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Cours et exercices de mathématiques

M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr

NOMBRES COMPLEXES
CORRECTION
Exercice n°1

z1 = z − z ′ = 3 + 3i − ( −1 − 2i ) = 3 + 3i + 1 + 2i = 4 +
2

2

z2 = z ⋅ z = z = 3 + 3i = 32 +

(

z3 = z 2 = 3 + 3i

)

2
3

( 3)

2

= 32 + 2 × 3 × 3i +
3

(

)

3+2 i

= 12

( 3i )

2

= 9 + 6 3i +

2

( 3)

1

2

( i )2 = 9 + 6

2

3i − 3 = 6 + 6 3i

3

z4 = z ′3 = ( −1 + 2i ) = ( −1) + 3 × ( −1) × ( 2i ) + 3 × ( −1) × ( 2i ) + ( 2i )

= −1 + 6i − 3 × ( −4 ) + 8i 3 = −1 + 6i + 12 + 8i × iN2 = −1 + 6i + 12 − 8i = 11 − 2i

z5 =
=

(

=−1

)

3 + 3i ( −1 − 2i ) −3 − 3 × 2i − 3i − 2 3i 2
z 3 + 3i
=
=
=
z ′ −1 + 2i ( −1 + 2i )( −1 − 2i )
( −1)2 − ( 2i )2

(

)

2 3 −3 6+ 3
−3 − 6i − 3i + 2 3 2 3 − 3 − i 6 + 3
=
=
−i
1 − ( −4 )
5
5
5

Exercice n°2

( )

2
2
1) On calcule successivement i 2 = −1 , i3 = i 2 × i = −1× i = −i et i 4 = i 2 = ( −1) = 1

2) La division euclidienne de 2006 par 4 fournit 2006 = 4 × 501 + 2

( )

501
501
Ainsi, i 2006 = i 4×501+ 2 = i 4×501 × i 2 = i 4
× ( −1) = (1) × ( −1) = −1

La division euclidienne de 2009 par 4 fournit 2009 = 4 × 502 + 1

( )

502
502
× i = (1) × i = i
Ainsi, i 2009 = i 4×502+1 = i 4×502 × i1 = i 4

Notons q et r le quotient et le reste de la division de n par 4. On a donc n = 4q + r avec 0 ≤ r ≤ 3

( )

q
q
Si r=0, c’est-à-dire si n=4q, i n = i 4×q = i 4 = (1) = 1

( )
q
q
Si r=2, c’est-à-dire si n=4q+2, i n = i 4×q + 2 = i 4×q × i 2 = ( i 4 ) × i 2 = (1) × ( −1) = −1
q
q
Si r=3, c’est-à-dire si n=4q+3, i n = i 4×q +3 = i 4×q × i3 = ( i 4 ) × i 3 = (1) × ( −i ) = −i
q
q
Si r=1, c’est-à-dire si n=4q+1, i n = i 4×q +1 = i 4×q × i1 = i 4 × i = (1) × i = i

Les entiers naturels n tels que i n est imaginaire pursont donc de la forme n=4q+1 ou n=4q+3
3) Déterminons la forme trigonométrique de 1 + i : Le module de 1+i est 1 + i = 12 + 12 = 2 .
Un argument θ de 1+i vérifie cos θ =

Ainsi, 1 + i = 2e

(1 + i )n

i

1
2
1
2
π
=
et sin θ =
=
. θ = ( 2π ) convient
4
2
2
2
2

π
4 , et pour tout entier naturel,

sera un réel négatif si et seulement n

π
4

(1 + i )

n

π

i

= 2e 4



n


 =



( 2)

n in

e

π
4

= π + 2kπ , k ∈ ] ⇔ n = 4 ( 2 k +1) , k ∈ ]

n

Les entiers naturels n tels que (1 + i ) soit un réel négatif sont donc de la forme n = 4 ( 2 k +1) , k ∈ ]
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