Dérivabilité résumé Bac (Math,sc exp,tech,...) (3) .pdf


Nom original: Dérivabilité résumé Bac (Math,sc-exp,tech,...) (3).pdf
Auteur: khammour

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Mr :Khammour.K

4éme

Dérivabilité

Dérivabilité en un point x0 :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant x0,
 On dit que f est dérivable en x0 si et seulement si
finie l. le réel l s'appelle le nombre dérivé de f au point x0. On note l=f '(x0).
.
Dérivabilité à droite, dérivabilité à gauche:
 f est dérivable à droite en x0 si et tellement si
s’appelle le nombre dérivé à droite au point x0 et on note fd‘ ( )
 f est dérivable à gauche en x0 si et seulement si

est une limite

; Le réel l
; Le réel l’

s’appelle le nombre dérivé à gauche au point x0 et on note fg‘ ( )
 f est dérivable en x0 si et seulement si fd‘ ( )= fg‘ ( ).
Interprétation graphique du nombre dérivé:
 f est dérivable en x0 (
f'(x0)=l) si et seulement si Cf admet au point d'abscisse x0
une tangente T de vecteur directeur
Test d'équation T: y=f '(x0)(x-x0)+f(x0).
Cas particulier : f'(x0)=0
T: y=f(x0) (la tangente est dite horizontale)
 f est dérivable à droite en x0 ( fd'(x0)=l) si et seulement si Cf admet au point
d'abscisse x0 une demie tangente Td de vecteur directeur
Td d'équation:
 f est dérivable à gauche en x0 (

fg'(x0)=l) si et seulement si Cf admet au point

d'abscisse x0 une demie tangente Tg de vecteur directeur
Td d'équation:
 Si

(respectivement – ), alors Cf admet au point

d'abscisse x0 une demie tangente verticale dirigée vers le haut( respectivement vers
le bas)
 Si

(respectivement + ) alors Cf admet au point

d'abscisse x0 une demie tangente verticale dirigée vers le haut (respectivement vers
le bas)
Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle:
 f est dérivable sur ]a,b[ si et seulement si f est dérivable en tout x0 de
]a,b[.
 f est dérivable sur [a,b] si et seulement si f est dérivable sur ]a,b[, à
droite en a et à gauche en b
Formules de dérivation:
 Si f et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors f+g; f×g , f etfn sont
dérivable sur I et on a:
(f+g)'= f'+g'.
(f.g)'= f '. g+ g'. f
( f)'= f '
(fn)'=n f ' fn-1

 Si f est dérivable sur in intervalle I et f(x) > 0; pour tout x I
sur I et

=

 Si f et g sont dérivables sur I et g(x) 0 pour tout x I alors
et on a : (

alors f est dérivable

sont dérivables sur I

et( )’=

Dérivabilité des fonctions composées:
 Si g est dérivable sur I et f est dérivable sur g(I)=J alors fog est dérivable sur I
Et on a: (fog)'= g ' × ( f ' (g)).
Dérivée de la réciproque:
 f une bijection continue de I sur J; si f est dérivable sur I et f'(x) 0 pour tout x I
alors f-1 est dérivable sur J et on a:
Accroissements finies:
 Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a)=f(b) alors il existe un réel
c ]a,b[ tel que f '(c)=0.
 Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ alors il existe un réel c ]a,b[ tel que
f(b)-f(a)=(b-a)f'(c).
 Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I , a et b deux réels de I tel que a<b et
s'il existe deux réels m et M tel que m f '(x) M pour tout x I alors :
m(b-a) f(b)-f(a) M(b-a).
 Si f est dérivable sur un intervalle I et s'il existe k IR tel que |f '(x)|
k pour tout
x I alors : pour tout a et b de I on a : |f(b)-f(a)|
k |b-a|


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