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4ème Année

Anis BEN ALI

Série d’approfondissement

SUITES RÉELLES

Exercice 1

Exercice 5

Soient ( un )n∈ℕ et ( v n )n∈ℕ deux suites réelles telles que

Soient
f une fonction définie sur un intervalle J.
( un )n∈ℕ une suite à valeurs dans J.

u0 donné

un+1 = f ( un ) , ∀ n ∈ ℕ .

n −1



f est strictement croissante sur J.
1) Montrer que si u0 < u1 alors ( un )n∈ℕ est

∑v
k =0

k

AL
I

∀ k ∈ ℕ , uk +1 − uk = v k

est simple à calcluer.

Montrer que un = u0 +

croissante.
2) Montrer que si u0 > u1 alors ( un )n∈ℕ est

n −1

∑v
k =0

k

, ∀n ∈ ℕ∗

Exercice 6

Exercice 2

Soit la suite (Un )n∈ℕ définie par :

Soient
f une fonction définie sur un intervalle J.
( un )n∈ℕ une suite à valeurs dans J.

U0 > −1
.

Un+1 = Un Un + 1 ; n∈ ℕ
1) On suppose que −1 < U0 < 0
a) Montrer que −1 < Un < 0 .

un+1 = f ( un ) , ∀ n ∈ ℕ .

b) Montrer que (Un )n∈ℕ est croissante.

BE

1) Montrer que si ∀x ∈ J,f ( x ) ≥ x alors ( un )n∈ℕ

N

décroissante.

c) Calculer la limite de (Un )n∈ℕ .

est croissante.
2) Montrer que si ∀x ∈ J,f ( x ) ≤ x alors ( un )n∈ℕ
est décroissante.

a) Montrer que la suite (Un )n∈ℕ est croissante.
b) Montrer que (Un )n∈ℕ est non majorée.

Exercice 3
Soit ( un )n∈ℕ et Sn =

2) On suppose que U0 > 0 .

n

∑ u ,où k ∈ ℕ
k =1

k

∗

c) Calculer la limite de (Un )n∈ℕ .

3) Soit la fonction définie sur ℝ + par f ( x ) = x x + 1

.

IS

1) a) Montrer que si ( un )n∈ℕ est croissante alors

a) Montrer que ∀x ∈ ℝ + , x ≤ f ( x ) ≤ x +

nu1 ≤ Sn ≤ nun .

b) Soit la suite Vn =

b) En déduire que si

u1 > 0 alors lim Sn = + ∞ .
n →+∞

AN

2) a) Montrer que si ( un )n∈ℕ est décroissante alors

nun ≤ Sn ≤ nu1 .

n

x2
.
2

k 
.
2 


∑ f  n
k =1

c) Donner un encadrement de Vn .

d) Déduire que ( Vn ) converge vers 0,5.

b) En déduire que si

u1 < 0 alors lim Sn = − ∞ .
n →+∞

Exercice 4

Soit ( un )n∈ℕ une suite vérifiant

∀ n ∈ ℕ ; un+1 − α ≤ k un − α où k ∈ ]0,1[ .

1) Montrer que ∀ n ∈ ℕ ; un − α ≤ k u0 − α .
n

2) En déduire que ( un )n∈ℕ est convergente et
déterminer sa limite.

http://www.tunisia-study.com/

Léonard de Pise - FIBONACCI
(1170 - 1240)
Il faut attendre Léonard de Pise, appelé Fibonacci, pour
voir apparaître la notion de suite récurrente.
: anisbenali74@yahoo.fr

℡ 52180911

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SUITES RÉELLES

Exercice 9

Exercice 7

Soit

On considère la suite (Un )n∈ℕ définie par

u0 = 0
.

un+1 = 6 + un , n ∈ ℕ
1) a) Montrer que ∀n ∈ ℕ, 0 ≤ un ≤ 3 .

Un
1 + Un2

b) Montrer que

1) a) Montrer que pour tout n ∈ ℕ , on a :
0 < Un ≤ 1 .
b) Montrer que

(Un )n∈ℕ

limite.
est une suite

(Un )n∈ℕ

est convergente

la suite définie par Vn =

a) Montrer que

( Vn )n∈ℕ

1
.
Un2

est une suite

n→ +∞

c) Calculer, pour tout n ∈ ℕ∗ , la somme

Sn =

n-1

∑V

k =0

et en déduire

k

Exercice 8
Soit

(

.

c) Retrouver lim un .
n→ +∞

Exercice 10

On considère deux suites réelles ( Un ) et ( Vn )

Un .Vn = U0 .V0 .


1
 Vn = (Un-1 + Vn-1

2

BE

b) Calculer Vn puis Un en fonction de n et

lim Un

n−1

1 

3 

b) Montrer que ∀n ∈ ℕ, un − 3 ≤ 

vérifiant

0 < U0 < V0. et :

arithmétique de raison 1.

retrouver

1
un − 3 .
3

N

( Vn )n∈ℕ

un ) est croissante.

2) a) Montrer que ∀n ∈ ℕ, un+1 − 3 ≤

et calculer sa limite.
2) Soit

(

c) En déduire que ( un ) est convergente et calculer sa

décroissante.
c) En déduire que

un ) la suite réelle définie sur ℕ par

AL
I

U0 = 1

U =
 n+1


(

lim

n → +∞

Sn
.
n2

un ) la suite réelle définie sur ℕ par

IS

u0 = −1

4un + 3

un+1 = u + 6 , n ∈ ℕ

n

)

;∀ n ∈ ℕ * .

1) Montrer par récurrence que ∀ n ∈ ℕ ,
Un > 0 et Vn >0.
2) a) Montrer que ∀ n ∈ ℕ , Un < Vn.
b) En déduire que la suite ( Un ) est croissante et
que

( Vn )

est décroissante.

3) a) Montrer que ∀ n ∈ ℕ *, Vn -Un <
b) En déduire que

( Un ) et ( Vn )

1
( Vn-1-Un-1 ) .
2

sont adjacentes.

c) Calculer la limite commune des suites U et V.

1) Montrer par récurrence que ∀n ∈ ℕ, − 3 < un < 1 .
2) Etudier le signe de ( un+1 − un ) pour tout n ∈ ℕ .

(

v n ) définie sur ℕ par

AN

3) Soit la suite

vn =

un − 1
.
un + 3

a) Montrer que

(

v n ) est une suite géométrique

dont on précisera le premier terme et la raison.
b) En déduire v n et un à l’aide de n.
LAGRANGE : (25 janvier 1736, Turin - 10 avril 1813, Paris)

c) Calculer lim v n .
n→+∞

d) Calculer, à l’aide de n, la somme

Sn =

k = n−1

∑

k =0

v k et déterminer lim Sn .
n→+∞

http://www.tunisia-study.com/

Notation indicielle : on doit à Joseph Louis de
Lagrange la notation indicielle ″ un ″ pour désigner le
terme de rang n d’une suite numérique.

: anisbenali74@yahoo.fr

℡ 52180911

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BE

N

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