34poly 1 .pdf



Nom original: 34poly-1.pdf

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par LaTeX with hyperref package / pdfTeX-1.40.13, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 11/11/2013 à 18:21, depuis l'adresse IP 86.198.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 888 fois.
Taille du document: 1 Mo (174 pages).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


El´ements d’analyse fonctionnelle
S. Ladjal, E. Moulines, F. Roueff
13 septembre 2013

2

Table des mati`
eres
I

Pr´
eambule

7

1 Introduction

9

2 Conventions, notations et rappels
2.1 Compl´etion de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Min, max, sup, inf, limites de suites . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Sommes finies et infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Extension des notations aux suites et familles de fonctions . .
2.2 Applications et ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Fonction indicatrice, image r´eciproque . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Op´eration sur les suites et familles d’ensembles . . . . . . . .
2.3 Conventions relatives aux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Vecteurs et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Fonctions d´efinies sur Rp , d´eriv´ees partielles, diff´erentiabilit´e
2.4 Int´egrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

Int´
egrale de Lebesgue

13
13
13
14
14
15
15
15
16
16
16
17
18

21

3 Construction de l’int´
egrale de Lebesgue
3.1 Fonctions en escaliers . . . . . . . . . . .
3.2 Fonctions int´egrables au sens de Lebesgue
3.3 Fonctions localement int´egrables . . . . .
3.4 Valeur absolue d’une fonction int´egrable .
3.5 S´eries de fonctions int´egrables . . . . . . .
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

4 Calcul int´
egral
4.1 Fonctions nulles, Ensembles n´egligeables, convergence presque
4.2 Th´eor`emes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Calcul direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Int´
egrale des fonctions bor´
eliennes
5.1 Fonctions int´egrables `
a valeurs infinies . . . . . .
5.2 Tribu des bor´eliens . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Fonctions simples, mesurables, bor´eliennes . . . .
5.4 Int´egrale des fonctions bor´eliennes positives . . .
5.5 Int´egrale des fonctions bor´eliennes sign´ees . . . .
5.6 Compl´ement de cours : un ensemble non-bor´elien
5.7 Compl´ement de cours : construction de l’int´egrale
3

. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
`a partir des

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

23
23
26
29
30
31
33

partout (p.p.) .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

35
35
38
41
44

.
.
.
.
.
.
.

51
51
51
54
55
57
59
59

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
fonctions simples

.
.
.
.
.
.
.

5.8

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

6 Int´
egrale de Lebesgue sur RN
6.1 Int´egrale de Lebesgue sur RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Int´egrale multiple et th´eor`eme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Int´egrale de Lebesgue de fonctions `a valeurs vectorielles ou complexes . . . . . . .
6.5 Compl´ement de cours : d´emonstration du th´eor`eme de changement de variable
(th´eor`eme 6.3.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65
65
68
71
72

III

81

Espaces fonctionnels

7 Espaces Lp
7.1 Compl´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Suites de Cauchy dans les e.v.n. . . . . . . . . .
7.1.2 Espaces de Banach (e.v.n. complets) . . . . . . .
7.2 Espace L1 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Espaces Lp (R) et Lp (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Espaces Lp (RN ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Compl´ement de cours : ´el´ements de topologie . . . . . .
7.6.1 Espaces m´etriques, ensembles ouverts et ferm´es .
7.6.2 Suites et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.3 Continuit´e des applications lin´eaires et bilin´eaires
7.6.4 Les formes lin´eaires continues et leurs noyaux . .
7.6.5 Compl´etion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73
78

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

83
83
83
84
85
86
91
95
96
96
98
100
104
104
109

8 Espaces de Hilbert
8.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Famille orthogonale et orthonormale . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Isom´etries et isomorphismes d’espaces de Hilbert . . . . . . .
8.4 Compl´ement de cours : Projection et principe d’orthogonalit´e
8.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

111
111
113
117
118
121

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

9 S´
eries de Fourier
127
9.1 Propri´et´es hilbertiennes des s´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.2 Compl´ement de cours : convergence ponctuelle des s´eries de Fourier . . . . . . . . . 131
9.3 Compl´ement de cours : applications `a la r´esolution d’´equations aux d´eriv´ees partielles133
´
9.3.1 Equation
de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
´
9.3.2 Equation
des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

IV

Transform´
ee de Fourier

141

10 Transform´
ee de Fourier dans L1
10.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 D´ecroissance et d´erivation . . . . . . . .
10.3 Un exemple remarquable : la fonction de
10.4 Transform´ee de Fourier sur L1 (RN ) . . .
10.5 Formule sommatoire de Poisson . . . . .
10.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

. . . .
. . . .
Gauss
. . . .
. . . .
. . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

143
143
145
146
147
148
149

11 Espace de Schwartz S (R)
11.1 L’espace de Schwartz . . . . . . . . . . . . .
11.2 R´egularisation par convolution . . . . . . .
11.3 Formules d’inversion . . . . . . . . . . . . .
11.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.1 Equations diff´erentielles ordinaires .
11.4.2 Equation de la chaleur dans une tige
11.4.3 Equation des ondes . . . . . . . . . .
11.5 Cas des fonctions d´efinies sur RN . . . . . .
11.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
infinie
. . . .
. . . .
. . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

151
151
152
155
156
156
157
158
158
159

12 Transform´
ee de Fourier dans L2
12.1 Propri´et´es hilbertienne de L2 .
12.2 Transform´ee de Fourier sur L2
12.3 Fonctions `
a bande limit´ee . . .
12.4 Exercices . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

165
165
166
167
170

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

5

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

6

Premi`
ere partie

Pr´
eambule

7

Chapitre 1

Introduction
Ce polycopi´e est une introduction math´ematique `a l’analyse fonctionnelle et `a l’analyse de
Fourier. Les fonctions que nous consid´ererons sont des applications num´eriques, r´eelles ou complexes, d´efinies sur l’espace des r´eels ou des vecteurs r´eels de dimension finie donn´ee. Elle repr´esente
dans les applications les plus ´el´ementaires une quantit´e physique mesur´ee au cours du temps
ou dans l’espace, ou encore d´ependant `a la fois du temps et de l’espace. Le d´eveloppement de
la physique moderne, principalement au d´ebut du XX`eme si`ecle, qui a renouvel´e les outils de
repr´esentation des quantit´es physiques (position, vitesse d’une particule et la dualit´e onde/mati`ere
qui l’accompagne, mais aussi les champs ´electromagn´etiques, gravitationnels etc.) s’est accompagn´e
du d´eveloppement d’une th´eorie math´ematique fort compl`ete des fonctions et des op´erateurs remarquables (les “syst`emes”) agissant sur ces fonctions.
La base de ces d´eveloppements est la construction d’une int´egrale plus compl`ete que l’int´egrale
de Riemann et d’une th´eorie de la mesure l’accompagnant. Nous donnons ici une construction de
l’int´egrale de Lebesgue due `
a Jan Mikusi´
nski (1913–1987) qui a l’avantage d’ˆetre assez ´el´ementaire
car elle permet de s’affranchir de la construction des mesures. Tout repose ici sur la notion d’approximation. L’id´ee principale `
a comprendre est que l’int´egrale permet de d´efinir une notion d’approximation tr`es naturelle : deux fonctions sont proches si la valeur absolue de leur diff´erence est
d’int´egrale nulle. Cette approche est reli´ee `a la vision de la physique moderne de ce qu’est une
mesure (de position, vitesse, temp´erature) : une mesure physique est plus proche d’une moyenne
locale d’une fonction, donc a `
a voir avec son int´egrale, plutˆot qu’avec une valeur pr´ecise prise par
la fonction en un point. Une fonction nulle est donc une fonction dont toute moyenne locale est
nulle, et non une fonction identiquement ´egale `a 0. Malheureusement la notion d’approximation
d´efinie avec l’int´egrale de Riemann est incompl`ete : des suites qui devraient converger ne convergent pas ! Par exemple, il est ais´e de construire une suite d´ecroissante de fonctions positives,
toutes d’int´egrale de Riemann nulle, et dont la limite est la fonction nulle en dehors de l’ensemble des rationnels compris entre 0 et 1, o`
u elle prend la valeur 1. Or cette fonction limite n’est
pas int´egrable au sens de Riemann. L’int´egrale de Lebesgue n’a pas cet inconv´enient. En termes
math´ematiques, l’int´egrale de Lebesgue a de “bonnes” propri´et´es topologiques. Nous pr´ec´edons
donc la construction de l’int´egrale d’un chapitre d’introduction aux notions de topologie de base
qui nous seront utiles pour les espaces fonctionnels.
Une fois que la bonne notion d’int´egrale est `a disposition, et ses principales propri´et´es ´etablies,
on peut introduire et ´etudier les premiers espaces fonctionnels et les op´erateurs lin´eaires continus
de base agissant sur ces espaces, dont un exemple central est obtenu par l’op´eration de convolution.
Des cas particuli`erement int´eressants d’espaces fonctionnels sont obtenus d´es lors qu’un peu
de g´eom´etrie peut s’ins´erer dans leur description. C’est ce que l’on fera en introduisant la notion
d’espace de Hilbert qui permet d’adapter la g´eom´etrie euclidienne au cadre des espaces de dimension infinie. L`
a encore c’est la notion d’approximation qui nous guidera. L’int´erˆet d’introduire de
la g´eom´etrie est de pouvoir d´efinir une notion de projection sur des sous-espaces qui est facile `a
caract´eriser. S’en suivra la construction de bases d´enombrables permettant d’approcher tr`es simplement tout ´el´ement de l’espace. Le chapitre consacr´e aux espaces de Hilbert clˆot la premi`ere
9

partie de ce cours consacr´e aux espaces fonctionnels d´efinis grˆace `a l’int´egrale de Lebesgue.
La seconde partie est consacr´ee `
a la transform´ee de Fourier. L’id´ee de base des s´eries de Fourier
est que toute fonction “p´eriodiques” d’une variable t (par exemple, le temps) peut ˆetre exprim´ee
comme une somme trigonom´etrique de sinus et cosinus de mˆeme p´eriode T :
f (t) =


X

[fˆ+ (n) cos(2πnt/T ) + fˆ− (n) sin(2πnt/T )].

n=0

Cette id´ee est tr`es ancienne : les Babyloniens utilisaient une forme primitive des s´eries de Fourier
pour la pr´ediction des ´ev´enements c´elestes.
L’histoire plus r´ecente commence avec d’Alembert (1747) et sa discussion sur les oscillations
d’une corde de violon. Le d´eplacement u = u(t, x) d’une corde, en fonction du temps t ≥ 0 et de
la variable d’espace x, est une solution de l’´equation des ondes
∂2u
∂2u
=
,
∂t2
∂x2

t > 0, 0 < x < 1,

sous les contraintes
u(t, 0) = u(t, 1) = 0, t ≥ 0;
∂u
(0, x) = 0, 0 < x < 1.
∂t
La premi`ere contrainte exprime le fait que les extr´emit´es de la corde [x = 0, 1] sont immobiles ;
la deuxi`eme que la corde est immobile au temps t = 0. On peut montrer que la solution de ce
probl`eme est la superposition de deux ondes qui se propagent dans des directions oppos´ees `a la
vitesse 1. Cette solution est donn´ee par la formule de d’Alembert :
u(t, x) =

1
1
f (x + t) + f (x − t),
2
2

dans laquelle f doit ˆetre une fonction impaire de p´eriode 2, s’annulant aux points x = 0, ±1, ±2, . . .,
de telles sorte que u = 0 aux extr´emit´es de la corde. Euler (1748) a eu l’intuition qu’une telle
fonction admettait un d´eveloppement sous la forme d’une s´erie de la forme :
f (x) =


X

fˆ(n) sin(nπx) ,

n=1

ce qui implique (en admettant que cette s´erie converge dans un sens ad´equat)
u(t, x) =


X

fˆ(n) cos(nπt) sin(nπx).

n=1

Les fonctions (x, t) 7→ cos(nπt) sin(nπx) sont les “modes fondamentaux” et les fr´equences n/2
sont appel´es les “harmoniques”. Des r´esultats similaires ont ´et´e obtenus par D. Bernoulli (1753)
et Lagrange (1759). L’expression des coefficients
Z 1
ˆ
f (n) = 2
f (x) sin(nπx)dx ,
0

pour le calcul des coefficients du d´eveloppement de f , sera plus tard associ´e au nom de Fourier (on
dira que fˆ(n) est le coefficient de Fourier de f , ces expressions apparaissent d´ej`a dans les travaux
d’Euler).
Au d´ebut du XIX`eme si`ecle, J. Fourier a ´etudi´e l’´equation de la chaleur
∂u
1 ∂2u
=
.
∂t
2 ∂x2
10

Il a pr´esent´e en 1811 `
a l’Acad´emie des Sciences un m´emoire intitul´e Th´eorie analytique de la
chaleur publi´e en 1822. Il a tent´e de prouver que toute fonction lisse par morceaux f pouvait ˆetre
d´evelopp´ee sous la forme d’une s´erie trigonom´etrique. Une preuve satisfaisante de ce fait a ´et´e
obtenu peu de temps apr`es par Dirichlet (1829). Riemann (1867) a ´egalement fait d’importantes
contributions `
a ce probl`eme. Beaucoup de travaux ont ´et´e consacr´es pendant tout le XIX`eme si`ecle
aux s´eries trigonom´etriques (notamment aux s´eries lacunaires), mais aucun n’ont conduit `a des
avanc´ees majeures.
Il a fallu attendre le d´ebut du XXi`eme si`ecle et la d´efinition d’une nouvelle int´egrale par
H. Lebesgue (1904) pour r´esoudre de fa¸con satisfaisante les probl`emes laiss´es ouverts par Fourier,
Dirichlet et Riemann. Le cadre appropri´e pour l’´etude des s´eries de Fourier s’est av´er´e ˆetre la classe
des fonctions “int´egrables au sens de Lebesgue” f p´eriodique de p´eriode 1, muni de la “norme”
Z 1
|f (x)|2 dx < ∞ .
(1.1)
kf k22 =
0

Riesz et Fischer ont obtenu dans ce cadre le r´esultat remarquable suivant (1907) : Pour toute
fonction f satisfaisant (1.1), les coefficients de Fourier
Z 1
ˆ
f (x)e−2πinx dx, n ∈ Z ,
f (n) =
0

sont d´efinis et la fonction qui associe a` f (fonction mesurable de carr´e int´egrable) la suite de ces
coefficients de Fourier fˆ(n), n ∈ Z, est une isom´etrie
kf k22 =


X

|fˆ(n)|2 < ∞.

n=−∞

De plus, la s´erie de Fourier (formelle)
f (x) =


X

fˆ(n)e2πinx ,

n=−∞

converge vers f au sens de la norme de cet espace :

2

Z 1
X


2πikx
ˆ

lim
f (x) −
f (k)e

dx = 0 .
n→∞ 0


|k|≤n
Des d´eveloppements similaires ont ´et´e entrepris pour la transform´ee de Fourier
Z ∞
fˆ(ξ) =
f (x)e−2πiξx dx ,
−∞

pour des fonctions f non p´eriodiques, d´ecroissant suffisamment rapidement en ±∞. Le r´esultat
clef est le th´eor`eme de Plancherel (1910) : si f est une fonction int´egrable au sens de Lebesgue et
si
Z ∞
kf k22 =

|f (x)|2 dx < ∞,

−∞

alors fˆ est aussi int´egrable au sens de Lebesgue et
kf k2 = kfˆk2 ,
De plus, on peut reconstruire la fonction f a` partir de sa transform´ee de Fourier fˆ en utilisant la
transform´ee de Fourier inverse :
Z ∞
f (x) =
f (γ)e2πiγx dγ .
−∞

