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Cours de traitement d’images
Enonc´e d’exercices
5. D´etection de contours - Transform´ee
18.01.2000
Les images et les fichiers Matlab n´ecessaires pour cette s´eance peuvent eˆ tre copi´ees depuis 2 endroits :
sur “desun1” dans le r´epertoire /users/lts/aspert/images
par ftp anonyme sur “ltssun18.epfl.ch” (username: anonymous , password: anonymous) dans le r´epertoire
/pub/coursti
1. G´en´eration des images de base de la DCT
La DCT (Discrete Cosine Transform) est une transform´ee tr`es utilis´ee dans le domaine de la compression
de l’image. Dans Matlab,
d’images. Le standard JPEG est bas´e sur une DCT effectu´ee sur chaque bloc
les fonctions dct2 et idct2 permettent de faire la DCT et l’IDCT d’une image.
Soit

une image.
Soit !" #$
%& la DCT de ( ' #( ) *
+ , %- ), d´efinie par :

6 7 6 7 > >
7
7


M
N
L
O

Q

C
P
#

7 LN O SPC%
7


4

E

3




5

H
F

G
K
I
J
!" #$
%& /. 01 #2 301 4%5
H
F

G
K
I
J
98;

R

R
? @=: A$< B D1@C:CA <

avec :

Y Z
01 UTV +.XW \


<

si
si

T .[
T^.[
]

(1)

(2)

La transform´ee inverse (IDCT) s’obtient a` l’aide de la relation suivante :

6 7 6 7 > `>
7
7


M
N
L
O

Q

C
P
#

7 LN O SPC%
7

+.
H
F

G
I
1
0
4

C
#
Q

1
0


&
%
3

"
!
4

a
#
3


5
%
5

b
F
c
G
I
J
J

8;_O@=:=A < B C@ :CA <

R

R

Il est possible d’interpr´eter l’´equation 1`1k
comme
l un produit scalaire entre le signal
de la DCT :
o`u les h

_*j

`

!" 4#a
3%5 +.edf g
ih _ j



4#a
3%5 nmEop V
Hqrqr
i s 1t oO u
Hqrqvqr
w *t

(3)

et les images de base
(4)

sont les images de base de la DCT.
`

_ j d´efinis par l’´equation 4

` les images de base de la DCT
Dans le cas .N e.
, afficher

op V
Hqrqrqv
i w *t
On garde x.y z.
. Soit { _ j avec 4#a
3%5 |mEop V
Hqrqr
i *t `

(a) Ecrire l’expression analytique des h
(b)
(c)

la base canonique de
l’espace transform´e (i.e. des images dans le domaine DCT). Montrer que l’on peut obtenir les images
de base de la DCT obtenues au 1b en utilisant l’IDCT des { _*j .

1

l

Rappel : La base canonique des images
est l’ensemble des images }~ j €
f T2
if nm op V
qvqr
i

1t oO u
Hqrqvqr
w 1t d´efinies par :
}~ j € 4‚ƒ
…„c +.[†H‡ˆ~‰†‹Š €
ΠfT2
if mEoO u
Hqrqv
ƒ s 1t oO V
qvqrqr
w *t
(5)
oO u
Hqrqvqr
w 1t .
et ‚i
…„& m op V
Hqrqr
i s 1t
2. D´etecteurs de coutours – diff´erences sym´etriques, Sobel, Roberts
Dans cet exercice, on veut exp´erimenter diff´erentes techniques simples de d´etection de contours.
(a) Impl´ementer la m´ethode de d´etection de contours par diff´erences sym´etriques et les deux m´ethodes
par template de Sobel et Roberts. Utiliser les variantes d´ecrites dans les figures 1 et 2.
Rappel : On donne ci-dessous les diff´erents filtres a` utiliser :
Diff. sym.

