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Cours de traitement d’images
Corrig´e d’exercices
3. Analyse de syst`emes lin´eaires
03.11.1998
1. S´eparabilit´e et transform´ee en : “une transform´ee en
s´eparable.” D´emontrer cette affirmation.
Soit












est s´eparable si le signal correspondant est

un signal s´eparable. Sa transform´ee en









































!






































est :



























!



"

2. R´eponse fr´equentielle d’un syst`eme lin´eaire : Soit un syst`eme lin´eaire caract´eris´e par sa r´eponse impulsionnelle bidimensionnelle


o`u



$#!%

#!%'&

g(k,l)

est une image de taille (*)+( et
34
, -
/.0

21

21

#

21

#
1

#
1

1

Calculer sa r´eponse fr´equentielle bidimensionnelle
discr`ete 5 et en d´eduire son utilit´e. Ce syst`eme est-il

stable? Que se passe-t-il si l’image
est de taille 67)86 ?
La r´eponse fr´equentielle est donn´ee par la transform´ee de Fourier discr`ete bidimensionnelle :
5



9- : ;


< J

GIH
, FE

< >= ?A@CB D





JPO
GIH
, 2 FE




N




-

SUT V WLX SRY 9 M

N





E GIH QKRO

-

S-\^]_V^ SCY : ` ^ a b9- c: ed8f
1[Z

1

LKM?


(1)

6
4

G(µ,ν)

2
0
−2
−4

0.5

−6
0.5

0
0

Figure 1: R´eponse fr´e#g
quencielle
bidimensionnelle
T
5 .
naire, on a repr´esent´e

b9- :h

b9- c:
5

µ

−0.5

−0.5

ν



du syst`eme lin´eaire ,

9

:

2 c: i


On observe que 5
est impaire en et paire en . De plus, 5
e´# tant p´
e
riodique
de

e
riode
1 et purement imaginaire, on a repr´esent´e
2ho p 2 oqp>r
n
dans la figure 1.

m


5



.

e´ tant purement imagi5

:kdlf

2

,j
. Cette
fonction
# 2 oqp 2ho pRr
sur le domaine n
)

L’utilit´e du syst`eme peut eˆ tre ais´ement d´etermin´ee dans la domaine spatial si l’on remarque que
s´eparable :
34
,


21
.0

21

#

#
1

34ts

21



#
1






#

1u1'1

1

est

s

21
.0

,

,


,


1

,

o`u correspond a` un filtrage passe-haut vertical, tandis que , est un passe-bas horizontal. On peut bien
sˆur faire la mˆeme remarque en examinant directement l’´equation (1).
Le syst`eme est stable car la somme des valeurs absolues des e´ l´ements de , est finie.
Pour appliquer ce filtre dans le domaine fr´equentiel9y
a`
{
unez}image
de:ltaille
etiser 5 . Par
(v)w( , il faut discr´
|~9

{ |*:
|~9y
€|i:

exemple,
pour
l’image
de
taille
et
avec
(x)$( , on posera
( , et
bzƒ ` „d†…_#
2
…‰#
2
1>‚
,
a
`
remplacer
dans
l’´
e
quation
(1).
On
obtient
alors
la
version
discr`
e
te
de
)
1
1ˆ‡
1
1C‡
ce filtre :
#
2
5

bzƒ ` Š

.0

2
2

(_‹
2
( ‹



(

34

T
(

2
2

T
2
s




que l’on peut utiliser dans un
simple produit matriciel Œ
, o`u
(resp. Œ ) est la transform´ee de
5
&
Fourier discr`ete de (resp. ). On proc`ede de mˆeme pour une image de dimension 67)+6 .
Remarque : 5 est e´ galement s´eparable, en vertu de la propri´et´e d´emontr´ee dans le premier exercice pour
la transform´ee en .

2

3. Fonction de transfert du Laplacien
: La d´efinition de l’op´erateur laplacien dans le domaine continu pour
`&
une fonction a` deux variables 
est la suivante:
|




`& g










`&







`&













Z



&

`&

(2)

On peut e´ galement d´efinir la d´eriv´ee partielle d’une fonction a` deux variables
variable de la fac¸on suivante :


 

`&





“’LWQ”
•>–˜—




`& ›#





Zš™

&‘







&‘

par rapport a` la

o

(3)

™

(a) En utilisant l’expression de `& la d´eriv´ee partielle de l’´equation 3, e´ crire l’expression de la d´eriv´ee
seconde d’une fonction 
par rapport a` la variable .
(b) Discr´etiser l’expression prec´edente (i.e. e´ crire l’´equation aux diff´erences)
(c) Ecrire l’´equation aux diff´erences du Laplacien, et d´eterminer sa r´eponse impulsionnelle
(d) Quel est l’effet de cet op´erateur sur l’image d’entr´ee ?
(a)
 