11

Depuis ces premiers d´eveloppements, cet outil n’a cess´e de se d´evelopper pour s’appliquer dans
des cadres assez g´en´eraux servant `
a analyser tout syst`eme pr´esentant des propri´et´es de lin´earit´e et
d’invariance dans le temps. Dans ce cours, cependant, nous n’analyserons pas en profondeur l’outil
Fourier comme outil de description/d´ecomposition des op´erateurs sur les fonctions. Cet aspect de
l’analyse de Fourier sera approfondi en cours de traitement du signal et des images. Nous nous
concentrerons sur les propri´et´es de la transform´ee de Fourier pour l’analyse des fonctions. En
d’autres termes nous nous int´eresserons `a la question : quelles propri´et´es de la fonction peuvent
ˆetre reli´ees aux propri´et´es de sa transform´ee de Fourier ? La transform´ee de Fourier sera notre
fil conducteur pour voyager dans les espaces fonctionnels et nous conclurons cette partie par une
introduction aux distributions temp´er´ees et leur transform´ee de Fourier. Les distributions peuvent
ˆetre vues comme des “fonctions g´en´eralis´ees” tr`es utiles en physique moderne, et notamment en
physique quantique. Ici, nous nous en servirons surtout pour ´etendre la notion de transform´ee de
Fourier `
a des fonctions qui peuvent ˆetre tr`es simples (tels que des polynˆomes !) et pour lesquelles
la d´efinition “directe” de la transform´ee de Fourier n’a pas de sens.
Et les t´el´ecommunications dans tout c¸a ? Nous avons mentionn´e l’importance des notions
abord´ees dans ce cours pour la physique moderne et notamment la description des ondes
´electromagn´etiques. La th´eorie des distributions a permis de pr´eciser et de fournir des d´efinitions
rigoureuses `
a des outils utilis´es avec succ`es pendant plusieurs d´ecennies par les physiciens. Un
des premiers articles de Laurent Schwartz (1915-2002), qui obtint la m´edaille Fields en 1950
pour ses travaux sur la th´eorie des distributions, a d’ailleurs ´et´e publi´e dans les Annales des
T´el´ecommunications “G´en´eralisation de la notion de fonction et de d´erivation ; th´eorie des distributions”, vol.3, 1948. Son apport a d’ailleurs ´et´e fondateur pour l’analyse de Fourier appliqu´e
aux distributions. Ces liens avec la physique seront explicites dans les cours de physique de Telecom ParisTech. Il serait cependant tr`es r´educteur de limiter l’analyse fonctionnelle et l’analyse de
Fourier a` son apport pour la physique. Depuis longtemps, ces bases math´ematiques ont ´et´e d’un
grand secours comme base math´ematique au traitement du signal et des images. C’est dans les
ann´ees 1990 que ce domaine des math´ematiques a connu un essor inattendu dans sa rencontre avec
le traitement du signal qui a (notamment) donn´ee naissance `a l’analyse en ondelettes. Yves Meyer
a ainsi obtenu le prestigieux prix Carl Friedrich Gauss en 2010 pour ses travaux dans ce domaine.
Ce nouvel outil d’approximation, `
a l’intersection de l’analyse de Fourier et de l’analyse hilbertienne, a ´et´e le point de d´epart de d´eveloppements math´ematiques riches en lien avec des probl`emes
appliqu´es des t´el´ecommunications, en particulier pour la mod´elisation des “contenus” : comment
“bien” repr´esenter un signal, une image ou une vid´eo num´erique, plus g´en´eralement des donn´ees
complexes num´eris´ees, afin de limiter les volumes de stockage ou d’optimiser les traitements ? On
revient ici au point de d´epart de ce cours, car, bien que de nature discr`ete (parce que num´eris´ees
pour ˆetre trait´ees par des ordinateurs), ce type de donn´ees est naturellement identifiable `a des
fonctions d´efinies sur des espaces continues. Il s’en suit que les questions d’approximations efficaces des donn´ees num´eriques pour leur traitement, leur stockage et leur transmission trouvent
des ´eclairages fondamentaux `
a travers l’approximation des fonctions en analyse fonctionnelle et
plus particuli`erement en analyse de Fourier.

12

Chapitre 2

Conventions, notations et rappels
2.1
2.1.1

Compl´
etion de R
Min, max, sup, inf, limites de suites

Nous noterons R la droite r´eelle compl´et´ee par +∞ et −∞ :
R = R ∪ {−∞, +∞} ,
avec −∞ < x < +∞ pour tout x ∈ R. Par suite on pose
R+ = R+ ∪ {+∞}

et

R− = R− ∪ {−∞} .

La compl´etion de R permet d’´ecrire de nombreux r´esultats sans avoir `a distinguer les cas
avec limite/supremum/infimum finis de ceux o`
u ils sont infinis. On rappelle les d´efinitions des
supremum et infimum ´etendues sur R : pour tout sous-ensemble I de R, le supremum de I, not´e
sup I, est l’unique ´el´ement x de R tel que
(i ) x est un majorant de I : y ∈ I ⇒ y ≤ x,
(ii ) Il n’y a pas de majorant strictement inf´erieur `a x : y < x ⇒ ∃z ∈ I, z > y.
L’infimum, not´e inf I, est d´efini de fa¸con similaire en inversant les in´egalit´es, ou bien en posant
inf I = − sup(−I). On a en particulier
inf ∅ = +∞ et

sup ∅ = −∞ .

Quand sup I (resp. inf I) appartient `
a I, on peut aussi l’appeler maximum (resp. minimum) de I
et le noter max I (resp. min I). On utilisera aussi les symboles ∨ et ∧) pour l’op´eration induite
par max et min entre deux nombres :
a ∨ b = max{a, b}

et

a ∧ b = min(a, b) .

Soit u = (un ) une suite d’´el´ements de R. Si (un ) admet une limite quand n → ∞ on note
lim un

n→∞

ou

lim un
n

ou

lim u

cette limite. Si (un ) est une suite monotone et ` est sa limite on ´ecrira
un ↑ ` ou un ↓ ` ,
suivant que (un ) est croissante ou d´ecroissante, respectivement. On note d’autre part, pour tout
ensemble I ⊂ N,
sup un ou sup u = sup{un , n ∈ I} .
n∈I

I

13

Si I = N, on ´ecrira aussi plus simplement supn un ou sup u. Si la limite de (un ) n’est pas toujours
d´efinie, on peut en revanche toujours d´efinir
lim inf un = lim inf un = lim inf u = lim inf up
n→∞

et

n

n p≥n

lim sup un = lim sup un = lim sup u = lim sup up .
n→∞

n p≥n

n

De plus (un ) admet une limite ssi lim inf u = lim sup u, auquel cas, c’est aussi lim u.

2.1.2

Sommes finies et infinie

Soit (xi )i∈I
Pune famille d’´el´ements de R index´ee par un ensemble I quelconque. Si I est de
cardinal fini, i∈I xi est correctement d´efini dans R d`es lors que (xi ) ne prend pas `a la fois les
valeurs −∞ et +∞. Pour un I quelconque, si (xi )i∈I est `a valeurs dans R+ , on d´efinit
(
)
X
X
xi = sup
xi | J ⊂ I de cardinal fini .
i∈I

i∈J

On note les parties positives et n´egatives de x ∈ R x+ et x− respectivement, c’est-`a-dire,

P

Si i∈I xn+
d´efinit

x+ = x ∨ 0 = max(x, 0) et x− = (−x) ∨ 0 = max(−x, 0) .
P
< ∞ et i∈I xn− < ∞, on dit que la famille (xi )i∈I est absolument sommable et on
X
X
X
xi =
xi+ −
xi− .
i∈I

i∈I

i∈I

Si I est d´enombrable alors pour toute suite (in ) d’indices distincts recouvrant tout l’ensemble I,
on a, pour toute famille (xi )i∈I `
a valeurs dans R+ ou absolument sommable,
X

xi = lim
p

i∈I

p
X

En particulier, si I = N,
X

xn = lim

n∈N

2.1.3

x in .

n=0

p

p
X

xn .

n=0

Extension des notations aux suites et familles de fonctions

Toutes les notations sur les suites et familles de nombres peuvent aussi ˆetre utilis´ees pour une
suite ou famille de fonctions (fn ), du moment qu’elles sont toutes `a valeurs dans R et d´efinies sur
le mˆeme ensemble X. Elles s’appliquent alors ponctuellement. Par exemple
1. f ≥ 0 signifie f (x) ≥ 0 pour tout x,
2. La suite de fonctions (fn ) est d´ecroissante signifie que (fn (x))n est une suite d´ecroissante
pour tout x,
3. f+ d´esigne la fonction
f+ (x) = (f (x))+ = max(f (x), 0)

pour tout

4. fn ↑ g signifie
fn (x) ↑ g(x)
5.

P

n∈N

pour tout x ∈ X ,

fn = f signifie
X

fn (x) = f (x)

n∈N

14

pour tout x ∈ X ,

x∈X,

6. etc.
Le type de convergence de fonctions ci-dessus s’appelle converge ponctuelle. Nous verrons d’autres
types de convergence li´es `
a l’int´egrale de Lebesgue : convergence presque partout (p.p.), convergence L1 , etc.

2.2
2.2.1

Applications et ensembles
Fonction indicatrice, image r´
eciproque

Soit A un sous-ensemble de X. On note 1A et on appelle fonction indicatrice de l’ensemble A
l’application d´efinie sur X par
(
1 si x ∈ A
1A (x) =
pour tout x ∈ X .
0 sinon ,
Soit f une application de X dans Y. Soit A ⊆ Y. On note f −1 (A) l’image r´eciproque de A par
f d´efinie par
f −1 (A) = {x ∈ X | f (x) ∈ A} .
La notation {f ∈ A} d´esignera aussi l’ensemble f −1 (A) et {f = y} l’ensemble f −1 ({y}) pour
y ∈ Y. De mˆeme {f = g} d´esigne l’ensemble {x ∈ X | f (x) = g(x)} pour une autre application g
de X dans Y, etc. En particulier la fonction 1f =0 d´esigne l’application d´efinie sur X d´efinie par
(
1 si f (x) = 0
1{f =0} (x) =
pour tout x ∈ X .
0 sinon ,

2.2.2

Op´
eration sur les suites et familles d’ensembles

Pour tout ensemble X on note P(X) l’ensemble des parties de X.
Soit A = (An )n∈I une famille de sous-ensembles d’un mˆeme ensemble X avec I ensemble
quelconque. On note
\
[
An = {x ∈ X | ∃n ∈ I, x ∈ An } . et
An = {x ∈ X | ∀n ∈ I, x ∈ An } .
n∈I

n∈I

Si I = N, on note
lim inf An = lim inf An = lim inf A =
n→∞

et

n

[\

lim sup An = lim sup An = lim sup A =
n→∞

Ap

n p≥n

\[

n

Ap .

n p≥n

Si (An ) est une suite monotone d’ensembles on notera
An ↑ B

ou An ↓ B ,

suivant que (An ) est croissante (An ⊆ An+1 pour
n ⊇ An+1 pour tout
S tout n) ou d´ecroissante (AT
n), respectivement. Dans le premier cas, B = n An , et dans le second B = n An .
Pour n ≥ 1 ensembles A1 , ..., An , on note A1 × · · · × An l’ensemble produit des n-uplet `a
composantes dans A1 , ..., An :
A1 × · · · × An = {(x1 , . . . , xn ) | xi ∈ Ai pour tout i = 1, . . . , n} .
Plus g´en´eralement, pour une famille (Ai )i∈I (non n´ecessairement finie ni mˆeme d´enombrable), on
notera
Y
Ai = {(xi )i∈I | xi ∈ Ai pour tout i ∈ I}
i∈I

l’espace produit des familles index´e par I `a valeurs dans les (Ai ).
15

2.3
2.3.1

Conventions relatives aux vecteurs
Vecteurs et matrices

Soit p un entier strictement positif. Par convention, on identifie les ´el´ements de Rp (ou Cp )
aux vecteurs colonnes, c’est-`
a-dire aux matrices de taille p × 1.
Pour une matrice A on note AT sa matrice transpos´ee et AH sa matrice transpos´ee conjugu´ee.
Ainsi :
1. si x ∈ Rp , on note xT le vecteur ligne correspondant,
2. Pour x et y dans Rp , xT y d´esigne le produit scalaire euclidien entre x et y,
3. Pour x et y dans Cp , xH y d´esigne le produit hermitien entre x et y.
On notera |x| la norme euclidienne de x,
|x| = (xH x)1/2
quelque soit la dimension de x.

2.3.2

Fonctions d´
efinies sur Rp , d´
eriv´
ees partielles, diff´
erentiabilit´
e

Soit f une fonction d´efinie sur Rp `
a valeurs dans R. Soit α un vecteur d’entiers positif (appel´e
multiindice), α ∈ Np . On note, pour x = (x1 , . . . , xp ) ∈ Rp ,
αp
1
xα = xα
1 . . . xp .

(2.1)

On note d’autre part ∂i la d´eriv´ee partielle par rapport `a la i-`eme coordonn´ees et ∂ = (∂1 , . . . , ∂p ).
Par suite, on note ∂ α f la d´eriv´ee partielle de f obtenue en d´erivant f (x1 , . . . , xp ) α1 fois par
rapport `
a x1 , α2 fois par rapport `
a x2 , ..., αp fois par rapport `a xp :
∂ α f (x1 , . . . , xp ) =




∂x1

α1


...


∂xp

αp
f (x1 , . . . , xp ) .

(2.2)

Si f est `
a valeurs dans Rq , cette d´efinition est appliqu´ee `a chaque composante de f si bien que
α
∂ f est aussi une fonction `
a valeurs dans Rq .
Dans un premier temps, nous appliquerons ∂ α `a f en x uniquement si f est α∗ fois continˆ
ument
diff´erentiable dans un voisinage de x, o`
u l’on a not´e
α∗ =

p
X

αi .

(2.3)

i=1

On rappelle que, dans le cas p = 1, une fonction f est k fois continˆ
ument d´erivable sur un sousensemble ouvert Ω de R si elle est k fois d´erivable sur Ω et que f (k) est continue sur Ω. Pour p > 1,
il faut passer par la notion de diff´erentielle, qui permet au passage de montrer que l’ordre dans
lequel les d´erivations successives sont calcul´ees dans le membre de droite de (2.2) ne change pas
le r´esultat.

efinition 2.3.1 (Diff´erentiabilit´e). Soit f une fonction d´efinie sur un ouvert Ω de Rp `a valeurs
dans Rq . On dit que f est diff´erentiable en x ∈ Ω s’il existe une fonction Dx f lin´eaire de Rp dans
Rq telle que, lorsque y → x,
f (y) = f (x) + Dx (f ) (y − x) + o(|y − x|) .
Si f est diff´erentiable en tout point x ∈ Ω et que l’application x 7→ Dx f de Ω dans Rq×p est
continue sur Ω, on dit que f est continˆ
ument diff´erentiable sur Ω.
16

Ainsi pour p = 1, on a Dx (f ) (z) = f 0 (x) z. Plus g´en´eralement pour p ≥ 1 l’application lin´eaire
Dx (f ) peut s’´ecrire comme un produit scalaire, il existe une matrice ∇f (x) telle que
Dx (f ) (z) = [∇f (x)]T z .
Si q = 1, ∇f (x) est un vecteur et est appel´e gradient de f en x.
Le th´eor`eme suivant permet de caract´eriser facilement les fonctions continˆ
ument diff´erentiables.
Th´
eor`
eme 2.3.2. Soit f une fonction d´efinie sur un ouvert Ω de Rp `
a valeurs dans Rq . Les deux
propositions suivantes sont ´equivalentes.
(i) La fonction f est continˆ
ument d´erivable par rapport `
a chacune de ses variables, i.e. les
d´eriv´ees partielles ∂ i f existent et sont continues sur Ω pour les multiindices canoniques
1 , . . . , p (qui v´erifient | i | = 1 et i a une i-i`eme composante non-nulle).
(ii) La fonction f est continˆ
ument diff´erentiable sur Ω.
De plus on a alors, pour tout x ∈ Ω et z ∈ Rp ,
∇f (z) = ∂f (x)

o`
u

∂f =



∂ 1 f

...

