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preuve distributivité (à relire) .pdf



Nom original: preuve distributivité (à relire).pdf

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Le Produit Scalaire
( En premi`
ere S )
Derni`ere mise `
a jour : Mercredi 12 D´ecembre 2010

Vincent OBATON, Enseignant au lyc´ee Stendhal de Grenoble (Ann´ee 2010-2011)

1

J’aimais
et
j’aime
encore les math´ematiques pour elles-mˆemes
comme
n’admettant
pas l’hypocrisie et le
vague, mes deux bˆetes
d’aversion.
Stendhal

2

Table des mati`
eres
1 D´
efinition et Propri´
et´
es
1.1 D´efinition du produit scalaire . . . . . .
1.2 Produit scalaire et commutativit´e . . . .
1.3 Produit scalaire et vecteurs colin´eaires .
1.4 Produit scalaire et vecteurs orthogonaux

.
.
.
.

4
4
4
4
5

2 Interpr´
etation g´
eom´
etrique
2.1 D´efinition g´eom´etrique du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Retour aux propri´et´es du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Remarques et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
7
7

3 Produit scalaire et op´
erations
3.1 Distributivit´e du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Lin´earit´e du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Autres d´efinitions du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8
8
8
9

4 Expression analytique du produit scalaire
4.1 Coordonn´ees d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Expression analytique d’un produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10
10
11

5 Les diff´
erentes expressions du produit scalaire

11

3

.
.
.
.

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.

1


efinition et Propri´
et´
es


− →



Le plan est muni d’un rep`ere orthonormal (O, i , j ). On note →
u et →
v deux vecteurs non
nuls.

1.1


efinition du produit scalaire

D´einition 1


On appelle produit scalaire des vecteurs →
u et →
v le nombre r´eel




not´e u · v d´efini par :








Ö
u · v =k →
u k×k→
v k × cos(→
u,→
v)

Remarque :


à Si l’un des vecteurs est nul alors →
u ·→
v =0

1.2

Produit scalaire et commutativit´
e

Propri´
et´
e1






∀→
u , ∀→
v on a →
u ·→
v =→
v ·→
u


emonstration :






Ö
Ö
∀→
u , ∀→
v on a cos(→
u,→
v ) = cos(→
v ,→
u)
















Ö
Ö
donc u · v =k u k × k v k × cos(→
u,→
v ) =k →
v k×k→
u k × cos(→
v ,→
u) =→
v ·→
u

1.3

Produit scalaire et vecteurs colin´
eaires

Propri´
et´
e2


On note →
u et →
v deux vecteurs colin´eaires. Il existe donc λ ∈ R


tel que →
u = λ→
v.






Si λ > 0 (→
u et →
v dans le mˆeme sens ) alors →
u ·→
v =k →
u k×k→
v k






Si λ < 0 (→
u dans le sens contraire de →
v ) alors →
u ·→
v =−k→
u k×k→
v k

4


emonstration :


On note →
u et →
v deux vecteurs colin´eaires. Il existe donc λ ∈ R




tel que u = λ v .


Ö
à Si λ > 0 alors cos(→
u,→
v ) = 1 donc












Ö
u · v =k u k × k v k × cos(→
u,→
v ) =k →
u k×k→
v k


Ö
à Si λ < 0 alors cos(→
u,→
v ) = −1 donc












Ö
u · v =k u k × k v k × cos(→
u,→
v)=−k→
u k×k→
v k

1.4

Produit scalaire et vecteurs orthogonaux

Propri´
et´
e3






Soient →
u et →
v deux vecteurs non nuls, alors →
u ⊥→
v ⇔→
u ·→
v =0


emonstration :
à (⇒) :
π








Ö
Ö
Si →
u ⊥→
v alors (→
u,→
v ) = + 2kπ avec k ∈ Z donc cos(→
u,→
v ) = 0 alors →
u ·→
v =0à
2
(⇐) :




Si →
u ·→
v = 0, k →
u k6= 0 et k →
v k6= 0
π









Ö
Ö
alors cos( u , v ) = 0 donc ( u , →
v ) = + 2kπ avec k ∈ Z et donc →
u ⊥→
v
2
Remarque :







