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Exercices - Nombres complexes : ´enonc´e
´briques et trigonome
´triques, module et
Formes alge
argument
Exercice 1 - - L1/Math Sup - ?
Mettre sous forme alg´ebrique, puis trigonom´etrique le nombre complexe Z =

−4
√ .
1+i 3

Calculer Z 3 .

Exercice 2 - - L1/Math Sup - ?
Soit z = eiθ avec θ ∈]0, π[. D´eterminer le module et un argument de 1 + z et de 1 + z + z 2 .

Exercice 3 - - L1/Math Sup - ?
Donner la partie r´eelle et la partie imaginaire du nombre complexe suivant :
√ !20
1+i 3
.
1−i

Exercice 4 - - L1/Math Sup - ?


Trouver les entiers n ∈ N tels que (1 + i 3)n soit un r´eel positif.

Exercice 5 - - L1/Math Sup - ?
Soient z et z 0 deux nombres complexes de module 1 tels que zz 0 6= −1. D´emontrer que
est r´eel, et pr´eciser son module.

z+z 0
1+zz 0

Exercice 6 - - L1/Math Sup - ?
Soit z ∈ C. Montrer que |z − i| = |z + i| si et seulement si z est r´eel.

Exercice 7 - - L1/Math Sup - ?
D´eterminer les nombres complexes non nuls z tels que z,

1
z

et 1 − z aient le mˆeme module.

Exercice 8 - Automorphisme du disque - L1/Math Sup - ??
Soit a un complexe de module |a| < 1.
1. D´emontrer que, pour tout nombre complexe z


2
2
z − a 2

= (1 − |a| )(1 − |z| ) .
1−
1−a
¯z
|1 − a
¯z|2


z−a

≤ 1.
2. D´eterminer les nombres complexes z v´erifiant
1−a
¯z

Exercice 9 - Homographie - L1/Math Sup - ??
Soit z un nombre complexe, z 6= 1. D´emontrer que :
|z| = 1 ⇐⇒

1+z
∈ iR.
1−z

Exercice 10 - Somme et diff´
erence - L1/Math Sup - ??
0

Soient z = ρeiθ et z 0 = ρ0 eiθ deux nombres complexes non nuls. D´emontrer que
|z + z 0 | = |z − z 0 | ⇐⇒ θ0 = θ +
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π
[π].
2
1

Exercices - Nombres complexes : ´enonc´e

´
Exercice 11 - Egalit´
e dans l’in´
egalit´
e triangulaire - L1/Math Sup - ???
Soient z1 , . . . , zn des nombres complexes tous non nuls. Donner une condition n´ecessaire et
suffisante pour que
|z1 + · · · + zn | = |z1 | + · · · + |zn |.

`mes
Equations et racines n-ie
Exercice 12 - Exponentielle
√ - L1/Math Sup - ?
R´esoudre l’´equation ez = 3 3 − 3i.

Exercice 13 - Racine carr´
ee d’un nombre complexe - L1/Math Sup - ?
Calculer les racines carr´ees des nombres complexes suivants : z1 = 3 + 4i, z2 = 8 − 6i.

Exercice 14 - Racine carr´
e de deux √fa¸
cons - L1/Math Sup - ?

D´eterminer les racines carr´ees de Z = 3 + i sous forme alg´ebrique, puis sous forme trigoπ
nom´etrique. En d´eduire la valeur de cos 12
.

´
Exercice 15 - Equations
du second degr´
e - L1/Math Sup - ?
R´esoudre les ´equations du second degr´e suivantes :
1. z 2 − 2iz − 1 + 2i = 0
3. z 2 − (7 + i)z + 12 + 3i = 0.

2. iz 2 + (4i − 3)z + i − 5 = 0

Exercice 16 - Racines n-i`
emes - L1/Math Sup - ?
R´esoudre les ´equations suivantes :
1. z 5 = −i
3. z 5 =



(1+i 3)4
.
(1+i)2

2. z 6 =

−4

1+i 3

Exercice 17 - Qui se ram`
enent aux puissances... - L1/Math Sup - ??
R´esoudre les ´equations suivantes :
1. (z − 1)5 = (z + 1)5


3



3

3. z+1
+ z−1
=0
z−1
z+1
n−1
5. 1 + 2z + · · · + 2z
+ zn = 0

2. z n = z¯ (n ≥ 2)
4. z 4 − z 3 + z 2 − z + 1 = 0
6.(z + i)n = (z − i)n .