∂ p f

T

.

Il se peut que la fonction x 7→ ∇f puisse `a son tour ˆetre diff´erenci´ee en tant que fonction de Ω
dans Rp×q , cette seconde diff´erentielle est not´ee Dx2 f . Par suite, on d´efinit Dxn f pour n = 1, 2, . . .
en it´erant et on dit que f est n fois continˆ
ument diff´erentiable sur Ω si la fonction x 7→ ∇n f (x)
n
est continue en tant que fonction de Ω dans Rq×p .
On notera C n (Ω, Rq ), ou plus simplement C n (Ω) si q = 1, ou encore C n s’il n’y a pas d’ambigu¨ıt´e
sur Ω, l’espace des fonctions continˆ
ument diff´erentiable sur Ω `a valeurs dans Rq .
Si n = 0, on notera simplement C au lieu de C 0 (espace des fonctions continues).
Le sous–espace des fonctions f ∈ C(RN ) telles que f (x) → 0 quand |x| → ∞ est not´e Co .
Le sous–espace des fonctions f ∈ C(RN ) nulles en dehors d’un intervalle born´e est not´e Cc .
L’intersection de tous les C n (Ω, Rq ) quand n parcourt N sera not´e C ∞ (Ω, Rq ) (espace des
fonctions infiniment d´erivables).
Il suit du th´eor`eme et des d´efinitions pr´ec´edentes que pour p = 2, si f est C 2 , l’ordre de
d´erivation par rapport `
a chacune des variables ne compte pas. Ce cas suffit pour ´ecrire plus
g´en´eralement le r´esultat suivant.
Th´
eor`
eme 2.3.3 (Th´eor`eme de Schwartz). Soit f une fonction d´efinie sur un ouvert Ω de Rp `
a
valeurs dans Rq . Si f est C n dans un voisinage de x, alors pour tout multiindice α ∈ Np tel que
α∗ = n, l’ordre de d´erivation utilis´e pour calcul´e ∂ α f (x) par (2.2) ne modifie pas le r´esultat.

2.4

Int´
egrale de Riemann

Soient a < b deux r´eels. On appelle subdivision σ de [a, b] un ensemble fini d’´el´ements a0 =
a < a1 < · · · < an = b. Le pas de σ est d´efini par
δ(σ) = max (ai − ai−1 ) .
1≤i≤n


efinition 2.4.1 (Int´egrale de Riemann sur un intervalle). Soit f une fonction de [a, b] dans R. On
dit que f est Riemann–int´egrable si, pour toute suite de subdivision (σn ) telle que limn δ(σn ) = 0,
on a
n
n
X
X
lim
inf f ([qi−1 , ai [) (ai − ai−1 = lim
sup f ([qi−1 , ai [) (ai − ai−1 .
n

On note alors

Rb
a

n

i=1

i=1

f cette limite et on l’appelle l’int´egrale de Riemann de f .
17

Tous les lecteurs connaissent au moins l’int´egrale de Riemann pour les fonctions continues
par morceaux, voir pour les fonctions r´egl´ees (limites uniformes de fonction en escaliers). En fait
l’ensemble des fonctions Riemann–int´egrables est assez difficile `a caract´eriser et soufre de quelques
d´efauts. Par exemple si (fn ) est une suite de fonctions Riemann–int´egrables uniform´ement born´ees,
rien ne garantit que lim supn fn est Riemann–int´egrable.
Un objectif de cet ouvrage est de compl´eter cette int´egrale sur un ensemble de fonctions beaucoup plus agr´eable, notamment pour ce type de passage `a la limite.
Un autre avantage de l’int´egrale que nous d´efinirons (l’int´egrale de Lebesgue) est qu’elle s’appliquera directement `
a une fonction d´efinie sur R alors que ce n’est pas le cas de l’int´egrale de
Riemann. La d´efinition ci-dessus ne convient en effet que pour les fonctions d´efinies sur un intervalle [a, b]. Par convention, nous dirons dans cet ouvrage qu’une fonction d´efinie sur R est
Riemann–int´egrable si il existe a < b tel que la restriction de f `a [a, b] est Riemann–int´egrable
et f est nulle en dehors de cet intervalle. Il faut bien distinguer cette convention de la notion
d’int´egrale de Riemann g´en´eralis´ee, d´efinie g´en´eralement comme suit.
¯ Soit f

efinition 2.4.2 (Int´egrale de Riemann g´en´eralis´ee). Soient a < b deux ´el´ements de R.
une fonction de ]a, b[ dans R telle que pour tout a < b < c < d, f est Riemann–int´egrable sur
[c, d]. L’int´egrale g´en´eralis´ee de f sur ]a, b[ est d´efinie par
Z b
Z d
f = lim
f,
c↓a,d↑b

a

c

quand ces limites existent.
Disons tout de suite que l’introduction de l’int´egrale de Lebesgue rendra compl`etement caduque
cette d´efinition, comme expliqu´e au d´ebut du paragraphe 3.4.

2.5

Exercices

Exercice 1. Calculer lim inf n→∞ xn et lim supn→∞ xn pour les suites (xn ) suivantes.
1. xn = n pour tout n ≥ 0
2. xn = (−1)n (1 + 1/n) pour tout n ≥ 1.
Exercice 2. Soit (xn ) une suite r´eelle positive sous–additive, c’est-`
a-dire telle que pour tout
couple d’entiers m et n : xn+m ≤ xn + xm .
1. Montrer que :
∀n ∈ N, lim sup
m→∞

2. En d´eduire que :
inf

n∈N

xn
xm

m
n

xn
xn
xn
= lim inf
= lim sup
n→∞
n
n
n→∞ n

Puis que la suite de terme g´en´erale

xn
n

est convergente si et seulement si elle est born´ee.

Exercice 3. Soit (xi )i∈I une famille absolument sommable telle que ∀i ∈ I, xi 6= 0.
1. Montrer que pour tout entier naturel n, l’ensemble In = {i ∈ I : |xi | > 1/n} est fini.
2. En d´eduire que I est d´enombrable.
Exercice 4. Soit une s´erie convergente de terme g´en´eral (xn )n∈N telle que la famille (xn )n∈N ne
soit pas absolument sommable ; on dit que la s´erie de terme g´en´eral (xn ) est semi–convergente.
1. Montrer que pour tout l ∈ R, il existe une bijection σ de N dans N telle que la s´erie de terme
g´en´eral xσ(n) converge vers l. [On se contentera d’expliquer la construction de σ sans entrer
dans les d´etails]
2. Montrer r´eciproquement que si (xn )n∈N est une famille absolument sommable, la s´erie de
terme g´en´eral (xσ(n) ) converge quelle que soit la bijection σ de N dans N.
18

Exercice 5. Soit (An )n∈N une famille de sous-ensembles d’un ensemble X.
1. Montrer que :
x ∈ lim sup An ⇔

X

1An (x) = +∞

n

2. Ainsi que :
x ∈ lim inf An ⇔

X

1Acn (x) < ∞

n

Exercice 6. Soit (fn ) une suite de fonctions d’un ensemble X dans R. Montrer que l’ensemble
des points o`
u la suite de fonctions converge simplement s’´ecrit :
\ [ \ \

{x ∈ X : |fp (x) − fq (x)| <

k∈N n∈N p≥n q≥n

1
}
k

Exercice 7. Soit (Ai )i∈I une famille finie de sous-ensembles d’un ensemble fini X. On note #A
le nombre d’´el´ements de l’ensemble A.
1. Soit x ∈ X un ´el´ement quelconque de X. Montrer que la matrice Γx de taille #I × #I
donn´ee par γx (i, j) = 1Ai ∩Aj (x) est une matrice sym´etrique positive. (On pourra consid´erer
le vecteur vx de taille #I dont les composantes sont les 1Ai (x) et ´ecrire Γx en fonction de
ce vecteur.)
2. En d´eduire que la matrice Γ donn´ee par γ(i, j) = #(Ai ∩ Aj ) est sym´etrique positive.
3. Montrer que pour que Γ soit d´efinie positive, il faut au moins que #X ≥ #I. (On pourra
montrer qu’il faut que V ect(vx ) ait un orthogonal r´eduit `
a {0})
Exercice 8. Expliquer pourquoi la d´efinition de la diff´erentielle d’une fonction de Rp dans Rq ne
d´epend pas du choix de la norme | · |.
Exercice 9. Soit f une application lin´eaire de Rp dans Rq .
1. Soit x un point quelconque de Rp , calculer la diff´erentielle Dx f au point x. L’application
x 7→ Dx f est-elle lin´eaire ?
2. Calculer la diff´erentielle de x ∈ Rp 7→ |f (x)|2 en un point quelconque de Rp (o`
u | · | d´esigne
la norme euclidienne sur Rq ).
Exercice 10. On d´efinit la fonction f sur R par f (0) = 0 et
f (x) = x2 cos(1/x),

x ∈ R∗ .

Montrer que f est d´erivable sur R mais pas C 1 sur cet ensemble (sa d´eriv´ee n’est pas continue).

19

20

Deuxi`
eme partie

Int´
egrale de Lebesgue

21

Chapitre 3

Construction de l’int´
egrale de
Lebesgue
3.1

Fonctions en escaliers

La construction repose sur l’approximation des fonctions par des fonctions de base pour
lesquelles le calcul de l’int´egrale ne souffre pas d’ambigu¨ıt´e : les fonctions en escalier.

efinition 3.1.1 (Fonction en escalier). Une fonction en escalier sur R est une combinaison
lin´eaire finie de fonctions indicatrices d’intervalles semi-ouverts [a, b[, a, b ∈ R. Plus pr´ecis´ement,
pour toute fonction en escalier f , il existe une famille finie d’intervalles [a1 , b1 [, . . . , [an , bn [ et de
nombres λ1 , . . . , λn ∈ R tels que
f = λ1 f1 + · · · + λn fn =

n
X

λi fi ,

(3.1)

i=1

o`
u fk = 1[ak ,bk [ est la fonction indicatrice de [ak , bk [, c’est `a dire fk (x) = 1 si x ∈ [ak , bk [, et
fk (x) = 0 sinon.
Clairement, la repr´esentation (3.1) n’est pas unique. Mais on peut construire une repr´esentation
canonique, pour laquelle les intervalles [ak , bk [ sont disjoints et le nombre d’intervalles est minimal
(voir (3.2) ci-dessous). Notons que la fonction identiquement nulle (on notera f ≡ 0) est la
seule fonction en escalier continue. Si la fonction f n’est pas identiquement nulle, elle admet
des points de discontinuit´e : a0 , a1 , . . . , an . Sans perte de g´en´eralit´e, nous pouvons supposer que
a0 < a1 < · · · < an . Notons par gk (k = 1, . . . , n) la fonction indicatrice de l’intervalle [ak−1 , ak [.
Alors
f = α1 g1 + · · · + αn gn ,
(3.2)
o`
u αk = f (ak−1 ), k = 1, . . . , n. Cette repr´esentation est appel´ee la repr´esentation canonique de f .
La famille de toutes les fonctions en escalier sur R est un espace vectoriel. La valeur absolue
d’une fonction en escalier est une fonction en escalier. Si f = α1 f1 +· · ·+αn fn est la repr´esentation
canonique d’une fonction en escalier f , alors |f | = |α1 |f1 + · · · + |αn |fn .
def

Pour toute fonction `
a valeurs r´eelles f et g, nous avons f ∧ g = min(f, g) = 21 (f + g − |f − g|)
et f ∨ g = max{f, g} = 12 (f + g + |f − g|). Donc si f et g sont des fonctions en escalier, alors f ∧ g
et f ∨ g sont aussi des fonctions en escalier.
Soit, pour tout t ∈ R, Tt l’op´erateur de t-translation d´efini pour toute fonction f par
Tt f (x) = f (x − t),

x∈R.

Notons que si f est une fonction en escalier, Tt f est une fonction en escalier. En effet, si f
est la fonction indicatrice de [a, b[, alors Tt f est la fonction indicatrice de [a + t, b + t[. Donc si
23

f = λ1 f1 + · · · + λn fn est la repr´esentation canonique de f , alors Tt f = λ1 Tt f1 + · · · + λn Tt fn est
la repr´esentation canonique de Tt f .
R

efinition 3.1.2 (Int´egrale d’une fonction en escalier). L’int´egrale f d’une fonction en escalier
f (x) = λ1 f1 (x)+· · ·+λn fn (x), o`
u fk est la fonction indicatrice de [ak , bk [ , k = 1, . . . , n, est donn´ee
par
Z
f = λ1 (b1 − a1 ) + · · · + λn (bn − an ).
On utilisera aussi les notations classiques
Z
Z
Z
Z
f = f (x) dx =
f (x) dx =

(3.3)



f (x) dx .



R

R
Clairement, f est l’int´egrale de Riemann de f . Les propri´et´es ´el´ementaires de l’int´egrale de
Riemann montrent en particulier que la d´efinition de l’int´egrale ci-dessus ne d´epend pas du choix
de la repr´esentation de f . De plus le r´esultat suivant d´ecoule de cette identification avec l’int´egrale
de Riemann ou, si l’on pr´ef`ere, peut se montrer directement `a l’aide de (3.3).
Th´
eor`
eme 3.1.3. Pour toutes fonctions en escalier f et g nous avons :
R
R
R
(i) (f + g) = f + g ;
R
R
(ii) λf = λ f, λ ∈ R ;
R
R
(iii) Si f ≤ g alors f ≤ g ;
R
R
(iv) | f | ≤ |f | ;
R
R
(v) Tt f = f, t ∈ R.
En appliquant (iii ), on obtient imm´ediatement le lemme suivant.
Lemme 3.1.4. Soit f une fonction en escalier nulle en dehors de l’union des intervalles ferm´es
[a1 , b1 ] , . . . , [an , bn ]. Si |f | ≤ M , pour M ∈ R+ , alors
Z
|f | ≤ M

n
X

(bk − ak ).

k=1

Afin d’approcher les fonctions plus g´en´erales par des fonctions en escalier, il faudra consid´erer
des intervalles de plus en plus petit. Le lemme suivant nous sera alors utile.
Lemme 3.1.5. Soit [a1 , b1 [ , [a2 , b2 [ , . . . une partition
de l’intervalle [a, b[, i.e. les intervalles
S∞
[a1 , b1 [ , [a2 , b2 [ , . . . sont deux a
` deux disjoints et n=1 [an , bn [ = [a, b[. Alors

X

(bn − an ) = b − a .

n=1

D´emonstration. Si c ∈ ]a, b], alors [a1 , b1 [ ∩ [a, c[ , [a2 , b2 [ ∩ [a, c[ , . . . est une partition de [a, c[.
Notons par S l’ensemble des c ∈ ]a, b] tels que
X
(bc,n − an ) = c − a ,
an <bc,n

o`
u bc,n = min{bn , c} et la sommation porte sur l’ensemble des entiers naturels n tels que an < bc,n .
Notons que S est non vide car il existe n0 ∈ N tel que a = an0 et alors bn0 ∈ S. D’autre part, il
est clair que quelque soit c ∈ ]a, b], comme la famille des intervalles ([an , bc,n [)n:an <bc,n forme une
partition de [a, c[, on a
X
(bc,n − an ) ≤ c − a .
an <bc,n

24

Nous allons montrer que b ∈ S. Nous allons tout d’abord montrer que sup(S) ∈ S.
Posons s = sup(S) et soit (sn )n∈N une suite monotone croissante d’´el´ements de S qui converge
vers s. Alors
X
X
(bs,m − am ) ≤ s − a .
(bsn ,m − am ) ≤
sn − a =
am <bs,m

am <bsn ,m

P
Comme sn − a → s − a, l’in´egalit´e pr´ec´edente implique am <bs,m (bs,m − am ) = s − a, et donc que
s ∈ S.
Nous allons maintenant ´etablir que s = b. Supposons que s < b. Alors s ∈ [ak , bk [ pour un
entier k ∈ N, et donc bk ∈ S. Cela implique que bk > s, ce qui contredit la definition de s.
Th´
eor`
eme 3.1.6. Soit (fn ) Rune suite d´ecroissante de fonctions en escalier telle que limn fn (x) = 0
pour tout x ∈ R. Alors limn fn = 0.
D´emonstration. Prenons > 0. Soit [a, b] un intervalle en dehors duquel f1 est nul(et donc aussi

. Pour n = 1, 2, . . . definissons An = {x ∈ [a, b[ : fn (x) < α} et
fn , n = 1, 2, . . .). Soit α = 2(b−a)
B1 = A1 , Bn = An \AS
n−1 pour n ≥ 2. Notons
S∞que les ensembles Bn sont deux-`a-deux disjoints

(car An−1 ⊆ An ) et n=1 Bn = [a, b[ (car n=1 An = [a, b[). Comme les fonctions fn sont en
escalier, les ensembles Bn sont des unions finies d’intervalles semi-ouverts deux-`a-deux disjoints,
Bn = [an,1 , bn,1 [ ∪ · · · ∪ [an,kn , bn,kn [ .
Les intervalles
[a1,1 , b1,1 [ , . . . , [a1,k1 , b1,k1 [ , . . . , [an,1 , bn,1 [ , . . . , [an,kn , bn,kn [ , . . .
satisfont les hypoth`ese du Lemme 3.1.5. Donc
kn
∞ X
X

(bn,k − an,k ) = b − a.

n=1 k=1

Soit n0 ∈ N tel que
kn

X
X

(bn,k − an,k ) < δ ,

(3.4)

n=n0 +1 k=1

o`
uδ=


2 max |f1 | .