Ö
Si →
u =→
v alors cos(→
u,→
u ) = 1 donc →
u ·→
u =k →
u k2

efinition 2


On nomme carr´
e scalaire de →
u le nombre r´eel not´e →
u 2 tel que





u2 =→
u ·→
u =k →
u k2

2

Interpr´
etation g´
eom´
etrique



On note →
u et →
v deux vecteurs non nuls.
−→ −
−−→

Soient O, A et B trois points du plan tels que →
u = OA et →
v = OB

2.1


efinition g´
eom´
etrique du produit scalaire


efinition 3 (Autre d´efinition du produit scalaire )

5

−→ −−→



u ·→
v = OA · OH
−−→
−−→
o`
u OH est le projet´e orthogonal de OB sur (OA)


emonstration :
à Premier cas :

Figure 1

→ −−→
Ù
Ö = OH
Dans le triangle OHB rectangle en H on a : cos(OA, OB) = cos(HOB)
OB

→ −−→
Ù
d’o`
u OB × cos(OA, OB) = OH
−→ −−→

→ −−→
−→ −−→
Ù
donc OA · OB = OA × OB × cos(OA, OB) = OA × OH = OA · OH
donc
−→ −−→ −→ −−→
OA · OB = OA · OH

6

à Deuxi`eme cas :

Figure 2

−→ −−→
Ù
Ö = OH
Dans le triangle HOB rectangle en H on a : cos(OH, OB) = cos(HOB)
OB
OH
Ö
Ö
Ö
Ö
or HOB = π − AOB d’o`
u cos(π − AOB) =
= − cos(AOB) [Rappel :
OB
cos(π − α) = − cos(α)]
Ö = −OH
donc OB × cos(AOB)
−→ −−→

→ −−→
−→ −−→
Ù
donc OA · OB = OA × OB × cos(OA, OB) = OA × (−OH) = OA · OH
−→ −−→ −→ −−→
donc OA · OB = OA · OH

2.2

Retour aux propri´
et´
es du produit scalaire

2.3

Remarques et exemples

à Propri´et´e n˚ 3 :
−→ −−→
−→ −−→
Si OA⊥OB alors le projet´e orthogonal de B sur (OA) est 0 donc OA · OB = 0
à Propri´et´e n˚ 1 :

Figure 3

7

−→ −−→ −→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→
OA · OB = OA · OH et OB · OA = OB · OK donc d’apr`es la propri´et´e 1 on a
−→ −−→ −−→ −−→
OA · OH = OB · OK
Premi`
ere remarque :
2

Figure 4
−→ −−→ −→ −−→
OA · OB = OA · OH
−→ −−→
= OA · OC
−→ −−→
= OA · OD
−→ −−→
= OA · EF
−→ −→
= OA · GJ

3
3.1

Produit scalaire et op´
erations
Distributivit´
e du produit scalaire

Propri´
et´
e 4 ( A admettre )



On note →
u, →
v et →
w trois vecteurs.

(1)
(2)

3.2









u · (→
v +→
w) = →
u ·→
v +→
u ·→
w














( v + w) · u = v · u + w · u

Lin´
earit´
e du produit scalaire

Propri´
et´
e5


On note →
u, →
v et α un r´eel

8





(1) →
u · (α→
v ) = α→
u ·→
v








(2) (α u ) · v = α u · v


emonstration :




D´emontrons que →
u · (α→
v ) = α→
u ·→
v



u · (α→
v)




=k →
u k × k α→
v k cos(→
u , α→
v)







=k u k ×|α| k v k cos( u , α→
v)







=|α| k u k × k v k cos( u , α→
v)
Il faut maintenant envisager trois cas :




à Si α > 0 alors |α| = α et cos(→
u , α→
v ) = cos(→
u,→
v)
donc







u · (α→
v)=αk→
u kk →
v k cos(→
u,→
v)




d’o`
u:→
u · (α→
v ) = α→
u ·→
v



u · (α→
v)






à Si α < 0 alors |α| = −α et cos(→
u , α→
v ) = cos(π + (→
u,→
v )) = − cos(→
u,→
v)
donc



u · (α→
v)




= −α k →
u kk →
v k [− cos(→
u,→
v )]








= α k u kk v k cos( u , v )


= α→
u ·→
v
à Si α = 0 alors |α| = 0





donc →
u · (α→
v)=→
u · 0 =0




et α→
u ·→
v =0×→
u ·→
v =0







donc u · (α v ) = α u · →
v





La d´emonstration de (α u ) · →
v = α→
u ·→
v est identique.

