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Cours de traitement d’images
Enonc´e d’exercices
3. Analyse de syst`emes lin´eaires
07.12.1999
1. S´eparabilit´e et transform´ee en : “Une transform´ee en
s´eparable.” D´emontrer cette affirmation.

est s´eparable si le signal correspondant est

2. R´eponse fr´equentielle d’un syst`eme lin´eaire : Soit un syst`eme lin´eaire caract´eris´e par sa r´eponse impulsionnelle bidimensionnelle


g(k,l)

o`u
est une image de taille et


















Calculer sa r´eponse fr´equentielle bidimensionnelle continue
stable? Que se passe-t-il si l’image
est de taille #$ %#

!

"


et en d´eduire son utilit´e. Ce syst`eme est-il
?

3. Fonction de transfert du Laplacien : La d´efinition de l’op´erateur laplacien dans le domaine continu pour
une fonction a` deux variables & ' ( ) *
est la suivante:

+-, . ) *
/ 10 , & . ) *
0 , & . ( *

&
2
,
,
0
0

On peut e´ galement d´efinir la d´eriv´ee partielle d’une fonction a` deux variables
variable de la fac¸on suivante :

. ) *

. 2 ? ) *
& ' ( 3

0 &
<: 4769;>8 = & @
5

?
A
0

(1)

& ' ( 3


par rapport a` la

(2)

(a) En utilisant l’expression de la d´eriv´ee partielle de l’´equation 2, e´ crire l’expression de la d´eriv´ee
seconde d’une fonction & ' ( ) *
par rapport a` la variable .
(b) Discr´etiser l’expression prec´edente (i.e. e´ crire l’´equation aux diff´erences)
(c) Ecrire l’´equation aux diff´erences du Laplacien, et d´eterminer sa r´eponse impulsionnelle
(d) Quel est l’effet de cet op´erateur sur l’image d’entr´ee ?
4. Mise en s´erie de deux syst`emes lin´eaires : Soit deux syst`emes d´efinis par les e´ quations aux diff´erences
suivantes :

C
2@D

2 2



E
F
2 D
2 2

Calculer les r´eponses impulsionnelle et fr´equentielle " du syst`eme obtenu par leur mise en s´erie. A quoi

B

B

peut servir un tel syst`eme?

1


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