Remarquons que An0 = B1 ∪ · · · ∪ Bn0 et consid´erons deux fonctions g et h :


fn0 (x) x ∈ An0 ,
0
autrement



0
x ∈ An 0 ,
fn0 (x) autrement.

g(x) =
et
h(x) =

Nous avons fn0 (x) < α pour x ∈ An0 . Par cons´equent, g(x) < α pour tout x ∈ R, ce qui donne
Z

(3.5)
g < α(b − a) = ,
2
en utilisant le Lemme 3.1.4. En raisonnant de fa¸con similaire pour h, nous obtenons
Z

h < δ max |fn0 | ≤ δ max |f1 | = ,
2
en utilisant (3.4). Comme fn0 = g + h, nous avons
Z
Z
Z
fn0 = g + h < ,
25

(3.6)

R

par (3.5) et (3.6). Comme la suite
que sa limite v´erifie

fn


n∈N

est d´ecroissante, nous concluons qu’elle converge et

Z

Z
fn ≤

lim

n→∞

fn0 < .

Comme > 0 est arbitraire, ceci conclut la preuve.
Corollaire 3.1.7. Soit (fn ) une
R suite croissante de fonctions en escalier. Si limn→∞ fn (x) ≥ 0
pour tout x ∈ R, alors limn→∞ fn ≥ 0.
D´emonstration. Les fonctions en escalier fn− = max{0, −fn }, n = 1, 2, . . ., forment une suite
d´ecroissante de fonctions
en escalier, qui converge vers 0 pour tout x ∈ R. Le th´eor`eme 3.1.6,
R
montre que limn→∞ fn− = 0. Comme fn = fn+ − fn− pour tout n ∈ N, nous avons donc
Z
Z
Z
fn = fn+ − fn− .
On obtient le r´esultat en passant `
a la limite n → ∞.

3.2

Fonctions int´
egrables au sens de Lebesgue

Les pr´eparatifs techniques de la section pr´ec´edente nous permettent maintenant de donner une
d´efinition simple de Lebesgue des fonctions int´egrables.

efinition 3.2.1 (Fonction int´egrable (au sens de Lebesgue)). Une fonction `a valeurs r´eelles f ,
d´efinie sur R, est dite int´egrable au sens de Lebesgue, ou simplement int´egrable, s’il existe une suite
de fonctions en escalier (fn ) telle que les deux conditions suivantes soient v´erifi´ees :
P∞ R
(i )
n=1 |fn | < ∞ ;
P∞
P∞
(ii ) f (x) = n=1 fn (x) pour chaque x ∈ R tel que n=1 |fn (x)| < ∞.
L’int´egrale de f est alors d´efinie par
Z
f=

∞ Z
X

fn .

(3.7)

n=1

Si la fonction f et la suite de fonctions en escalier (fn )n∈N satisfont (i ) et (ii ), alors nous ´ecrivons
f'


X

fn

ou f ' f1 + f2 + · · · .

(3.8)

n=1

P∞ R
Grˆ
ace `
a (i ), la s´erie n=1 fn converge. Toutefois, afin deR prouver que l’int´egrale de Lebesgue
(3.7) est bien d´efinie, nous devons montrer que le nombre f est ind´ependant du choix de la
repr´esentation f ' f1 + f2 + · · · . Ceci d´ecoule facilement du lemme suivant.
Lemme
R
R 3.2.2. Soit (fi ) une suite de fonctions en escalier. Si f ' f1 + f2 + · · · et f ≥ 0, alors
f1 + f2 + · · · ≥ 0.
D´emonstration. Soit > 0 et soit n0 ∈ N un entier tel que
Z

X

|fn | < ,

n=n0 +1

(un tel indice n0 existe par le point (i ) de la D´efinition 3.2.1). D´efinissons
gn = f1 + · · · + fn0 + |fn0 +1 | + · · · + |fn0 +n |,
26

pour n = 1, 2, . . .. Comme (gn ) est P
une suite croissante de fonctions en escalier telle que
limn P
gn (x) ≥ 0 pour tout x ∈ R (soitP n |fn (x)| =P
∞ auquel casPla propri´et´e est ´el´ementaire,


n0
fn (x) + n=n0 +1 |fn (x)|), nous avons
soit n |fn (x)| < ∞, auquel cas 0 ≤ n=1 fn (x) ≤ n=1
R
limn→∞ gn ≥ 0, par le Corollaire 3.1.7. Donc,
Z
0≤
Z


Z

X

Z
f1 + · · · +

f n0 +
Z

f1 + · · · +

f n0 +

|fn |

n=n0 +1
Z

X

Z
fn +


|fn | +

n=n0 +1

=


∞ Z
X
n=1
∞ Z
X

Z

X

fn + 2

Z

X

|fn |

n=n0 +1

|fn |

n=n0 +1

fn + 2 ,

n=1

ce qui prouve le lemme car est arbitraire.
Corollaire 3.2.3. Soit (fi ) une suite de fonctions en escalier. Si f '
alors
∞ Z
∞ Z
X
X
gn .
fn =

P∞

n=1

fn et f '

P∞

n=1 gn ,

n=1

n=1

D´emonstration. Comme 0 ' f1 − g1 + f2 − g2 + · · · , nous avons, par le Lemme 3.2.2,
Z
Z
Z
Z
f1 − g1 + f2 − g2 + · · · ≥ 0
et donc

∞ Z
X

fn −

n=1

∞ Z
X

gn ≥ 0,

n=1

parce que ces deux s´eries sont absolument convergentes. De fa¸con similaire, nous obtenons
∞ Z
∞ Z
X
X
gn −
fn ≥ 0,
n=1

n=1

et par cons´equent ces deux s´eries sont ´egales.
Le corollaire 3.2.3 implique que les fonctions en escalier sont int´egrables et que dans ce cas
les int´egrales (d´efinition 3.1.2 et d´efinition 3.2.1) co¨ıncident (ce qui justifie l’utilisation du mˆeme
symbole dans les deux cas). En effet, si f est une fonction en escalier, alors f ' f + 0 + 0 + · · · .
La remarque suivante peut s’av´erer utile.
Remarque 3.2.4. Soit (fi ) une suite de fonctions en escalier et f ' f1 +f2 +. . . . En d´ecomposant
chaque fn par sa repr´esentation canonique, on obtient une repr´esentation par une s´erie de la forme
f ' λ1 1I1 + λ2 1I2 + . . . ,
o`
u Ii sont des intervalles semi-ouverts `a droite. Autrement dit, on aurait pu imposer de prendre
chaque fi de la forme λi 1Ii dans la d´efinition sans perte de g´en´eralit´e.

efinition 3.2.5 (Espace L1 (R)). L’espace de toutes les fonctions Lebesgue-int´egrable d´efinie
sur R est not´ee par L1 (R).
Dans la suite ce chapitre, les fonctions Lebesgue-int´egrables sont appel´ees tout simplement
int´egrables.
27

R
Th´
eor`
eme 3.2.6. L1 (R) est un espace vectoriel sur le corps R. L’application
f 7→ f est une
R
R
forme lin´eaire sur L1 (R). De plus, si f , g ∈ L1 (R) et f ≤ g, alors f ≤ g.
P∞

monstration. Soit (fi ) et (gi ) deux suites de fonctions en escalier. Si f '
n=1 fn et g '
Pe∞
n=1 gn , et λ ∈ R, alors
f + g ' f1 + g1 + f2 + g2 + · · ·
et
λf ' λf1 + λf2 + · · · .
Par cons´equent, f + g ∈ L1 (R) et λf ∈ L1 (R). De plus,
R
R
R
R
R
(f + g) = f + g et λf = λ f .
R
R
R
Si f ≤ g, alors g − f ≥ 0, et donc (g − f ) ≥ 0 (Lemme 3.2.2). Donc g − f ≥ 0.
La d´efinition 3.2.1 est assez simple, mˆeme si elle peut ˆetre un peu surprenante. La condition (i )
ne
fait
P∞ pas explicitement apparaˆıtre f . La condition (ii ) dit que f est ´egal `a la somme de la s´erie
u la s´erie converge absolument. Il est l´egitime d’essayer de caract´eriser un
n=1 fn aux points o`
tel ensemble. Le r´esultat suivant donne une indication int´eressante.
P∞ R
Th´
eor`
eme 3.2.7.
Soient
(f
)
une
suite
de
fonctions
en
escaliers
telle
que
n
k=1 |fk | < ∞. Soit
P∞
A = {x ∈ R , k=1 |fk (x)| = ∞} l’ensemble des points o`
u la s´erie de terme g´en´eral (fk (x)) n’est
pas absolument sommable. Alors 1A est int´egrable et
Z
1A = 0 .
(3.9)
D´emonstration. Soit g la fonction indicatrice de cet ensemble. Alors g ' f1 − f1 + f2 − f2 + · · · ,
et par cons´equent,
Z
Z
Z
Z
Z
g = f1 − f1 + f2 − f2 + · · · = 0.

L’´equation (3.9) indique que l’ensemble A est “petit” (on dira que A est n´egligeable) : il ne
peut contenir d’autres intervalles que des points ! Nous approfondirons cette notion car elle sera
fondamentale pour le calcul int´egral.
A ce point, le lecteur est l´egitimement en droit d’attendre quelques exemples de fonctions
int´egrables au sens de Lebesgue. Nous savons que chaque fonction en escalier est Lebesgueint´egrable, mais ´evidemment cet exemple est quelque peu trivial. Nous pourrions nous poser
des questions plus compliqu´ees. Par exemple, nous aimerions trouver des fonctions qui soient
Lebesgue–int´egrable mais pas Riemann–int´egrable. D´evoilons quelques ´el´ements qui nous permettront d’y arriver. Tout d’abord nous montrerons au paragraphe 4.3 que chaque fonction int´egrable
au sens de Riemann est Lebesgue int´egrable et que les deux int´egrales sont ´egales, autrement dit,
l’int´egrale de Lebesgue ´etend l’int´egrale de Riemann. Ceci permet d’appliquer le calcul int´egral
d´ej`
a connu dans le cadre de Riemann et d’utiliser les exemples connus dans ce cadre. Le deuxi`eme
outil permettant d’´etablir l’int´egrabilit´e et de calculer des int´egrales est l’utilisation de th´eor`emes
s’appliquant `
a des fonctions d´efinies comme des limites simples d’une suite de fonctions int´egrables.
Ces r´esultats, regroup´es dans le paragraphe 4.2 seront beaucoup plus g´en´eraux que pour l’int´egrale
de Riemann. Au passage, c’est aussi `
a l’aide de ces r´esultats que nous montrerons ais´ement que
l’int´egrale de Lebesgue ´etend bien l’int´egrale de Riemann.
Le r´esultat est que nous ne disposons `a ce niveau de la construction que de la d´efinition de
l’int´egrale, et il est pr´ematur´e (ou inutilement compliqu´e) de tenter de prouver qu’une fonction,
mˆeme simple, est int´egrable en cherchant explicitement `a construire uneR suite de fonctions en
P∞
1
escalier (fn ) telle que f ' n=0 fn . Ce serait comme essayer d’´evaluer 0 ex dx en approchant
cette int´egrale par des sommes de Riemann sans utiliser le calcul connu qui passe par la primitive.
28

N´eanmoins, nous admettrons temporairement que l’int´
egrale de Lebesgue ´
etend
l’int´
egrale de Riemann. Bien que nous devions patienter jusqu’au th´eor`eme 4.3.1 du paragraphe 4.3 pour en donner la preuve, cela nous permettra d’illustrer ici et l`a notre cours par des
exemples simples sans avoir `
a se reposer uniquement sur la d´efinition pour les justifier. Bien entendu, ce fait ne sera pas utilis´e autrement que pour donner des exemples. En particulier aucune
des preuves ne reposeront sur cette extension jusqu’au paragraphe 4.3.

3.3

Fonctions localement int´
egrables

Par d´efinition, les fonctions en escalier sont nulles en dehors d’un intervalle born´e, on dit quelles
sont `
a support compact.

efinition 3.3.1 (Support compact (fonction `a)). Une fonction est dite `a support compact si elle
est nulle en dehors d’un intervalle born´e.
Il est parfois pratique de se ramener `a des fonctions `a support compact.

efinition 3.3.2 (Int´egrale sur un intervalle). La fonction f est int´egrable sur l’intervalle [a, b]
Rb
si Rf 1[a,b] est int´egrable. L’int´egrale de la fonction f sur l’intervalle [a, b], not´ee par a f est ´egale
a f 1[a,b] .
`
Dans la suite nous notons

Rb
a

f mˆeme si b ≤ a. Nous adoptons la convention usuelle :
Rb
a

f =−

Ra
b

f et

Ra
a

f = 0.

Comme f (a)1{a} et f (b)1{b} sont int´egrables d’int´egrale nulle, le fait de choisir un intervalle
ferm´e [a, b] n’a pas d’incidence sur la d´efinition pr´ec´edente. Nous pourrions aussi bien consid´erer
des intervallesR ouverts ]a, b[ ou des intervalles semi-ouverts au lieu de [a, b], sans changer la valeur
de l’int´egrale f 1[a,b] et nous obtiendrions donc les mˆemes d´efinitions. Dans les preuves il est plus
pratique d’utiliser 1[a,b[ plutˆ
ot que 1[a,b] , `a cause de la d´efinition des fonctions en escalier.
Th´
eor`
eme 3.3.3. Si f ∈ L1 (R), alors f est int´egrable sur tout intervalle [a, b].
D´emonstration. Soit f ' f1 + f2 + · · · . D´efinissons, pour n = 1, 2, . . .
(
gn (x) =

fn (x) si x ∈ [a, b[ ,
0
sinon.

