preuve distributivité (à relire) Copie.pdf


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Aperçu texte


1


efinition et Propri´
et´
es


− →



Le plan est muni d’un rep`ere orthonormal (O, i , j ). On note →
u et →
v deux vecteurs non
nuls.

1.1


efinition du produit scalaire

D´einition 1


On appelle produit scalaire des vecteurs →
u et →
v le nombre r´eel




not´e u · v d´efini par :








Ö
u · v =k →
u k×k→
v k × cos(→
u,→
v)

Remarque :


à Si l’un des vecteurs est nul alors →
u ·→
v =0

1.2

Produit scalaire et commutativit´
e

Propri´
et´
e1






∀→
u , ∀→
v on a →
u ·→
v =→
v ·→
u


emonstration :






Ö
Ö
∀→
u , ∀→
v on a cos(→
u,→
v ) = cos(→
v ,→
u)
















Ö
Ö
donc u · v =k u k × k v k × cos(→
u,→
v ) =k →
v k×k→
u k × cos(→
v ,→
u) =→
v ·→
u

1.3

Produit scalaire et vecteurs colin´
eaires

Propri´
et´
e2


On note →
u et →
v deux vecteurs colin´eaires. Il existe donc λ ∈ R


tel que →
u = λ→
v.






Si λ > 0 (→
u et →
v dans le mˆeme sens ) alors →
u ·→
v =k →
u k×k→
v k






Si λ < 0 (→
u dans le sens contraire de →
v ) alors →
u ·→
v =−k→
u k×k→
v k

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