ComplexesEXOSCORRIGES 2.pdf


Aperçu du fichier PDF complexesexoscorriges-2.pdf

Page 12316




Aperçu texte


Cours et exercices de mathématiques

M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr

NOMBRES COMPLEXES
EXERCICES CORRIGES
Exercice n°1.
On donne z = 3 + 3i et z ′ = −1 + 2i

z
Ecrire sous forme algébrique les complexes suivants : z1 = z − z ′ ; z2 = z ⋅ z ; z3 = z 2 ; z4 = z ′3 ; z5 =

z′

Exercice n°2.
1) Calculer i 2 ,i3 et i 4
2) En déduire la valeur de i 2006 et de i 2009 , puis les entiers naturels n tels que i n est imaginaire pur
n

3) Déterminer les entiers naturels n tels que (1 + i ) soit un réel négatif.
Exercice n°3.
Résoudre dans ^ :

z −i
= 4i
z +1
3 z1 + z2 = 1 − 7i
2) Le système d’inconnues complexes z1 et z2 : 
iz1 + 2 z2 = 11i
1) Les équations 5 z + 2i = (1 + i ) z − 3 et

3) Les équations 2 z + iz = 3 et z 2 + z ⋅ z = 0

(

4) Les équations −2 z 2 + 6 z − 5 = 0 et z 2 + 2

) ( z 2 − 4z + 4) = 0

Exercice n°4.
G G
Dans le plan complexe muni du repère orthonormal ( O; u ; v ) , on considère les points A,B,C et D d’affixes respectives :

z A = −1 − 5i , z B = 4 − 3i , zC = 3 + 3i et z D = −2 + i
1) Déterminer la nature du quadrilatère ABCD.
2) Déterminer l’affixe du point C’, symétrique du point C par rapport à D

JJJJG

JJJG JJJG

3) Déterminer l’affixe du point A’ vérifiant DA′ = DB + DC
4) Quelle est la nature du quadrilatère A’BC’D ?

Exercice n°5.
On considère le plynôme P ( z ) suivant : P ( z ) = z 3 + 9iz 2 + 2 ( 6i − 11) z − 3 ( 4i + 12 )
1) Démontrer que l’équation P ( z ) = 0 admet une solution réelle z1
2) Déterminer un polynôme Q ( z ) tel que P ( z ) = ( z − z1 ) Q ( z )
3) Démontrer que l’équation Q ( z ) = 0 admet une solution imaginaire pure z2
4) Résoudre dans ^ l’équation P ( z ) = 0
5) On note z3 la 3ième solution de l’équation P ( z ) = 0 . Démontrer que les points du plan complexe A,B et C d’affixes
respectives z1 , z2 et z3 , sont alignés
Exercice n°6.
Déterminer le module, un argument et une forme exponentielle de chacun des nombres donnés :

1 1
1
3
2
z1 = 6 − i 2 , z2 = − − i et z3 = − +
i . En déduire module et argument de z1 ⋅ z2 , z1 ⋅ z3 et ( z2 )
2 2
2 2
Exercice n°7.

 1+ i 3 
Ecrire 1 + i 3 et 1 − i sous la forme trigonométrique et simplifier : z = 
 1 − i 


Page 1/16

20