&‘ Š
t’QWQ”
•>–˜—






&‘ ›#
Zš™




`&


™

et donc :









`& ›#

&‘
&‘ Š
/’LWQ”


š
Z
h
™
¡

ž>Ÿ
•IœQ–—iž>Ÿ
žI 
žI  ›#
™ ¡

`&



’LWQ”


Zk™¢Zš™h¡
•I–—

`& #
Zš™h¡





`&


Zš™


Z



&‘


™!™ ¡

• œ –˜—

(b) On cherche maintenant l’´equivalent de cet op´
erateur dans le domaine discret.
Il convient|~tout
d’abord

& |
&
de discr´etiser la fonction  . On notera 
la version discretis´ee de 
, et
les pas de
quantification de  .
Il n’est pas possible dans le domaine discret (i.e. lorsque les variables sont dans £ ) de faire tendre ™ ou
vers 0. Il va donc falloir trouver un e´ quivalent
discret
a` cette op´eration. La meilleure approximation
™ ¡

¤#

l|
de l’expression ci-dessus est obtenue pour ™
.
et ™h¡ ont des valeurs oppos´ees pour que
™h¡
™
les indices soient
centr´
e
s
autour
de
0.

¥ |
&*
¦ |~&
Si on pose
, la discr´etisation de la d´eriv´ee seconde peut s’´ecrire :
et





|






|~&



|


|~& #




`|
Z¦1



|~& ›#
#§|

` ¢#






|
1



|~&‘
Z

h|




|¢&

L’expression ci-dessus permet de d´efinir la d´eriv´ee seconde d’une fonction discr`ete :











#$S
Z¨1




Z



i#


1

(c) Si on remplace le r´esultat obtenu pr´ec´edemment, l’op´erateur Laplacien dans le domaine discret peut
eˆ tre d´efini par :
|













©#ªS
Z¦1
Z¦1

Z


~#
r

›#$S





Z
1
Z
Z
¦
1


›#¬«

~#



#
Z




Z¨1
Z
1
Z
1

3



!#

r
1

Sa r´eponse impulsionnelle sera donc :
2



34
2

#®« 1
.0
21

(4)

21
1

|

|

(d) La somme des e´ l´ements de est nulle.
est donc un filtre passe-haut. De plus le filtre a la mˆeme
influence horizontalement et verticalement. Il s’agit d’un filtre r´eguli`erement utilis´e pour la d´etection
de contours dans une image.
4. Mise en s´erie de deux syst`emes lin´eaires : soit deux syst`emes d´efinis par les e´ quations aux diff´erences
suivantes :
& ¯


i#




& # 1

¯


Z



SC& Z

Z

Z

1

S

Calculer les r´eponses impulsionnelle , et fr´equentielle 5
peut servir un tel syst`eme?






Z 1
&
¨


Z¦1

du syst`eme obtenu par leur mise en s´erie. A quoi

Soit ™ la r´eponse impulsionnelle du premier syst`eme, et ™
des e´ quations aux diff´erences :

celle du second. Elles d´ecoulent imm´ediatement


34

™

™



S1
.0







1
°

S

1

1$±

La r´eponse impulsionnelle , du syst`eme complet est donn´ee par ™
l’est par ³ ³ . Par convolution entre ™ et ™ on obtient :
S

, -



1
«
.0

² ²
™



, tandis que la r´eponse fr´equentielle

34

S1
S

1

1

Pour obtenir 5 , deux possibilit´es sont offertes : soit on calcule directement la transform´ee de Fourier de , ,
soit on calcule le produit des transform´ees de ™ et ™ . La seconde voie m`ene a` :
³





b9- c:





`E GIH J




™


E GIH J



S® \M]‰VµZ SRY
9Z

E GIH J
S


Z¦1

Par sym´etrie, on a :
³


b9- c: g
¥S® b\M]‰Vµ ASRY :


Z¨1

La transform´ee de Fourier de , est donc e´ gale a` :
5

9- : Š

³



9- :
³



9- : g
¦«§ b\M]‰Vµ ASRY :h

\M]‰Vµ ASRY 9
Z¨1



b9- c: ed8f

Z¦1

En consid´erant la matrice , on constate qu’elle est sym´etrique. De plus tous les termes sont positifs. Il s’agit
donc d’un filtre passe-bas qui a les mˆemes cons´equences horizontalement que verticalement. Il a pour effet
de rendre l’image floue. Cette op´eration est utile avant un sous-´echantillonnage de l’image pour e´ viter des
effets de repliement. Si l’image est bruit´ee, cette op´eration peut e´ galement servir a` en am´eliorer la qualit´e
(les bruits, g´en´eralement situ´es dans les hautes fr´equences, seront e´ limin´es par un filtrage passe-bas).

4


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