective, bijective

5

Rappels sur les applications num´eriques d’une variable r´eelle

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 24

Ensemble
D´efinition
Un ensemble est une collection d’objets. Les objets d’un ensemble
sont appel´es les ´el´ements de cet ensemble.

Exemple
Les titres de la bourse de Londres, les 40 titres du CAC40, les
abonn´es du journal Le Monde etc...
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} l’ensemble des entiers naturels ;
Z = {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} l’ensemble des entiers r´elatifs ;
L’ensemble Q des nombres rationnels (c-`a-d les quotients des entiers
r´elatifs) ;
L’ensemble R des nombres r´eels (c-`a-d les nombres `a d´eveloppement
d´ecimal arbitraire).

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 24

Ensemble
Notation : On convient qu’il existe un ensemble sans ´el´ement. Cet
ensemble est not´e ∅.
Notation a ∈ A : Soit A un ensemble et a un ´el´ement de A. a ∈ A se
lit a appartient `a A.

D´efinition
Soit A et Bdeux ensembles. On dit que B est un sous-ensemble de A
si tous les ´el´ements de B sont des ´el´ements de A.
Notation B ⊂ A : Soit B un sous-ensemble de A. B ⊂ A se lit B est
contenu dans A.

Exemple
9
{− 21 , 4, 17
} est le sous-ensemble de Q constitu´e de 3 ´el´ements :
1
9
− 2 , 4, 17 .

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 24

Sommaire

1

Ensemble

2

Op´eration sur les ensembles

3

Application entre deux ensembles

4

Application injective, surjective, bijective

5

Rappels sur les applications num´eriques d’une variable r´eelle

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 24

Op´erations sur les ensembles
D´efinition
Soit E un ensemble, B et C deux sous-ensembles de E .
L’intersection de B et de C est le sous-ensemble de E , not´e
B ∩ C , d´efini par :
B ∩ C = {x ∈ E tel que x ∈ B ET x ∈ C }
Autrement dit, c’est l’ensemble form´e des ´el´ements de E `a la fois
dans B et dans C .
La r´eunion (ou l’union) de B et de C est le sous-ensemble de E ,
not´e B ∪ C , d´efini par :
B ∪ C = {x ∈ E tel que x ∈ B OU x ∈ C }
Autrement dit, c’est l’ensemble form´e des ´el´ements de E qui sont
dans B ou dans C .

le compl´ementaire de B dans E est le sous-ensemble de E , not´e
E − B, d´efini par :
E − B = {x ∈ E tel que x n’appartient pas `a B}
1 Math´
ematique
Autrement dit, c’est l’ensemble
form´e des ´eEG
l´ements
de E1: ANALYSE
qui ne Ann´e/e24201
I.Hamoud Boulaleh ( )
ANALYSE

Op´erations sur les ensembles
D´efinition
Le cardinal d’un ensemble A est son nombre d’´el´ements. On le note
card(A).
Bien sˆ
ur, card(A) n’est d´efini que si A a un nombre fini d’´el´ements.
Formule : Soit B, C deux sous-ensembles de E .
card(B ∪ C )= card(B) + card(C ) − card(B ∩ C )
card(E − B)= card(E ) − card(B)

Exemple
B = {−6, −4, −2, 1, 2, 3} ⊂ Z
C = {−4, 1, 2, 5, 7} ⊂ Z
B ∩ C = {−4, 1, 2} et B ∪ C = {−6, −4, −2, 1, 2, 3, 5, 7}
Comme 8 = 6 + 5 − 3, on v´erifie bien la formule ci-dessus.
B ∪ C − B ∩ C = {−6, −2, 3, 5, 7}
B − B ∩ C = {−6, 2, 3} et enfin C − B ∩ C = {5, 7}
I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 24

Sommaire

1

Ensemble

2

Op´eration sur les ensembles

3

Application entre deux ensembles

4

Application injective, surjective, bijective

5

Rappels sur les applications num´eriques d’une variable r´eelle

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 24

Application entre deux ensembles
D´efinition
Soit X et Y deux ensembles. Une application de X dans Y est un
proc´ed´e qui `a tout ´el´ement x de X associe un ´el´ement not´e f (x) de
Y.
1- X est appel´e la source de f ;
2- Y est appel´e le but de f ;
3- Si x est un ´el´ement de X , f (x) est appel´e l’image de x par f ;
4- Si y est un ´el´ement de Y et que x est un ´el´ement de X tel que
f (x) = y , alors on dit que x est un ant´ec´edent de y par f .
f : X −→ Y se lit f application de source X vers Y .