On montre facilement que f 1[a,b[ ' g1 + g2 + · · · .
La r´eciproque du th´eor`eme pr´ec´edent est fausse. par exemple, pour la fonction constante f = 1,
Rb
l’int´egrale a f existe pour chaque −∞ < a < b < ∞, bien que f 6∈ L1 (R). Ceci sugg`ere la d´efinition
suivante :

efinition 3.3.4 (Fonctions localement int´egrables). Une fonction f d´efinie sur R est dite loRb
calement int´egrable, si l’int´egrale a f existe pour chaque −∞ < a < b < ∞. On notera L1loc (R)
l’espace des fonctions localement int´egrables.
Bien que cette d´efinition
impose que f soit int´egrable sur tout intervalle born´e, il suffit de
Rn
v´erifier que l’int´egrale −n f existe pour chaque n ∈ N, par suite du th´eor`eme 3.3.3.
L’ensemble des fonctions localement int´egrables est un espace vectoriel sur R. Notons que
Th´eor`eme 3.3.3 implique que L1 (R) est un sous-espace de L1loc (R).
29

3.4

Valeur absolue d’une fonction int´
egrable

Nous avons mentionn´e dans la section pr´ec´edente que toute fonction d´efinie sur un intervalle
born´e qui est Riemann–int´egrable est aussi Lebesgue-int´egrable. Il n’en est pas de mˆeme pour les
int´egrales g´en´eralis´ees. Par exemple, l’int´egrale de Riemann g´en´eralis´ee
Z ∞
sin x
dx
−∞ x
est d´efinie par
Z



−∞

sin x
dx =
lim
a,b→−∞,∞
x

Z

b

a

sin x
dx .
x

Avant de passer `
a la limite, int´egrale (propre) de Riemann et int´egrale de Lebesgue co¨ıncident.
Contrairement `
a l’int´egrale de Riemann, l’int´egrale de Lebesgue est directement d´efinie pour des
fonctions d´efinies sur toute la droite r´eelle. Il n’y a donc aucune raison de d´efinir une int´egrale
g´en´eralis´ee par passage `
a la limite d’une int´egrale d´efinie sur un intervalle born´e. Nous verrons
d’ailleurs (th´eor`eme 4.3.2) que pour tout f int´egrable,
Z

Z
f=

b

f.

lim

a,b→−∞,∞

a

Malheureusement il peut arriver que f ne soit pas int´egrable au sens de Lebesgue mais que 1[a,b[ ×f
le soit pour tout a < b et que la limite
Z
lim

a,b→−∞,∞

b

f
a

existe et soit finie. Dans ce cas tr`es sp´ecifique, on a une int´egrale g´en´eralis´ee de Riemann bien
d´efinie dans R alors que son int´egrale de Lebesgue n’est pas d´efinie dans R. C’est le cas de la
fonction x 7→ sin(x)/x : elle n’est pas Lebesgue-int´egrable, comme le montre le th´eor`eme suivant.
Th´
eor`
eme 3.4.1. Si f ∈ L1 (R) alors |f | ∈ L1 (R). De plus
Z Z
∞ Z
X


f ≤ |f | ≤
|fn | ,


n=1

o`
u (fn ) est une suite de fonctions en escalier telle que f '

P∞

fn .
P∞
D´emonstration. Soit (fi ) une suite de fonctions en escalier et f ' n=1 fn . D´efinissons
(
)

X
A= x∈R:
|fn (x)| < ∞ ,
n=1

n=1

et, pour n = 1, 2, . . ., nous appelons sn la suite des sommes partielles
sn = f1 + · · · + fn , .
Alors, pour tout x ∈ A, f (x) = limn→∞ sn (x) et |f (x)| = limn→∞ |sn (x)|. De fa¸con ´equivalente,
pour tout x ∈ A,
|f (x)| = |s1 (x)| + (|s2 (x)| − |s1 (x)|) + (|s3 (x)| − |s2 (x)|) + · · · .
En posant g1 = |s1 | et gn = |sn | − |sn−1 | pour n ≥ 2, nous avons pour tout x ∈ A
|f (x)| =


X
n=1

30

gn (x) .

De plus, comme
|gn | = ||sn | − |sn−1 || ≤ |sn − sn−1 | = |fn | ,
P∞ R
nous avons |gn | ≤ |fn |, et donc n=1 |gnP
| < ∞. Il est tentant d’´ecrire |f | ' g1 + g2 + · · · ,

mais il peut exister x 6∈ A pour lesquels la P
s´erie n=1 |gn (x)| est absolument convergente. Nous ne

pouvons affirmer pour de tels x 6∈ A, que n=1 gn (x) = |f (x)|. Nous pouvons ´eliminer ces points
en ´ecrivant :
|f | ' g1 + f1 − f1 + g2 + f2 − f2 + · · · .
(3.10)
R

R

Cela ne modifie pas la convergence de s´erie sur A, mais la s´erie diverge pour x ∈
/ A. Comme
Z
Z
Z
Z
Z
Z
|g1 | + |f1 | + |f1 | + |g2 | + |f2 | + |f2 | + · · · < ∞,
le d´eveloppement (3.10) est valide et donc |f | est int´egrable. De plus,
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
|f | = g1 + f1 − f1 + g2 + f2 − f2 + · · ·
Z
Z
Z
Z
= g1 + g2 + · · · ≤ |g1 | + |g2 | + · · ·
Z
Z
≤ |f1 | + |f2 | + · · · .
Finalement,
comme f ≤ |f | et −f ≤ |f |, nous avons
R
R
| f | ≤ |f |.

R

f≤

R

R
R
|f | et − f ≤ |f | et par cons´equent

Corollaire 3.4.2. Si f , g ∈ L1 (R), alors f ∧ g et f ∨ g ∈ L1 (R).
D´emonstration. Comme f ∧ g = 12 (f + g − |f − g|) et f ∨ g = 12 (f + g + |f − g|), la conclusion
d´ecoule des Th´eor`emes 3.2.6 et 3.4.1.
Remarque 3.4.3. L’int´egrabilit´e de |f | n’implique pas l’int´egrabilit´e de f . Toutefois, il est difficile
de construire un contre-exemple et mˆeme la preuve qu’une telle fonction existe requiert des outils
sophistiqu´es.

3.5


eries de fonctions int´
egrables

Dans la construction d´ecrite dans les sections pr´ec´edentes, nous avons tout d’abord d´efini une
int´egrale pour les fonctions en escalier puis nous l’avons ´etendue `a une plus grande classe de
fonctions, les s´eries de fonctions en escalier f ' f1 + f2 + . . . . Il est l´egitime de se demander s’il est
possible d’´elargir encore cette classe de fonctions en consid´erant cette fois des s´eries de fonctions
int´egrables. Nous allons voir que les s´eries de fonctions int´egrables sont simplement des fonctions
int´egrables et donc que l’on n’augmente pas de la sorte l’ensemble des fonctions int´egrables. Ce
r´esultat est une forme de compl´etude de l’espace de Lebesgue des fonctions int´egrables. Il est d’une
importance fondamentale pour la th´eorie de l’int´egrale de Lebesgue.
Nous allons d’abord d’´etendre l’utilisation de la notation f ' f1 + f2 + · · · `a une s´erie de
fonctions int´egrable.

efinition 3.5.1. Soit f une fonction `a valeurs r´eelles et soit (fn ) une suite de fonctions
int´egrables. Si
P∞ R
(i )
n=1 |fn | < ∞,
P∞
P∞
(ii ) f (x) = n=1 fn (x) pour tout x ∈ R tel que n=1 |fn (x)| < ∞,
P∞
alors nous ´ecrivons f ' f1 + f2 + · · · ou f ' n=1 fn .
Le lemme technique suivant sera utilis´e dans la preuve du th´eor`eme 3.5.3.
31

Lemme 3.5.2. Si f ∈ L1 (R), alors pour
R > 0,R il existe une suite de fonctions en escalier
P∞tout
(fn )n∈N telle que f ' f1 + f2 + · · · et n=1 |fn | ≤ |f | + .
D´emonstration. Soit f ' g1 +g2 +· · · une repr´esentation particuli`ere de f comme s´erie de fonctions
en escalier. Alors il existe n0 ∈ N tel que
Z

X

|gn | < .
2
n=n +1
0

D´efinissons
f1 = g1 + · · · + gn0 et fn = gn0 +n−1 pour n ≥ 2.
R
R
R
Clairement f ' f1 + f2 + · · · . Comme |f1 | − |f | ≤ |f1 − f | et f − f1 ' f2 + f3 + · · · , nous
avons
Z
Z
∞ Z
X
|f1 | − |f | ≤
|fn |
n=2

et par cons´equent
Z
|f1 | −

∞ Z
X

Z
|fn | ≤

|f |.

n=2

Nous avons donc
∞ Z
X

Z
|fn | =

|f1 | +

n=1

Z
|f1 | −

=
Z


∞ Z
X
n=2
∞ Z
X
n=2
∞ Z
X

|f | + 2
Z
|f | + 2

=

|fn |
|fn | + 2

∞ Z
X

|fn |

n=2

|fn |

n=2

X

Z
|gn |

n=n0 +1

Z
|f | + .

<

Th´
eor`
eme 3.5.3.
u f1 , f2 , . . . sont des fonctions int´egrables, alors f est
R
RSi f 'R f1 + f2 + · · · , o`
int´egrable et f = f1 + f2 + · · · .
D´emonstration. Comme, pour tout n ∈ N, la fonction fn est int´egrable, le Lemme 3.5.2, montre
qu’il existe, pour tout n ∈ N, une suite (fn,k )k∈N de fonctions en escalier telles que
fn ' fn,1 + fn,2 + · · ·
et

Z

Z
|fn,1 | +

Z
|fn,2 | + · · · ≤

|fn | + 2−n

pour tout n ∈ N. Comme N2 est isomorphe N, nous pouvons construire une suite (hn )n∈N en
r´eindexant la famille (fn,k ).
Nous avons f ' h1 + h2 + · · · . Par cons´equent f ∈ L1 (R) et
Z
Z
Z
Z
Z
f = h1 + h2 + · · · = f1 + f2 + · · · ,
car les s´eries consid´er´ees convergent uniform´ement.
32

P∞ R
Corollaire 3.5.4. Soit f1 , f2 , . . . ∈ L1 (R). Si R n=1 R |fn | R< ∞, alors il existe une fonction
int´egrable f telle que f ' f1 + f2 + · · · . De plus f = f1 + f2 + . . .
D´emonstration. La fonction f peut ˆetre d´efinie de la fonction suivante :
P∞
P∞
fn (x) si
n=1 |fn (x)| < ∞,
n=1
f (x) =
0
autrement
D’o`
u f ' f1 + f2 + · · · et la conclusion en appliquant le th´eor`eme 3.5.3.
R
Lemme 3.5.5. L’application k·k1 : L1 (R) → R d´efinie par kf k1 = |f | est une semi-norme sur
L1 (R), (c’est-`
a-dire qu’elle v´erifie kλf k = |λ| kf k et kf + gk ≤ kf k + kgk).
D´emonstration. Le Th´eor`eme 3.2.6 montre que
Z
Z
Z
kλf k1 = |λf | = |λ||f | = |λ| |f | = |λ| kf k1 .
Comme |f + g| ≤ |f | + |g|, nous avons
Z
Z
Z
kf + gk1 = |f + g| ≤ |f | + |g| = kf k1 + kgk1 ,
en appliquant une nouvelle fois le Th´eor`eme 3.2.6.

Nous ne pouvons toutefois pas affirmer que L1 (R), k·k
R 1 est un espace vectoriel norm´e. Il
existe des fonctions non identiquement nulles f telles que |f | = 0. Consid´erons, par exemple, la
fonction f (x)
R = 0 pour tout x ∈ ]0, 1] et f (0) = 1. Cette fonction n’est pas identiquement nulle ;
n´eanmoins |f | = 0. Nous l`everons cette difficult´e au paragraphe 7.2. N´eanmoins, nous pouvons
d’ores et d´ej`
a introduire la notion de convergence L1 suivante.

efinition 3.5.6 (Convergence en norme L1 (R) (ou L1 )). Une suite de fonctions f1 , f2 , . . . ∈
L1

1
1
1
L
R (R) converge vers la fonction f ∈ L (R) “en norme L ”, ce que nous notons fn −→ f , si
|fn − f | → 0.

Nous verrons au paragraphe 7.2 la d´efinition de l’espace vectoriel (L1 , k·k1 ), pour lequel cette
d´efinition correspond `
a la d´efinition usuelle de convergence dans un espace vectoriel norm´e (evn).
Nous utilisons un symbole particulier pour cette convergence car nous serons amen´e `a manipuler
d’autres types de convergence. Les propri´et´es suivantes d´ecoulent imm´ediatement de la d´efinition :
L1

L1

– Si fn −→ f et λ ∈ R, alors λfn −→ λf .
L1

L1

L1

– Si fn −→ f et gn −→ g, alors fn + gn −→ f + g.
L1

L1

– Si fn −→ f alors |fn | −→ |f |, [car ||fn | − |f || ≤ |fn − f |].

3.6

Exercices

Exercice 11. Montrer que les fonctions en escaliers forment un espace vectoriel.
R
Exercice 12. Soit f une fonction en escalier. Montrer que f ne d´epend pas du choix de la
repr´esentation de f .
Exercice 13. Montrer que Rsi f est
R int´egrable, alors pour tout z ∈ R, la fonction translat´ee τz f
est int´egrable. Montrer que f = τz f .
Exercice 14. Montrer que si f ∈ L1 (R), alors pour tout a < b, 1[a,b[ × f ∈ L1 (R) et il existe des
fonctions en escalier f1 , f2 , . . . s’annulant `
a l’ext´erieur de l’intervalle [a, b[ telle que

1[a,b[ × f ' f1 + f2 + · · · .
33

Exercice 15. Trouver une famille de fonctions en escaliers f1 , f2 , . . . telles que f ' f1 + f2 + · · ·
dans les cas suivants
1. f (x) = 1{0} (x)

2. f (x) = 1[a,b] (x) pour a < b, f (x) = 1]a,b[ (x).
3. f (x) = max{0, 1 − |x|}.
4. f est une fonction continue par morceaux `
a support compact. C’est-`
a-dire qu’il existe n ≥ 1
et a0 < a1 < · · · < an tels que f est nulle en dehors de [a0 , an [ et les restrictions de f `
a
chaque intervalle ouvert ]ai , ai+1 [ admettent un prolongement continu `
a l’intervalle ferm´e
[ai , ai+1 ]. On commencera par le cas o`
u f est continue `
a droite.
Exercice 16. On pose f+ = max{0, f } et f− = max{0, −f }. Montrer que f ∈ L1 (R) si et
seulement si f+ ∈ L1 (R) et f− ∈ L1 (R).
Exercice 17. Soit f ∈ L1 (R) avec f ≥ 0.
1. Supposons f continue. Construire des fonctions en escaliers f1 , f2 , . . . positives telles que
f ' f1 + f2 + · · · ?
2. Si l’on enl`eve l’hypoth`ese de continuit´e de f . Est-il toujours possible de trouver des fonctions
en escaliers f1 , f2 , . . . positives telles que f ' f1 + f2 + · · · ?
Exercice 18. Montrer que si f ∈ L1 (R) est continue, il existe des fonctions en escaliers f1 , f2 , . . .
telles que f ' f1 + f2 + · · · et |f | ' |f1 | + |f2 | + · · ·
Exercice 19. Montrer que la fonction indicatrice des rationnels de [0, 1] est int´egrable au sens de
Lebesgue mais n’est pas int´egrable au sens de Riemann.
Exercice 20. Montrer que f ∈ L1 (R) si et seulement si il existe des intervalles [a1 , b1 [,
[a2 , b2 [ , . . . et des r´eels λ1 , λ2 , . . . tels que
f ' λ1 1[a1 ,b1 [ + λ2 1[a2 ,b2 [ + · · · .
Exercice 21. Montrer que si f ' f1 + f2 + · · · alors pour toute fonction en escalier g, f + g '
g + f1 + f2 + · · · . En d´eduire que si f ' f1 + f2 + · · · alors f − f1 − · · · − fn ' fn+1 + fn+2 + · · · .
Exercice 22. Montrer que si la fonction f est uniform´ement continue sur R et f ∈ L1 (R), alors
f est born´ee puis lim|x|→∞ f (x) = 0.
Exercice 23. Soit G une fonction continue sur R telle que G(0) = 0 et G(x) > 0R pour x 6= 0.
Montrer que si f est une fonction r´eelle, born´ee, uniform´ement continue sur R et G ◦ f < ∞,
alors lim|x|→∞ f (x) = 0.
Exercice 24. Soient deux nombres r´eels a < b. Soit (fn ) une suite de fonctions continues nulles
en dehors de l’intervalle [a, b]. On suppose que (fn ) converge uniform´ement vers f .
1. Montrer que f est continue.
L1

2. Montrer que fn −→ f .

34

Chapitre 4

Calcul int´
egral
4.1

Fonctions nulles, Ensembles n´
egligeables, convergence
presque partout (p.p.)


efinition 4.1.1 (Fonction nulle). Une fonction f est appel´ee fonction nulle si

R

|f | = 0.

