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Cours de traitement d’images
Enonc´e d’exercices
3. Analyse de syst`emes lin´eaires
07.12.1999
1. S´eparabilit´e et transform´ee en : “Une transform´ee en
s´eparable.” D´emontrer cette affirmation.

est s´eparable si le signal correspondant est

2. R´eponse fr´equentielle d’un syst`eme lin´eaire : Soit un syst`eme lin´eaire caract´eris´e par sa r´eponse impulsionnelle bidimensionnelle
 

g(k,l)   

o`u 
est une image de taille  et

 
















Calculer sa r´eponse fr´equentielle bidimensionnelle continue
stable? Que se passe-t-il si l’image 
est de taille #$%#

 !

"


et en d´eduire son utilit´e. Ce syst`eme est-il
?

3. Fonction de transfert du Laplacien : La d´efinition de l’op´erateur laplacien dans le domaine continu pour
une fonction a` deux variables & '()*
est la suivante:

+-, . )*
/10 , & . )*
0 , & . ( *

&
2
 ,
 ,
0
0

On peut e´ galement d´efinir la d´eriv´ee partielle d’une fonction a` deux variables
variable  de la fac¸on suivante :

. )*

.  2 ? ) *
 & '( 3

0 &
 <: 4769;>8 = & @
5

?
A
0

(1)

& '( 3


par rapport a` la

(2)

(a) En utilisant l’expression de la d´eriv´ee partielle de l’´equation 2, e´ crire l’expression de la d´eriv´ee
seconde d’une fonction & '()*
par rapport a` la variable  .
(b) Discr´etiser l’expression prec´edente (i.e. e´ crire l’´equation aux diff´erences)
(c) Ecrire l’´equation aux diff´erences du Laplacien, et d´eterminer sa r´eponse impulsionnelle
(d) Quel est l’effet de cet op´erateur sur l’image d’entr´ee ?
4. Mise en s´erie de deux syst`emes lin´eaires : Soit deux syst`emes d´efinis par les e´ quations aux diff´erences
suivantes :

C   
2@D 
 
2  2   



E
F
2 D   
2   2

Calculer les r´eponses impulsionnelle  et fr´equentielle " du syst`eme obtenu par leur mise en s´erie. A quoi
 
B
 
B

peut servir un tel syst`eme?

1


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