Remarque
On notera qu’une application n’est donn´ee de fa¸con compl`ete que si
l’on s’est donn´e son ensemble source, son ensemble but et que l’on a
explicit´e le ”proc´ed´e”.
I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

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ee 201
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Application entre deux ensembles

Exemple
Consid´erons f : R+ 7−→ Rx 7−→ f (x) = 1 − 3x, c’est l’application de
source R+ , de but R. Le proc´ed´e est celui qui au r´eel x le r´eel 1 − 3x.
Quelle est l’image de 3 par f ? C’est f (3) = 1 − (3 × 3) = −8.
Quels sont les ant´ec´edents de −1 par f ? Ceux sont les r´eels positifs
x tels que f (x) = −1 soit tels que 1 − 3x = −1
soit x = 32 . Donc −1 admet 23 comme seul ant´ec´edent par f .
Quels sont les ant´ec´edents de 3 par f ? Ce sont les x ∈ R+ tels que
f (x) = 3, soit 1 − 3x = 3, soit x = − 23 . Comme − 23 n’est pas positif
(c-`a-d n’est pas un ´el´ement de R+ ), 3 n’a pas d’ant´ec´edent par f .

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

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Application entre deux ensembles
D´efinition
Soit E un ensemble. L’identit´e de E , not´e IdE est l’application de E
vers E qui envoie tout ´el´ement de E sur lui-mˆeme. Autrement ´ecrit :
IdE : E 7−→ E , x 7−→ IdE (x) = x

D´efinition
Soit A, B, C trois ensembles, soit f : A 7−→ B et g : B 7−→ C . La
compos´ee de g par f , not´ee g ◦ f , est l’application :
g ◦ f : A 7−→ C , a 7−→ g ◦ f (a) = g (f (a)).

Remarque
On observera que la compos´ee de g par f n’est d´efini que si le but de
f est ´egal `a l’ensemble source de g
I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

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ee 201
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Application entre deux ensembles

Exemple
f : R+ 7→ R, x 7→ f (x) = 1 − 2x , g : R 7→ R+ , x 7→ x 2 + 2
L’ensemble but de f est l’ensemnle source de g . L’application g ◦ f
est dont d´efinie, sa source est la source de f , son but le but de g :
g ◦ f : R+ 7→ R+ , x 7→ g ◦ f (x) = g (f (x)) = g (1 − 2x)
= (1 − 2x)2 + 2
= 4x 2 − 4x + 3

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 24

Sommaire

1

Ensemble

2

Op´eration sur les ensembles

3

Application entre deux ensembles

4

Application injective, surjective, bijective

5

Rappels sur les applications num´eriques d’une variable r´eelle

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 24

Application injective, surjective, bijective
D´efinition
Soit une application f : X 7→ Y .
1− Si tout ´el´ement de Y a 0 ou 1 ant´ec´edent par f , on dit que f est
injective ;
2− Si tout ´el´ement de Y a 1 ou plus d’ant´ec´edents par f , on dit que
f est surjective ;
3− Si tout ´el´ement de Y a exactement 1 ant´ec´edent par f , on dit
que f est bijective.
Ainsi f bijective ´equivaut `a ”f injective et f surjective”.
Rappelons que si y ∈ Y , les ant´ec´edents de y par f sont les x ∈ X et
f (x) = y . Ainsi, pour savoir si f est injective, surjective ou bijective
revient a savoir savoir compter pour tout y ∈ Y le nombre de
solutions des ´equations x ∈ X et f (x = y ).
I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 24

Application injective, surjective, bijective
R´ecapitulatifs
f est injective, si pour tout y ∈ Y , le nombre de solutions de x ∈ X
et f (x) = y est inf´erieur ou ´egal `a 1 ;
f est surjective, si pour tout y ∈ Y , le nombre de solutions de x ∈ X
et f (x) = y est sup´erieur ou ´egal `a 1 ;
f est bijective, si pour tout y ∈ Y , le nombre de solutions de x ∈ X
et f (x) = y est ´egal `a 1.

D´efinition
Application inverse ou r´eciproque Soit f : X 7→ Y une application
bijective, l’application suivante :
Y 7→ X , y 7→ x l’ant´ec´edent de y par f est appel´ee application inverse
ou r´eciproque de f et est not´ee f −1 .