Dans cette d´efinition, nous supposons implicitement que |f | est int´egrable, mais nous ne supposons pas que f est int´egrable. Comme le montre le th´eor`eme suivant, dans ce cas particulier,
l’int´egrabilit´e de f d´ecoule de l’int´egrabilit´e de |f |.
Th´
eor`
eme 4.1.2. Si f est une fonction nulle et |g| ≤ |f |, alors g est une fonction nulle.
D´emonstration. La seule difficult´e est d’´etablir l’int´egrabilit´e de g. Pour montrer que g est
int´egrable nous allons d´emontrer que
g ' |f | + |f | + · · · .
(4.1)
R
R
En effet, comme f est une fonction nulle, nous avons |f | + |f | + · · · = 0 + 0 + · · · < ∞. De
plus, en tout point x ∈ R pour lequel la s´erie f (x) + f (x) + · · · est absolument convergente, on
a n´ecessairement f (x) = 0. Mais alors g(x) = 0 et nous avons g(x) = |f (x)| + |f (x)| + . . .. Ceci
montre que (4.1) est satisfaite, et donc que g est int´egrable.
Si f ' f1 + f2 + · · · , alors la s´erie f1 (x) + f2 (x) + · · · ne converge pas n´ecessairement pour
tout x ∈ R. N´eanmoins, l’ensemble des points o`
u cette s´erie ne converge pas est, dans un certain
sens, ”petit” : nous avons montr´e que l’int´egrale de la fonction indicatrice d’un tel ensemble est
nulle (th´eor`eme 3.2.7). Un tel ensemble s’appelle un ensemble n´egligeable.

efinition 4.1.3 (Ensemble n´egligeable). Un ensemble X ⊆ R est appel´e n´egligeable si sa fonction
indicatrice est une fonction nulle.
Le r´esultat suivant suit directement de cette d´efinition et du th´eor`eme 4.1.2.
Th´
eor`
eme 4.1.4. Tout sous-ensemble d’un ensemble n´egligeable est n´egligeable.
Exemple 4.1.5 (Un ensemble fini est n´egligeable). Soit E = {x1 , . . . , xn } un sous-ensemble de
R de cardinal n ≥ 1. On sait que 1{x} est int´
Regrable pour tout x (exercices 15 et 13). Comme
0 ≤ 1{x} ≤ 1[x,y[ pour tout y > x, on obtient 1{x} = 0 en faisant tendre y vers x. Par lin´earit´e
de l’int´egrale, 1E est int´egrable d’int´egrale nulle. L’ensemble E est donc n´egligeable.
Exemple 4.1.6 (Un ensemble d´enombrable est n´egligeable). Soit E un ensemble d´enombrable :
on peut lors d´ecrire tous ses ´el´ements
comme les valeurs prises par une suite P
(xn ). Alors 1E =
R
P
1
en
tout
point.
Comme
|
1
|
=
0
pour
tout
n,
on
en

e
duit
1
'
u
E
{x
}
{x
}
n
n
n≥1
n≥1 1{xn } . D’o`
1E est int´egrable d’int´egrale nulle par le th´eor`eme 3.5.3. Alors que dans l’exemple pr´ec´edent, les
arguments utilis´es fonctionnent pour l’int´egrale de Riemann, ce n’est pas le cas pour cet exemple
et l’on peut trouver E d´enombrable tel que 1E n’est pas int´egrable Riemann, voir l’exemple 4.2.5.
35

Exemple 4.1.7 (Ensemble de Cantor). Pour tout x ∈ [0, 1[, on peut d´ecomposer x en base 3,
c’est-`
a-dire sous la forme d’une s´erie
X
x=
n 3−n ,
n≥1

o`
u ( n ) est une suite prenant ses valeurs dans {0, 1, 2}. L’ensemble de Cantor est d´efini comme
l’ensemble C des x ∈ [0, 1[ tels que n 6= 1 pour tout n ≥ 0. On peut montrer que C est n´egligeable
bien qu’il ne soit pas d´enombrable (voir l’exercice 28).
´

efinition 4.1.8 (Egalit´
e presque-partout). Soient f et g des fonctions d´efinies sur R. Si l’ensemble {x ∈ R, f (x) 6= g(x)} est n´egligeable, nous dirons que f est ´egale `a g presque partout ce que
p.p.
nous ´ecrivons : f = g .
R
p.p.
Th´
eor`
eme 4.1.9. f = g ssi |f − g| = 0 (ou, de fa¸con ´equivalente, f − g est une fonction
nulle).
p.p.

D´emonstration.
R
R Soit h la fonction indicatrice de l’ensemble A = {x ∈ R, f (x) 6= g(x)}. Si f = g,
alors |h| = h = 0. D’autre part h(x) + h(x) + · · · est absolument convergent ssi x ∈
/ A, auquel
cas cette somme est nulle. Par cons´equent,
|f − g| ' h + h + · · · ,
R

ce qui implique |f − g|
R = 0.
R´eciproquement, si |f − g| = 0, alors
h ' |f − g| + |f − g| + · · · ,
et donc

R

p.p.

h = 0. Ceci montre que A est n´egligeable, et donc, f = g.
p.p.

Notons que le th´eor`eme 4.1.9 implique que f est une fonction nulle si et seulement si f =
0. Une autre cons´equence importante du th´eor`eme 4.1.9 est qu’il n’est pas indispensable de
connaˆıtre la fonction en chaque point pour pouvoir calculer son int´egrale. Il suffit de connaˆıtre ses
valeurs presque-partout, c’est-`
a-dire dans le compl´ementaire d’un ensemble n´egligeable (on peut
modifier les valeurs de la fonction sur un ensemble n´egligeable de points sans modifier la valeur
de l’int´egrale).
L1

L1

Th´
eor`
eme 4.1.10. Soient f, f1 , f2 , . . . des ´el´ements de L1 tels que fn −→ f . Alors fn −→ g ssi
p.p.
f = g
L1

D´emonstration. Si fn −→ f et f = g p.p. alors
Z
Z
Z
Z
|fn − g| ≤ |fn − f | + |f − g| = |fn − f | → 0 .
L1

L1

R´eciproquement, si fn −→ f et fn −→ g, alors
Z
Z
Z
|f − g| ≤ |f − fn | + |fn − g| → 0 .


efinition 4.1.11 (Convergence presque-partout). Nous dirons qu’une suite de fonctions
p.p.
f1 , f2 , . . . d´efinies sur R converge vers f presque-partout, ce que nous notons fn −→ f , si
fn (x) → f (x) pour tout x ∈ R \ E, o`
u E est un ensemble n´egligeable.
36

La convergence presque-partout poss`ede des propri´et´es similaires `a la convergence en norme
L1 .
p.p.

p.p.

– Si fn −→ f et λ ∈ R, alors λfn −→ λf .
p.p.

p.p.

p.p.

– Si fn −→ f et gn −→ g, alors fn + gn −→ f + g.
p.p.

p.p.

– Si fn −→ f , alors |fn | −→ |f |.
p.p.

p.p.

p.p.

Th´
eor`
eme 4.1.12. Supposons que fn −→ f . Alors fn −→ g ssi f = g.
p.p.

p.p.

p.p.

p.p.

D´emonstration. Si fn −→ f et fn −→ g, alors fn − fn −→ f − g, ce qui signifie que f − g = 0
p.p.
p.p.
Supposons maintenant que fn −→ f et f = g. Soit A l’ensemble des x ∈ R tels que la
suite (fn (x)) ne converge pas vers f (x) et soit B l’ensemble des x ∈ R tels que f (x) 6= g(x). Par
construction A et B sont n´egligeables et A ∪ B est aussi n´egligeable. Comme fn (x) → g(x) pour
tout x 6∈ A ∪ B, nous avons fn → g p.p.
Les deux exemples suivants montrent que la convergence dans L1 et p.p. ne co¨ıncident pas.
Exemple 4.1.13. Pour n = 1, 2, . . ., d´efinissons
(
√1
pour x ∈ [−n, n],
n
fn (x) =
0
autrement
p.p.

Alors, fn (x) → 0 pour chaque x ∈ R, et donc fn −→ 0. D’autre part, comme
Z

|fn | = 2 n → ∞,
la suite n’est pas convergente en norme L1 .
Exemple 4.1.14. Consid´erons la suite (fn ) de fonctions d´efinie par :
(

n
− 1, 2n+1
1 si 2k−1 ≤ n < 2k et x ∈ 2k−1
k−1 − 1 ,
fn (x) =
0 autrement,
Comme
R

fn =

1
2k−1

pour 2k−1 ≤ n < 2k ,

R
|fn | = fn → 0, et donc la suite (fn ) converge vers 0 en norme L1 . D’autre part, pour chaque
x ∈ [0, 1[, lim inf n fn (x) = 0 et lim supn fn (x) = 1. Par cons´equent, la suite (fn ) ne converge pas
presque-partout.
R

L’exemple 4.1.13 montre que mˆeme la convergence uniforme n’implique pas la convergence
en norme L1 . Toutefois, si nous supposons f, f1 , f2 , . . . sont des fonctions int´egrables nulles `a
l’ext´erieur d’un intervalle born´e [a, b] et que la suite (fn ) converge vers f uniform´ement, alors
L1

fn −→ f . Nous avons en effet
Z
|fn − f | ≤ (b − a) sup |fn (x) − f (x)| → 0.
[a,b]

Finalement, nous pouvons ´etablir un r´esultat similaire au th´eor`eme 3.2.7.
Th´
eme 4.1.15. Soit (fn )n∈N une s´erie de fonctions int´egrables et f ∈ L1 (R) tel que f '
P∞eor`
n=1 fn . Alors l’ensemble
(
)

X
x ∈ R,
|fi (x)| = ∞
i=1
p.p.

est n´egligeable et f =

P∞

n=1

fn .
37

D´emonstration. La preuve est similaire `a celle du th´eor`eme 3.2.7 et est omise.
On peut compl´eter ce r´esultat par une convergence au sens L1 comme suit.
Th´
eor`
eme 4.1.16. Si f ' f1 + f2 + · · · , alors

L1

Pn

fi −→ f .
P∞ R
D´emonstration. Soit > 0. Il existe un entier n0 tel que n=n0 |fn | < . Comme
i=1

f − f1 − · · · − fn ' fn+1 + fn+2 + · · · ,
pour tout n > n0 , nous avons
Z
Z
Z
|f − f1 − · · · − fn | ≤ |fn+1 | + |fn+2 | + · · · < ,
par le th´eor`eme 3.4.1.
R
R
Th´
eor`
eme 4.1.17. Soient f1 , f2 , . . . ∈ L1 (R) telles que |f1 | + |f2 | + · · · < ∞. Alors, pour
Pn
p.p.
L1
toute fonction f de R dans R, f = f1 + f2 + · · · ssi i=1 fi −→ f .
D´emonstration. Par le corollaire 3.5.4, il existe une fonction g ∈ L1 (R) telle que g ' f1 + f2 +
Pn
L1
· · · . Par le th´eor`eme 4.1.16, nous avons i=1 fi −→ g, et par le corollaire 4.1.15 nous avons
Pn
Pn
p.p.
p.p.
p.p.
L1
eor`eme 4.1.12. Donc i=1 fi −→
i=1 fi −→ g. Comme f = f1 + f2 + · · · , alors f = g, par le th´
f , par le th´eor`eme 4.1.16.
Pn
p.p.
p.p.
L1
R´eciproquement, si i=1 fi −→ f , alors f = g, par le th´eor`eme 4.1.10. Donc f = f1 +f2 +· · · ,
par le th´eor`eme 4.1.12.

4.2

Th´
eor`
emes de convergence

Ce paragraphe contient les r´esultats de convergence essentiels pour le calcul int´egral.
Nous savons que la convergence en norme L1 et la convergence presque partout sont essentiellement diff´erentes. Le th´eor`eme suivant relie les deux convergences de fa¸con ´el´egante.
L1

Th´
eor`
eme 4.2.1. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions de L1 (R) et f ∈ L1 (R) telle que fn −→ f .
p.p.
Alors, il existe une sous-suite (fpn ) de (fn ) telle que fpn −→ f .
R
RD´emonstration.−nComme |fn − f | → 0, il existe une suite croissante d’entiers (pn ) v´erifiant
|fpn − f | < 2 . Donc,
Z
Z
Z
3
|fpn+1 − fpn | ≤ |fpn+1 − f | + |f − fpn | < n+1 ,
2
et par cons´equent
Z

Z
|fp1 | +

Z
|fp2 − fp1 | +

|fp3 − fp2 | + · · · < ∞.

Il existe donc une fonction g ∈ L1 (R) telle que
g ' fp1 + (fp2 − fp1 ) + (fp3 − fp2 ) + · · · ,
et, par le corollaire 4.1.15,
p.p.

g = fp1 + (fp2 − fp1 ) + (fp3 − fp2 ) + · · ·
p.p.

L1

L1

(4.2)
p.p.

Ceci montre que fpn −→ g . Comme fpn −→ g et fpn −→ f , nous avons f = g (th´eor`eme 4.1.16).
p.p.
Donc fpn −→ f par le th´eor`eme 4.1.12.
38

Les th´eor`emes 7.2.4 et 4.2.1 sont dus `a Riesz (1880-1956).
L1

Nous avons vu au th´eor`eme 7.2.2 que la convergence en norme fn −→ f implique
En d’autres termes, la limite en norme L1 peut ˆetre ´echang´ee avec l’int´egration :
Z
Z
fn .
lim fn = lim
n→∞

R

fn →

R

f.

n→∞

La convergence presque-partout ne partage pas cette propri´et´e. En pratique, il est souvent beaucoup plus facile de montrer qu’une suite de fonctions converge presque partout plutˆot que de
montrer la convergence en norme L1 (R). Les th´eor`emes 4.2.3 et 4.2.7 donnent des conditions qui
sont g´en´eralement faciles `
a v´erifier et impliquent la convergence en norme.

efinition 4.2.2 (Suites monotones presque-partout). Une suite de fonctions (fn ) est dite croissante presque partout si l’ensemble des points x ∈ R o`
u (fn (x)) n’est pas croissante est n´egligeable.
Une suite de fonctions (fn ) est dite d´ecroissante presque partout si l’ensemble des points x ∈ R
o`
u (fn (x))n∈N n’est pas d´ecroissante est un ensemble n´egligeable.
Une suite qui est soit croissante soit d´ecroissante presque partout est dite monotone presque
partout.
Le th´eor`eme suivant est du `
a Beppo Levi (1876-1961).
Th´
eor`
eme 4.2.3 (Convergence monotone pour
R les fonctions int´egrables). Si (fn ) est une suite
monotone presque-partout de fonctions et si | fn | ≤ M pour tout n ∈ N avec M ∈ R+ , alors il
R
p.p.
L1
existe une fonction int´egrable f telle que fn −→ f et fn −→ f . De plus f ≤ M .
D´emonstration. Sans perte de g´en´eralit´e, nous pouvons supposer que la suite est croissante et les
fonctions positives presque-partout (quitte `a remplacer fn et f par fn − f1 et f − f1 ou par f1 − fn
et f1 − f ). Dans un tel cas
Z
Z
Z
Z
|f1 | + |f2 − f1 | + · · · + |fn − fn−1 | = |fn | ≤ M,
pour chaque n ∈ N. Lorsque n → ∞, nous obtenons,
Z
Z
|f1 | + |f2 − f1 | + · · · ≤ M.
Par le corollaire 3.5.4, il existe une fonction f ∈ L1 (R) telle que f ' f1 + (f2 − f1 ) + · · · .
L1

p.p.