Exercice 18 - Degr´
e plus grand ! - L1/Math Sup - ??
R´esoudre les ´equations suivantes :
1. iz 8 + iz 4 + 1 + i = 0 ;
2. 4iz 3 + 2(1 + 3i)z 2 − (5 + 4i)z + 3(1 − 7i) = 0, sachant qu’elle admet une racine r´eelle.

Exercice 19 - Somme et puissances de racines n-iemes - L1/Math Sup - ???
Soit n ≥ 1 et ω = e2iπ/n .
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2

Exercices - Nombres complexes : ´enonc´e
1. Calculer le produit des racines n-i`emes de l’unit´e.
2. Soit p ≥ 0. Calculer

Pn−1 kp
k=0 ω .

Pn−1

3. En d´eduire que

k=0 (1

+ ω k )n = 2n.

` la trigonome
´trie
Application au calcul de sommes et a
Exercice 20 - Lin´
eariser - L1/Math Sup - ?
Lin´eariser cos5 x, sin5 x et cos2 x sin3 x.

Exercice 21 - Sommes trigonom´
etriques - L1/Math Sup - ??
Soit n ∈ N∗ et x, y ∈ R. Calculer les sommes suivantes :
1.

n
X
k=0

2. S =

!

n
cos(x + ky) ;
k
n
X
cos(kx)

(cos x)k
k=0

3. Dn =

n
X

et T =

eikx et Kn =

k=−n

n
X
sin(kx)

(cos x)k
k=0
n
X

, avec x 6=

π
2

+ kπ, k ∈ Z ;

Dk , avec x 6= 0 + 2kπ, k ∈ Z.

k=0

Exercice 22 - Somme de modules - L1/Math Sup - ??
Soit n ∈ N∗ ; on note Un l’ensemble des racines n-i`emes de l’unit´e. Calculer

P

z∈Un

|z − 1|.

Exercice 23 - Calcul d’un cosinus - L1/Math Sup - ??
A partir de la somme des racines 5−i`emes de l’unit´e, calculer cos(2π/5).

Exercice 24 - Un calcul d’int´
egrale - L1/Math Sup - ??
Calculer

R π/2
0

cos4 t sin2 t.

´ome
´trie
Nombres complexes et ge
Exercice 25 - Similitude - L1/Math Sup - ?
D´eterminer la nature et les ´√
el´ements√caract´eristiques de l’application qui `a tout M d’affixe
z associe le point d’affixe (1 + i 3)z + 3(1 − i).

Exercice 26 - Lieux g´
eom´
etriques - L1/Math Sup - ??
On se propose de d´eterminer les points M d’affixe z du plan dans les cas suivants :
1. |(1 + i)z − 2i| = 2 ;
2. I(i) et M 0 (iz) sont align´es avec M ; d´eterminer alors l’ensemble des points M 0 correspondants ;


z−1
3. <e
= 0;
z−i
4. M , P d’affixe z 2 et Q d’affixe z 3 sont les sommets d’un triangle ´equilat´eral.

Exercice 27 - Points `
a coordonn´
ees enti`
eres - L1/Math Sup - ??
Soit ABCD un carr´e dans le plan complexe. Prouver que, si A et B sont `a coordonn´ees
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Exercices - Nombres complexes : ´enonc´e
enti`eres, il en est de mˆeme de C et D. Peut-on trouver un triangle ´equilat´eral dont les trois
sommets sont `
a coordonn´ees enti`eres ?

Exercice 28 - Triangle ´
equilat´
eral - L1/Math Sup - ??
Soient A, B et C trois points non align´es d’affixe a, b et c. On note j = e2iπ/3 .
1. Montrer que le triangle ABC est ´equilat´eral direct si et seulement si a + bj + cj 2 = 0.
2. On consid`ere les trois triangles ´equilat´eraux de base AB, AC et BC construits `a l’ext´erieur
du premier. Montrer que les centres de gravit´e de ces trois triangles forme un triangle
´equilat´eral.

Exercice 29 - Triangle ´
equilat´
eral - L1/Math Sup - ??
Montrer que le triangle de sommets M1 (z1 ), M2 (z2 ) et M3 (z3 ) est ´equilat´eral si et seulement
si
z12 + z22 + z32 = z1 z2 + z1 z3 + z2 z3 .

Exercice 30 - A partir des racines n-i`
emes - L1/Math Sup - ??
Soit a un nombre complexe de module 1, z1 , . . . , zn les racines de l’´equation z n = a. Montrer
que les points du plan complexe dont les affixes sont (1 + z1 )n , . . . , (1 + zn )n sont align´es.

Exercice 31 - Alignement de puissances - L1/Math Sup - ???
Trouver tous les nombres complexes z tels que z, z 2 et z 4 soient align´es.

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