preuve distributivité (à relire) Copie.pdf


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Aperçu texte



emonstration :


On note →
u et →
v deux vecteurs colin´eaires. Il existe donc λ ∈ R




tel que u = λ v .


Ö
à Si λ > 0 alors cos(→
u,→
v ) = 1 donc












Ö
u · v =k u k × k v k × cos(→
u,→
v ) =k →
u k×k→
v k


Ö
à Si λ < 0 alors cos(→
u,→
v ) = −1 donc












Ö
u · v =k u k × k v k × cos(→
u,→
v)=−k→
u k×k→
v k

1.4

Produit scalaire et vecteurs orthogonaux

Propri´
et´
e3






Soient →
u et →
v deux vecteurs non nuls, alors →
u ⊥→
v ⇔→
u ·→
v =0


emonstration :
à (⇒) :
π








Ö
Ö
Si →
u ⊥→
v alors (→
u,→
v ) = + 2kπ avec k ∈ Z donc cos(→
u,→
v ) = 0 alors →
u ·→
v =0à
2
(⇐) :




Si →
u ·→
v = 0, k →
u k6= 0 et k →
v k6= 0
π









Ö
Ö
alors cos( u , v ) = 0 donc ( u , →
v ) = + 2kπ avec k ∈ Z et donc →
u ⊥→
v
2
Remarque :







Ö
Si →
u =→
v alors cos(→
u,→
u ) = 1 donc →
u ·→
u =k →
u k2

efinition 2


On nomme carr´
e scalaire de →
u le nombre r´eel not´e →
u 2 tel que





u2 =→
u ·→
u =k →
u k2

2

Interpr´
etation g´
eom´
etrique



On note →
u et →
v deux vecteurs non nuls.
−→ −
−−→

Soient O, A et B trois points du plan tels que →
u = OA et →
v = OB

2.1


efinition g´
eom´
etrique du produit scalaire


efinition 3 (Autre d´efinition du produit scalaire )

5