Donc, par le th´eor`eme 4.1.16, fn −→ f , et par le Corollaire 4.1.15, fn −→ f . Finalement,

Z Z
Z
Z



f = f1 + (f2 − f1 ) + (f3 − f2 ) − · · ·



Z
Z
Z
≤ |f1 | + |f2 − f1 | + |f3 − f2 | + · · · ≤ M .

Corollaire 4.2.4. Toute union d´enombrable d’ensembles n´egligeables est n´egligeable.
Voir exercice 26
Exemple 4.2.5 (Un ensemble d´enombrable est n´egligeable (suite)). D’apr`es le corollaire 4.2.4,
tout ensemble d´enombrable est n´egligeable. Ceci nous donne au passage un exemple tr`es simple de
fonction int´egrable au sens de Lebesgue qui ne l’est pas au sens de Riemann : il suffit de prendre
E = Q ∩ [0, 1]. Alors 1E n’est pas int´egrable au sens de Riemann.

39

Th´
eor`
eme
R 4.2.6 (Lemme de Fatou). Soit (fn ) une suite de fonctions int´egrables positive p.p.
telle que fn ≤ M pour M > 0 et pour n ∈ N. Alors lim inf fn est int´egrable et
Z
Z
lim inf fn ≤ lim inf fn .
n

n

D´emonstration. Pour (n, k) ∈ N2 , d´efinissons ϕn,k = min {fn , fn+1 , . . . , fn+k }. Remarquons que,
par le corollaire 3.4.2, pour tout (n, k) ∈ N2 , la fonction ϕn,k est int´egrable. Pour tout n ∈ N,
la suite
R (ϕn,k )Rk∈N est une suite d´ecroissante de fonctions int´egrables v´erifiant, pour tout k ∈ N,
0 ≤ ϕn,k ≤ ϕn,0 < ∞. Le th´eor`eme de convergence monotone montre que, pour tout n ∈ N,
ϕn = inf fk ,
k≥n

est une fonction int´egrable. De plus on a ϕn ≥ 0 p.p.
R Par Rle th´eor`eme 3.2.6, comme pour tout n ∈ N, et pour tout k ≥ n, ϕn ≤ fk , nous avons
ϕn ≤ fk et donc, pour tout n ∈ N,
Z
Z
ϕn ≤ inf
fk ≤ M ,
(4.3)
k≥n

La suite inf k≥n
donn´ee par

R

fk


n∈N

est croissante et born´ee par M . Cette suite converge et sa limite est
Z
lim inf

n→∞ k≥n

Z
fk = lim inf
n

fn .

La suite de fonctions (ϕn )n∈N est croissante ; en appliquant une deuxi`eme fois le th´eor`eme de
convergence monotone, on obtient que
ϕ = lim ϕn = lim inf fn
n→∞

R

n→∞

R

est int´egrable et limn→∞ ϕn = ϕ. Les suites apparaissant dans les termes de gauche et de
droite de (4.3) sont donc deux suites convergentes et donc
Z
Z
Z
Z
lim inf fn = lim
ϕn ≤ lim inf
fk = lim inf fn .
n→∞

n→∞

n→∞ k≥n

n→∞

Th´
eor`
eme 4.2.7 (Th´eor`eme de la convergence domin´ee). Soit (fn )n∈N une suite de fonctions
p.p.
int´egrables. Supposons que fn −→ f et qu’il existe une fonction int´egrable h telle que |fn | ≤ h p.p.
L1

pour tout n ∈ N. Alors f est int´egrable et fn −→ f .
D´emonstration. On pose fn+ = fn ∨ 0 et fn− = (−fn ) ∨ 0. Le th´eor`eme 3.2.6 et le corollaire
3.4.2
R
R
montrent
que,
pour
tout
n

N,
f
et
f
sont
int´
e
grables
et
pour
tout
n

N,
f

h
n+
n−
n+
R
R
et fn− ≤ h. D’apr`es le Lemme de Fatou (th´eor`eme 4.2.6), lim inf n fn+ et lim inf n fn− sont
int´egrables. Comme la suite (fn )n∈N converge presque-partout vers une fonction f , nous avons
p.p.
p.p.
lim inf n fn+ = f+ et lim inf n fn− = f− . Les fonctions f+ et f− sont donc int´egrables.
p.p.
On pose pour tout n ∈ N, gn = |fn − f |. Remarquons alors que gn −→ 0 et 0 ≤ gn ≤ 2h. En
appliquant le Lemme de Fatou `
a la suite positive p.p. (2h − gn ), on obtient
Z
Z
Z
Z
Z
2h = lim inf (2h − gn ) ≤ lim inf (2h − gn ) = 2h − lim sup gn .
n

n→∞

R

Par cons´equent, lim sup gn ≤ 0. Comme gn ≥ 0 pour tout n, on a
40

n→∞

R

gn → 0.

4.3

Calcul direct

Dans ce paragraphe, nous apportons les premiers r´esultats qui permettent en pratique un calcul
direct (i.e. sans passer par une convergence) d’int´egrales de Lebesgue. Le premier r´esultat consiste `a
montrer que les r`egles de calculs utilis´ees dans le cadre de l’int´egrale de Riemann restent valable !
En effet, nous allons prouver que les fonction Riemann–int´egrables (Georg Friedrich Bernhard
Riemann (1826-1866)) sont Lebesgue–int´egrables et que les int´egrales co¨ıncident. Ensuite, nous
allons ´etudier les propri´et´es les plus utiles pour le calcul de l’int´egrale de Riemann et voir comment
elles se g´en´eralisent `
a l’int´egrale de Lebesgue, de fa¸con plus ´el´egante.
Th´
eor`
eme 4.3.1. Une fonction Riemann-int´egrable sur un intervalle [a, b] est Lebesgue-int´egrable
et les deux int´egrales co¨ıncident.
D´emonstration. Soit f une fonction Riemann-int´egrable sur un intervalle [a, b]. On la prolonge sur
R par z´ero `
a l’ext´erieur de l’intervalle [a, b[. Pour chaque n ∈ N, nous divisons l’intervalle [a, b[ en
2n sous–intervalles de longueurs ´egales,
[a, a + c[ , [a + c, a + 2c[ , . . . , [a + (2n − 1)c, a + 2n c[ ,
o`
u c = (b − a)2−n . Nous d´efinissons alors
(
inf f ([a + (k − 1)c, a + kc[) si x ∈ [a + (k − 1)c, a + kc[ ,
gn (x) =
0
autrement
et

(
hn (x) =

sup f ([a + (k − 1)c, a + kc[) si x ∈ [a + (k − 1)c, a + kc[ ,
0
autrement

(4.4)

(4.5)

Comme (gn ) est une suite born´ee croissante, elle converge pour tout x ∈ R. D´efinissons g(x) =
limn→∞ gn (x). Les fonctions gn sont integrables, (fonctions en escalier), et donc, par le th´eor`eme
de convergence domin´ee, g est int´egrable et
Z
Z
g = lim
gn .
n→∞

De fa¸con similaire, la fonction d´efinie par h(x) = limn→∞ hn (x) est int´egrable et
Z
Z
h = lim
hn .
n→∞

D’autre part, comme f est Riemann int´egrable sur [a, b], nous avons
Z
Z
lim
gn = lim
hn ,
n→∞

et donc

Z

n→∞

Z
|h − g| =

Z
h − g = lim

n→∞

p.p.

(hn − gn ) = 0.

p.p.

(4.6)

p.p.

Donc, g = h , et comme g ≤ f ≤ h, nous avons g = f (et h = f ). Ceci montre que f est
Lebesgue integrable. RL’int´egrale de Riemann et l’int´egrale de Lebesgue de f sont ´egales, et sont
donn´ees par limn→∞ gn .
Les calculs d’int´egrales de Riemann sont donc valides pour calculer une int´egrale de Lebesgue
(sauf en ce qui concerne les int´egrales g´en´eralis´ees qui requi`erent un traitement particulier).
N´eanmoins, bien des outils utilis´es pour faire des calculs d’int´egrales de Riemann peuvent aussi bien
directement s’appliquer pour l’int´egrale de Lebesgue, sous une forme plus g´en´erale. Les r´esultats
suivants, qui tournent autour de la notion de primitive en sont des exemples.
41

Th´
eor`
eme 4.3.2. Soit f une fonction int´egrable. Alors la fonction F (x) =
sur R.

Rx
−∞

f est continue

D´emonstration. Soit x ∈ R, et soit (xn ) une suite d´ecroissante convergeant vers x, c’est `a dire
x < xn+1 < xn pour tout n et xn → x. Soit gn = 1[x,xn [ , n = 1, 2, . . .. Alors, la suite des produits
f gn converge vers 1{x} f (x) en tout point, donc vers p.p. Comme |f gn | ≤ |f |, nous avons
Z
Z xn
f = f gn → 0,
F (xn ) − F (x) =
x

par le th´eor`eme de convergence domin´e. Donc, la fonction F est continue `a droite en x. On montre
de mˆeme la continuit´e `
a gauche.
Nous verrons plus tard un r´esultat plus fort montrant que F est en fait d´erivable de d´eriv´ee
´egale `
a f p.p. Le r´esultat suivant apporte une pr´ecision en cas de continuit´e de f en un point.
Rx
Th´
eor`
eme 4.3.3. Soit f une fonction int´egrable sur R et soit F (x) = −∞ f . Si f est continue
au point x0 ∈ R, alors F est diff´erentiable en x0 et nous avons F 0 (x0 ) = f (x0 ).
D´emonstration. Pour h > 0, nous avons
F (x0 + h) − F (x0 )
1
=
h
h

Z

x0 +h

f.

(4.7)

x0

Comme f est continue en x0 , pour tout > 0 il existe δ > 0 tel que
f (x0 ) − < f (t) < f (x0 ) + pour tout t ∈ (x0 , x0 + δ),
En int´egrant la relation pr´ec´edente entre x0 et x0 + h, nous obtenons
R x +h
h(f (x0 ) − ) < x00 f < h(f (x0 ) + ), pour 0 < h < δ.
Donc, par (4.7), nous avons
f (x0 ) − <

F (x0 +h)−F (x0 )
h

< f (x0 ) + , pour 0 < h < .

Comme est arbitraire, ceci montre que
lim

h→0+

F (x0 + h) − F (x0 )
= f (x0 ).
h

En utilisant un argument similaire pour h < 0, nous obtenons
F (x0 + h) − F (x0 )
= f (x0 ).
h→0−
h
lim

D’o`
u le r´esultat.
En particulier, on a imm´ediatement le r´esultat suivant.
1
Corollaire 4.3.4.
R x Soit f ∈ L (R), continue sur un intervalle ]a, b[ ⊆ R, born´e ou non. Alors la
ument d´erivable de d´eriv´ee f sur ]a, b[.
fonction F (x) = −∞ f est continˆ

Un outil essentiel de calcul int´egral est le changement de variables, qui permet de se ramener
a des fonctions de primitive connue.
`
Th´
eor`
eme 4.3.5 (Changement de variable sur un intervalle de R). Soit g une fonction croissante
continˆ
ument d´erivable sur un intervalle ]a, b[ (born´e ou non). On note sa d´eriv´ee g 0 . Notons g(a)
et g(b) les limites finies ou infinies de g en a et b, g(a) = limx→a+ g(x) et g(b) = limx→b− g(x). Si
f est une fonction int´egrable sur ]g(a), g(b)[, alors le produit f (g(t))g 0 (t) est int´egrable sur ]a, b[ et
Z g(b)
Z b
f (t)dt =
f (g(t))g 0 (t)dt .
g(a)

a

42

D´emonstration. On remarque tout d’abord que si le r´esultat est vrai pour f `a support compact
dans ]g(a), g(b)[, alors le r´esultat est aussi vrai dans le cas g´en´eral : il suffit de l’appliquer `a f 1[an ,bn ]
et de faire tendre n vers l’infini avec an ↓ g(a) et bn ↑ g(b).
Nous supposons donc d´esormais f `a support compact dans ]g(a), g(b)[. Quitte `a modifier les
bornes a et b, on peut du mˆeme coup supposer g 0 int´egrable sur ]a, b[. Nous montrons tout d’abord
que f (g(t))g 0 (t) est int´egrable sur ]a, b[. Soit
f ' λ1 f1 + λ2 f2 + · · · ,

(4.8)

o`
u fn = 1[an ,bn [ , avec [an , bn ] ⊆ ]g(a), g(b)[. Nous allons montrer que la fonction Φ(t) = f (g(t))g 0 (t)
peut s’´ecrire
Φ ' λ1 Φ1 + λ2 Φ2 + · · · ,
(4.9)
o`
u Φn (t) = fn (g(t))g 0 (t). Comme g(a) ≤ an < bn ≤ g(b) et g est croissante et continue, pour
chaque n ∈ N, il existe des nombres αn < βn dans ]a, b[ tels que g(αn ) = an et g(βn ) = bn . De
plus Φn = 1[αn ,βn [ × g 0 et d’apr`es le corollaire 4.3.4, comme g 0 est continue sur ]a, b[ est int´egrable,
Rx
la fonction G(x) = −∞ g 0 a mˆeme d´eriv´ee que g sur ]a, b[ et est donc ´egale `a g `a une constante
additive pr`es dans cet intervalle. Donc
Z

Z

Z

|Φn | =

βn

Φn =

g 0 (t)dt = g(βn ) − g(αn ) = bn − an =

Z
fn .

(4.10)

αn

R
R
Comme |λ1 | f1 + |λ2 | f2 + · · · < ∞, nous avons
Z
Z
|λ1 Φ1 | + |λ2 Φ2 | + ... < ∞ .
De plus, si la s´erie λ1 Φ1 (t) + λ2 Φ2 (t) + · · · converge absolument pour t, alors elle converges vers
Φ(t). Le r´esultat est ´el´ementaire si g 0 (t) = 0. Si g 0 (t) = k 6= 0, alors en posant g(t) = x, nous avons
λ1 Φ1 (t) + λ2 Φ2 (t) + · · · = (λ1 f1 (x) + λf2 (x) + · · · )k = f (x)k = Φ(t) ,
la s´erie ´etant absolument convergente. Par cons´equent, (4.9) est satisfaite, ce qui montre que
f (g(t))g 0 (t) est int´egrable.
Maintenant, par (4.8), (4.9), et (4.10), nous avons
Z
a

b

Z
Φ1 + λ 2 Φ2 + · · ·
Z
Z
= λ1 f1 + λ2 f2 + · · ·

f (g(t))g 0 (t)dt = λ1

Z

Z

g(b)

=

f (t)dt .
g(a)

Nous concluons par un r´esultat de d´erivation sous le signe int´egral, dont la preuve est laiss´ee
a titre d’exercice (exercice 27)
`
Lemme 4.3.6. Soit g une fonction d´efinie sur R×]a, b[, avec −∞ ≤ a < b ≤ ∞ telle que
x 7→ g(x, t) est int´egrable pour tout t ∈]a, b[, et, pour presque tout x ∈ R, t 7→ g(x, t) est d´erivable
sur ]a, b[. Soit g(x,
˙ t) sa d´eriv´ee (dont on ´etend la d´efinition `
a tout x ∈ R de fa¸con arbitraire).
Supposons enfin qu’il existe une fonction int´egrable m telle que, pour presque tout x ∈ R,
|g(x,
˙ t)| ≤ m(x) .
Alors la fonction t 7→

R

g(x, t) dx est d´erivable sur ]a, b[ de d´eriv´ee
43

R

g(x,
˙ t) dx.