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 24

Application injective, surjective, bijective
Exercice type 1 : Montrer que l’application

f : R 7→ R
x

7→ y = f (x) = −3x + 7

est bijective et d´eterminer l’application inverse f −1 .
Exercice type 2 : On consid`ere l’appliation
g : R − {2} 7→ R − {3}
x

7→ y = g (x) = 3 +

6
x +2

On admettra que g est bien d´efinie. Montrer que g est bijective et
pr´eciser avec soin g −1
I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 24

Sommaire

1

Ensemble

2

Op´eration sur les ensembles

3

Application entre deux ensembles

4

Application injective, surjective, bijective

5

Rappels sur les applications num´eriques d’une variable r´eelle

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 24

Rappels sur les applications num´eriques d’une variable
r´eelle
Alphabet grec :
α alpha, β beta, γ gamma, λ lambda, epsilon, η eta, µ mu, θ theta,
ν nu, ω omega ...
Soit a < b deux r´eels ( a pourra ˆetre −∞ et b pourra ˆetre +∞) et
f :]a, b[7→ R une application.

− →

Soit P un plan muni d’un r´ep`ere (O, i , j ). On note Cf la courbe
repr´esentative de f : Cf ⊂ P et un point M de coordonn´ees (x, y )
appartient `a Cf si et seulement si y = f (x).

Assertion :
Soit v r´eel, les ant´ec´edents de v par f sont les abcisses des points
d’intersection de Cf avec la droite horizontale d’´equation y = v .
I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

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ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 24

Rappels sur les applications num´eriques d’une variable
r´eelle
Th´eor`eme
Soit f :]a, b[7→ R. On suppose que f est d´erivable et que pour tout
0
0
c ∈]a, b[, f (c) > 0 ( respectivement f (c) < 0). Alors :
1− f est strictement croissante (resp. d´ecroissante) ;
2− L’ensemble des images par f des r´eels ]a, b[ est l’intervalle ]α, β[
o`
u α = limx→a f (x) et β = limx→b f (x) (resp.α = limx→b f (x)
et β = limx→a f (x))
3− L’aplication ]a, b[→]α, β[, x 7→ f (x) est bijective. Son inverse
g :]α, β[→]a, b[ est d´erivable. Pour tout x ∈]α, β[ , on a :
g 0 (x) =

I.Hamoud Boulaleh ( )

1
.
f 0 (g (x))

ANALYSE

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Rappels sur les applications num´eriques d’une variable
r´eelle
En applicant par exemple ce th´eor`eme a la fonction
]0, ∞[→ R, x 7→ x 2 , on obtient la proposition suivante :

Proposition
D´efinition de la racine carr´ee : Pour tout r´eel y > 0, il existe un

unique r´eel x > 0 v´erifiant x 2 = y . Ce r´eel not´e y est appel´e la
racine carr´ee de y . De plus,la fonction
g : ]0, ∞[ →]0, ∞[
x

7→ g (x) =

est d´erivable et pour tout x > 0 :g 0 (x) =



x

1

2 X

Cons´equence (´equation x 2 = a) : Soit a ∈ R, l’´equation x 2 = a a
aucune solution pour a < 0 , une seule solution pour a = 0 et enfin


deux solutions a et − a pour a > 0.
I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
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/ 24

Rappels sur les applications num´eriques d’une variable
r´eelle
Exercice 1
Soit f l’application :
f : ] − ∞, 1[ →]2, ∞[
x

7→ f (x) = (x − 1)2 + 2

a) V´erifier que l’application f est bien d´efinie.
b) Montrer que f est bijective et pr´eciser son inverse.

Exercice 2
Mˆeme exercice avec l’application :
g : ]1, ∞[ →]2, ∞[
x
I.Hamoud Boulaleh ( )

7→ g (x) = (x − 1)2 + 2
ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 24

Rappels sur les applications num´eriques d’une variable
r´eelle
R´eponse : On doit trouver application inverse :
]2, ∞[ →]1, ∞[
7→ g −1 (y ) = 1 +

y

p

y −2

Exercice 3
Mˆeme exercice avec l’application :
h : ]5, ∞[ →]3, ∞[
x

7→ h(x) = x 2 − 10x + 28

R´eponse : On observera que pour tout x r´eel,
x 2 − 10x + 28 = (x − 5)2 = 3. On trouvera comme application
inverse :
p
]3, ∞[→]5, ∞[, y 7→ h−1 (y ) = 5 + y − 3
I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
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Rappels sur les applications num´eriques d’une variable
r´eelle
D´efinition
Soit A et B deux ensembles. Une fonction f : A → B est un proc´ed´e
qui associe `a des ´el´ements de A des ´el´ements de B. Le domaine de
d´efinition de la fonction f , not´e Df , est l’ensemble des ´el´ements de A
auxquels sont associ´es par f un unique ´el´ement de B. La fonction
donne naissance `a l’application :
Df → B, x 7→ f (x)

Exemple


x−1
La fonction f : R → R, x 7→ x−2
a pour domaine de d´efinition
Df = [1, 2]∪]2, ∞[= [1, ∞[−{2}.

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

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ematique 1: ANALYSE Ann´
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