’
‘
 .Ž “ ”
‘ ’ –•
<

Œ
 Z .Ž
’
“ ”
  ¨ © ¥iª/«‰¬ ¦

•–

Sobel

7 ˜

“7

•–

•–
“
 .™Ž

’
–•
<
“ ” ’
 Z .™Ž Œ
‘ ’
Roberts

 . — Ž

˜

7 “
•–
< < “
š

“
 Z . — Ž
7



<

’

¥ ¤r¦H§
 

ž¡¢ Ÿ
›+œ
  ¨ § ¥iª/«‰¬ ¦

  £ ¤

  T(.)

 

¥ ¤r¦H§
 

Figure 1: Sch´ema de principe d’un d´etecteur de contour utilisant la norme 2

  ¨ © ¥iª/«‰¬ ¦

­¤ ­
 

ž¡¢ Ÿ
›+œ
  ¨ § ¥iª/«‰¬ ¦
 

 

T(.)

 

­¤ ­

Figure 2: Sch´ema de principe d’un d´etecteur de contour utilisant la norme 1
(b) Tester les 3 m´ethodes sur l’image or104.tif avec les deux variantes pr´esent´ees dans les figures 1
et 2. Comparez l’efficacit´e et la complexit´e des diff´erentes m´ethodes et des diff´erentes variantes.
(c) Utilisez les 3 m´
7 ethodes de la mˆeme fac¸on qu’en 2b sur une image d´egrad´ee par un bruit gaussien de
variances uq et Vq V . Ces m´ethodes sont-elles r´esistantes au bruit ?
2

3. D´etecteur de coutours de Canny :
Pr´esentation de la m´ethode de Canny :
La d´etection de contours par la m´ethode de Canny revient a` trouver un filtre optimal remplissant les conditions suivantes:
i Le d´etecteur r´eagit uniquement aux contours et n’en manque aucun
ii La distance entre la position vraie des contours et les pixels-contours d´etect´es est aussi petite que
possible
iii Le d´etecteur n’extrait qu’un point-contour sur la bordure des objets
On peut d´efinir un filtre id´eal remplissant les conditions et les contraintes e´ voqu´ees ci-dessus. Ce filtre peut
en outre eˆ tre assez bien approxim´e par une fonction analytique bidimensionnelle s´eparable, repr´esentant la
d´eriv´ee d’une Gaussienne (s´eparable).
La proc´edure ci-dessous r´esume les e´ tapes importantes de la d´etection de contour par la m´ethode de Canny:
1) Filtrage de l’image par un filtre Gaussien 1-D ligne par ligne
2) Filtrage du r´esultat par un filtre d´eriv´ee d’un Gaussien ligne par ligne
3) Refaire les mˆemes op´erations pour les colonnes
4) Calculer une amplitude similaire a` celle de la m´ethode du gradient
5) Choix judicieux d’une fonction pour extraire les maxima de l’´etape pr´ec´edente.
Le but de cet exercice est d’´etudier la m´ethode de d´etection de coutours de Canny, et de tester une implantation particuli`ere de la m´ethode dans Matlab.
´
(a) Etudier
le principe de la m´ethode ainsi que les diff´erentes e´ tapes de sa mise en œuvre (donn´ees cidessus).
(b) Tester les routines Matlab qui vous sont donn´ees sur l’image or104.tif. (Les fichiers “.m” peuvent
eˆ tre t´el´echarg´es au mˆeme endroit que les images)
(c) Dans cette impl´ementation Matlab, retrouvez-vous toutes les e´ tapes pr´esent´ees en th´eorie ? Sinon,
quelles sont les diff´erences ?
(d) Appliquer des bruits gaussiens de diff´erentes variances a` l’image or104.tif. Evaluer la robustesse
de la m´ethode de Canny en fonction du rapport signal sur bruit. Quel param`etre faut-il changer pour
att´enuer les perturbations induites par de forts bruits gaussiens ?
(e) Quels sont les avantages de cette m´ethode par rapport a` celles pr´esent´ees dans l’exercice pr´ec´edent ?

3


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