3.3

Autres d´
efinitions du produit scalaire



Soient →
u et →
v deux vecteurs.
Propri´
et´
e5






(1) k →
u +→
v k2 =k →
u k2 + k →
v k2 +2→
u ·→
v






(2) k →
u −→
v k2 =k →
u k2 + k →
v k2 −2→
u ·→
v






(3) (→
u +→
v ) · (→
u −→
v ) =k →
u k2 − k →
v k2

9


emonstration :
(1)












k→
u +→
v k2 = (→
u +→
v ) · (→
u +→
v ) = (→
u +→
v)·→
u + (→
u +→
v)·→
v




















2
donc k u + v k = u · u + v · u + u · v + v · v






alors k →
u +→
v k2 =k →
u k2 +2→
u ·→
v+k→
v k2
(2)












k→
u −→
v k2 = (→
u −→
v ) · (→
u −→
v ) = (→
u −→
v)·→
u − (→
u −→
v)·→
v




















2
donc k u − v k = u · u − v · u − u · v + v · v






alors k →
u −→
v k2 =k →
u k2 −2→
u ·→
v+k→
v k2
(3)










(→
u +→
v ) · (→
u −→
v)=→
u ·→
u −→
v ·→
v =k →
u k2 − k →
v k2
A l’aide des formules (1) et (2) nous pouvons d´efinir le produit scalaire de deux vecteurs



u et →
v de la fa¸con suivante :
—
1” →






u ·→
v =
k−
u +→
v k2 − k →
u k2 − k →
v k2
2
—
1” →






u ·→
v =
k−
u k2 + k →
v k2 − k →
u −→
v k2
2

4

Expression analytique du produit scalaire


− →



(O, i , j ) est un rep`ere orthonormal et les coordonn´ees des vecteurs →
u et →
v sont




0 0
u (x, y) et v (x , y )

4.1

Coordonn´
ees d’un vecteur

Figure 5

− −

− −−→ →




− →




On a i · →
u = i · OH = i · x−
u i · i = x−
u
u i = x−
10

et

− →

− −−→ →




− →




j ·−
u = j · OG = j · y−
u j = y−
u j · j = y−
u
Conclusion :

− − →
− −

Les coordonn´ees du vecteur →
u sont ( i · →
u; j ·→
u)

4.2

Expression analytique d’un produit scalaire

Propri´
et´
e6



u ·→
v = x × x0 + y × y 0

emonstration :



























u ·→
v = (x i + y j ) · (x0 i + y 0 j ) = x i · x i + x i · y 0 j + y j · x0 i + y j · y 0 j



− →


− →



= xx0 k i k2 +xy 0 i · j + yx0 i · j + yy 0 k j k2





− →


− →

or k i k=k j k= 1 et i · j = 0 car i ⊥ j


donc →
u ·→
v = xx0 + yy 0

5

Les diff´
erentes expressions du produit scalaire

Voil`a donc les diff´erentes expressions que l’on peut utiliser pour exprimer le produit


scalaire de deux vecteurs →
u et →
v :
(1)








Ö
u ·→
v =k →
u k×k→
v k × cos(→
u,→
v)

(2)

−→ −
−−→ −
−→ −−→


Si OA = →
u et OB = →
v alors →
u ·→
v = OA · OH
−−→
−−→
avec OH le projet´e orthogonal de OB sur (OA)

(3)

—
1” →






u ·→
v =
k−
u +→
v k2 − k →
u k2 − k →
v k2
2

(4)

—
1” →






u ·→
v =
k−
u k2 + k →
v k2 − k →
u −→
v k2
2

(5)


− →

Dans un rep`ere (O, i , j ) si les vecteurs ont pour coordonn´ees





u (x, y) et →
v (x0 , y 0 ) alors →
u ·→
v = xx0 + yy 0

11


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