4.4

Exercices

Exercice 25. Soient f et g des fonctions localement int´egrables. Supposons que g est localement
born´ee ( i.e. born´ee sur l’intervalle [a, b] pour tout −∞ < a < b < ∞).
1. Montrer que le produit f × g est une fonction localement int´egrable.
2. Si on suppose de plus que f est int´egrable, a-t-on f × g int´egrable ? Si ce n’est pas le cas,
quelle hypoth`ese faut-il ajouter sur g ?
Exercice 26.
1. Montrer qu’une union finie d’ensembles n´egligeables A1 , . . . , An est
n´egligeables, [indication : on pourra utiliser que

1

Sn

i=1

Ai



n
X

1A i ,

i=1

puis la lin´earit´e de l’int´egrale.]
Soit (An ) une suite d´enombrable d’ensembles n´egligeables.
2. Montrer que

X
1S∞

1

1Ai .
A
i
i=1
i=1

S
3. Montrer que i Ai est n´egligeable.
4. En d´eduire que tout sous-ensemble d´enombrable de R est n´egligeable.
Exercice 27. Cette exercice consiste `
a prouver un r´esultat de d´erivation sous l’int´egrale. Soit
g une fonction d´efinie sur R × ]a, b[, avec −∞ ≤ a < b ≤ ∞. On suppose que x 7→ g(x, t) est
int´egrable pour tout t ∈ ]a, b[, et que pour presque tout x ∈ R, t 7→ g(x, t) est d´erivable sur ]a, b[.
On notera g(x,
˙ t) la d´eriv´ee (dont on ´etend la d´efinition `
a tout x ∈ R de fa¸con arbitraire). On
suppose enfin qu’il existe une fonction int´egrable m telle que, pour presque tout x ∈ R,
|g(x,
˙ t)| ≤ m(x) .
1. Montrer que, pour tout t ∈ ]a, b[,
x 7→ g(x,
˙ t)
est une fonction int´egrable.
2. Montrer que la fonction
Z
t 7→

g(x, t) dx

est d´erivable sur ]a, b[ et que sa d´eriv´ee est donn´ee par
Z
t 7→ g(x,
˙ t) dx .
Exercice 28. Consid´erons la suite d’intervalles de [0, 1] donn´ee par
S0 = [0, 1]

1 2
,
,
3 3




1 2
4 5
7 8
S2 = [0, 1] \
,
∪ ,
∪ ,
,
9 9
9 9
9 9
3n−1
[−1 1 + 3k 2 + 3k
,
,
Sn = [0, 1] \
3n
3n


S1 = [0, 1] \

k=0

D´efinissons C l’ensemble de Cantor de la fa¸con suivante
C=


\
n=0

44

Sn .

1. Montrer que C est n´egligeable.
2. Montrer que C n’est pas d´enombrable.
Exercice 29. Montrer que
p.p.

p.p.

1. Si fn −→ f et λ ∈ R, alors λfn −→ λf .
p.p.

p.p.

p.p.

2. Si fn −→ f et gn −→ g, alors fn + gn −→ f + g.
p.p.

p.p.

3. Si fn −→ f , alors |fn | −→ |f |.
Exercice 30. Soit f une fonction int´egrable. Montrer qu’il existe une suite de fonctions continues
p.p.

L1

(fn )n∈N telle que fn −→ f et fn −→ f .
L1

Exercice 31. Soit f ∈ L1 . On note fn = f × 1]−∞,n] . Montrer que fn −→ f quand n → ∞.
R
R
Exercice 32. Soit f int´egrable. On suppose que f = |f |. Montrer que f est p.p. de signe
constant.
R
Exercice 33.
1. Montrer que si f est une fonction en escalier, limt→0 |Tt f − f | = 0, o`
u pour
t ∈ R, Tt f (x) = f (x − t), pour tout x ∈ R.
2. On suppose que f ∈ L1 (R) et f ' f1 + f2 + . . . . Montrer que pour tout > 0, il existe n0 tel
que

Z
Z X
n0
n0

X


fn + .
Tt fn −
|Tt f − f | ≤


n=1
n=1
R
3. En d´eduire que limt→0 |Tt f − f | = 0.
R
4. Montrer que, si f est int´egrable, limn→∞ f (x) sin(nx)dx = 0.
p.p.

Exercice 34. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions int´egrables. On suppose que fn −→ f et que
1

L

fn −→ g. Montrer que f = g p.p. [Indication : utiliser le Lemme de Fatou].
Exercice 35. Pour n ∈ N, on d´efinit la fonction : fn = n1[ −1 ,
2n

1
2n

].

1. Montrer que la suite (fn )n∈N est born´ee dans L1 , et que la suite

R

fn


n∈N

converge.

2. Peut-on appliquer le th´eor`eme de Lebesgue de la convergence domin´ee ?
3. A-t-on convergence de la suite (fn )n∈N dans L1 ?
4. Montrer que pour toute fonction ϕ continue de [−1, 1] `
a valeurs dans R,
lorsque n → +∞.

R

fn ϕ → ϕ(0)

Exercice 36. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions int´egrables et f int´egrable telles que pour tout
R
R
p.p.
L1
n ∈ N, fn ≥ 0 p.p., fn −→ f et fn → f . Montrer qu’alors fn −→ f . [Indication : on pourra
consid´erer hn = (f − fn )+ ]
Exercice 37.
1. OnR pose, pour tout n ∈ N, fn (x) = xn ln(x)1]0,1] (x). Montrer que fn est
int´egrable et que fn = −1/(n + 1)2 .
2. Montrer que


X
ln(x)
1]0,1] '
fn (x) .
1−x
n=0
R
3. En d´eduire que f est int´egrable puis calculer f .

f (x) =

Exercice 38. Soit f une fonction int´egrable sur R telle que limx→∞ f (x) = `. Montrer que ` = 0.
Exercice 39. Soit f une fonction int´egrable et continue. A-t-on n´ecessairement limx→∞ f (x) =
0?
45

Exercice 40. Soit f une fonction int´egrable uniform´ement continue. L’objectif de cet exercice est
de d´emontrer que limx→∞ f (x) = 0.
1. Montrer que, pour η > 0 quelconque et toute suite (xn )n∈N ⊂ R t.q. limn→+∞ xn = +∞, on
a:
Z
1[xn −η,xn +η] |f | = 0 .
lim
n→+∞

[Indication : penser au th´eor`eme de la convergence domin´ee]
2. Supposons que f soit uniform´ement continue, mais que f (x) 9 0 quand x → ∞. Montrer
qu’il existe , η > 0 et une suite (xn )n∈N ⊂ R t.q. |f (x)| ≥ /2 pour x ∈ [xn − η, xn + η] et
tout n ∈ N.
3. Conclure
Exercice 41. Soit θ un r´eel non congru `
a 0 modulo 2π.
1. D´emontrer que


Z 1


eiθ
θ

<
dx = − ln 2 sin .

2
0 1−e x
2. D´emontrer que
+∞ Z
X
n=0

1

e

i(n+1)θ n

Z

x dx =

0

0

1

eiθ
dx .
1 − eiθ x

3. Conclure que


X cos(nθ)

θ

= − ln 2 sin .
n
2

n≥1

Exercice 42. Calculer la limite des suites d’int´egrales suivantes
Rn
1. 0 (1 − nx )n dx
R∞
x
)
2. 0 sin(e
1+nx2 dx
R 1 n cos(x)
3. 0 1+n
2 x3/2 dx
R +∞
n
4. 0 arctan(nx)e−x dx
R +∞
dx
5. 0
(1+x2 )(1+xn )1/n
Exercice 43. Soit la fonction Γ d´efinie pour x > 0 par
Z +∞
Γ(x) =
tx−1 e−t dt .
0

Z

n


1−

En introduisant In (x) =
0

t
n

n

tx−1 dt, montrer que

n! nx
.
n→+∞ x(x + 1) . . . (x + n)

Γ(x) = lim

Exercice 44. On suppose que f ∈ C 1 (R) (l’ensemble des fonctions continˆ
ument diff´erentiables)
et que f et f 0 sont int´egrables. Montrer que limx→∞ f (x) = 0.
X
x
Exercice 45. Soit la s´erie de fonctions S(x) =
.
n2 + x2
n≥1

1. D´emontrer que S : x 7→ S(x) est une fonction continue sur R.
2. Soit x > 0 et n ≥ 1. Justifier que
Z n
Z n+1
x
x
x
dt


dt .
2 + t2
2 + n2
2 + t2
x
x
x
n
n−1
46

3. En d´eduire que S admet une limite en +∞ et la d´eterminer.
Exercice 46. Soit ]a, b[ un intervalle non-vide de R. Soient (an ) et (bn ) deux suites de nombres
r´eels. On suppose que pour tout x ∈ ]a, b[,
lim

n→+∞

(an sin(nx) + bn cos(nx)) = 0.

On souhaite prouver que (an ) et (bn ) tendent vers 0 lorsque n tend vers +∞. On raisonne par
l’absurde et on suppose que ce n’est pas le cas.
1. D´emontrer qu’il existe une suite strictement croissante d’entiers (nk ) telle que, pour tout
x ∈ ]a, b[, la suite de fonctions
fk (x) =

(ank sin(nk x) + bnk cos(nk x))2
a2nk + b2nk

tende vers 0 pour tout x ∈ ]a, b[.
2. En calculant de deux fa¸cons diff´erentes limk→+∞

Rb
a

fk (x)dx, trouver une contradiction.

Exercice 47. Soient (fn ) et (gn ) deux suites de fonctions int´egrables telles que
R |fn | ≤
R gn . On
suppose
que
quand
n

∞,
f
(x)

f
(x)
et
g
(x)

g(x)
p.p.
Montrer
que
si
g

g, alors
n
n
n
R
R
fn → f .
Exercice 48. On consid`ere la fonction, d´efinie par
(
1
ln 1+x
f (x) = 2 1−x
0

x ∈ [0, 1[
sinon

On pose, pour n ≥ 1,
fn (x) =

x2n+1
1[0,1] (x) .
2n + 1

1. Montrer que
f'


X

fn .

n=0

2. Montrer que f est int´egrable et que
Z
f=


X

1
.
(2n + 1)(2n + 2)
n=0

3. Montrer que, pour tout a ∈ [0, 1[,
Z
1
f 1[0,a] = [(1 + a) ln(1 + a) + (1 − a) ln(1 − a)] .
2
4. En d´eduire (en justifiant soigneusement les passages `
a la limite) que
Z
f = ln 2
Exercice 49. Soit f une fonction int´egrable sur R et a > 0. Montrer que pour presque tout x ∈ R,
la s´erie

x

X
f
+n
a
n=−∞
est absolument convergente et que sa somme F (x) est p´eriodique de p´eriode a et int´egrable sur
[0, a[.
47

Exercice 50. Soit f une fonction int´egrable sur R et α > 0. Montrer que pour presque tout x ∈ R,
lim n−α f (nx) = 0 .

n→∞

Exercice 51. Soit f : R+ → R continue et born´ee.
D´eterminer la limite quand n → +∞ de
Z +∞
nf (x)
dx
1 + n2 x2
0
Exercice 52. Soit f : R+ → R+ continue et int´egrable.
D´eterminer la limite quand n → +∞ de
Z 1
f (nt)
n
dt .
0 1+t
Exercice 53. Calculer

+∞

Z

e−t sinn (t)dt

lim

n→∞

0

Exercice 54. Etablir que
Z

+∞

−∞

t2
(1 + )−n dt →n→+∞
n

Exercice 55. Existence et calcul de
Z

+∞

Z

+∞

2

e−t dt

−∞

ln t
dt
et

0

Exercice 56. Pour x ∈ R, posons


Z

t

e−xe dt ,

F (x) =
0

Z

1

K(x) =
x

e−v
dv .
v

1. Montrer que F (x) < ∞ si et seulement si x ∈ ]0, +∞[.
2. Prouver que pour v ≥ 0, 0 ≤ 1 − e−v ≤ v. En d´eduire que
K(x) ∼x→0+ (− ln(x))
3. Montrer que F (x) =

R +∞
1

e−xu
u du.

4. Donner un ´equivalent de F (x) quand x → 0+ .
5. Montrer que limx→∞ xF (x) = 0.
Exercice 57. Montrer que
Z

1

+∞
X
ln(t)
(−1)n−1
dt
=
2
1+t
(2n + 1)2
n=0

1

arctan(t)
dt = −
t

0

Exercice 58.

1. Etablir
Z
0

Z
0

1

ln(t)
dt .
1 + t2

2. En d´eduire que
Z
0

1

+∞
X
arctan(t)
(−1)n
dt =
.
t
(2n + 1)2
n=0

48

Exercice 59.

1. Montrer que
1

Z
0

ln(1 + t)
dt = −
t

Z

1

0

ln(t)
dt .
1+t

2. En d´eduire que
Z

1

0

+∞
X
ln(1 + t)
(−1)n−1
dt =
t
n2
n=1

3. Calculer cette somme sachant que
+∞
X
π2
1
=
.
n2
6
n=1

Exercice 60. n d´esigne un entier naturel non nul.
1. Justifier que l’int´egrale
+∞

Z

n2 − x2
dx
(n2 + x2 )2

0

est d´efinie.
2. Soit a ≥ 0. Calculer

a

Z
0

3. En d´eduire la valeur de

n2 − x2
dx
(n2 + x2 )2

+∞

Z

n2 − x2
dx
(n2 + x2 )2

0

puis de
+∞ Z
X

+∞

0

n=1

n2 − x2
dx
(n2 + x2 )2

4. Soit a ≥ 0. Montrer que la s´erie
+∞
X
n2 − x2
(n2 + x2 )2
n=1

converge uniform´ement sur [0, a], puis que
Z

+∞
X
a
n2 − x2
dx
=
2
2
2
2
(n + x )
n + a2
n=1
n=1

+∞
aX

0

5. En exploitant une comparaison s´erie-int´egrale, d´eterminer
lim


X

a→∞

6. En d´eduire que l’int´egrale

a
2 + a2
n
n=1


∞X

Z

n2 − x2
dx
(n2 + x2 )2
n=1

0

est convergente et donner sa valeur.
7. Conclure.
Exercice 61. Existence et calcul de
Z
0

1

ln t
dt
1 − t2
49

Exercice 62. Soit (an )n≥0 une suite born´ee. Calculer
Z
lim

n→+∞

+∞

e−2t (

0

+∞
X

ap

p=n

tp
)dt
p!

R1
n−n = 0 t−t dt.
P+∞
Exercice 64. Si x > 1, on pose ζ(x) = n=1 n1x . Montrer :

Exercice 63. Montrer que

P+∞

n=1

Z

+∞

(ζ(x) − 1)dx =
2

50

+∞
X

1
2 ln n
n
n=2


Aperçu du document 34poly-1.pdf - page 1/174
 
34poly-1.pdf - page 2/174
34poly-1.pdf - page 3/174
34poly-1.pdf - page 4/174
34poly-1.pdf - page 5/174
34poly-1.pdf - page 6/174
 




Télécharger le fichier (PDF)


34poly-1.pdf (PDF, 1 Mo)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP



Documents similaires


34poly 1
resume integ generalise
50594352 int poly 4
map432 poly
integration sur un segment primitives
cours int grales

Sur le même sujet..