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1) Le bilan de cette banque s’écrit ainsi:
Actif
Réserves
Prêts
Titres

Banque i
Ri = kDi Dépôts
Pi
Ti

Passif
Di

2) Le problème consiste pour la banque i à maximiser son pro…t
rapport à Pi ,Ti et Di :
i

= rp Pi + r t T i

rd Di

i

par

C (Di ; Pi ; Ti )

sous la contrainte de son bilan: Pi + Ti = (1 k)Di , ce qui est équivalent à
maximiser par rapport à Pi et Di l’expression du pro…t intégrant la contrainte
du bilan, soit:
i

= rp Pi + rt [(1

k)Di

Pi ]

rd Di

C (Di ; Pi ; Ti )

3) Les conditions de premier ordre sont:
@ i
@Pi
@ i
@Di

=

0 = rp

rt

=

0 = (1

k)rt

0

0

0

CP + CT ) rp = rt
rd

0

CD

(1

0

CT + CP
0

k)CT ) (1

0

k) rt

CT

0

= rd + CD

La première condition d’optimalité permet de déterminer le volume optimal
Pi
des prêts Pi comme étant celui qui égalise la recette marginale des prêts Rm
=
Pi
rp à leur coût marginal total, Cm , somme d’un coût marginal d’opportunité
0
0
rt CT et d’un coût marginal de gestion CP .
La deuxième condition d’optimalité permet de déterminer le volume optimal
des dépôts D comme étant celui qui égalise le coût marginal total des dépôts
Di
Cm
, somme d’un coût marginal de rémunération rd et d’un coût marginal de
0
0
Di
gestion CD , à leur rendement marginal Rm
= (1 k) rt CT , s’ils sont placés
en titres et une fois tenu l’engagement des réserves obligatoires.
4) Le taux d’intérêt débiteur rp augmente.
a) E¤ets sur les di¤érents postes du bilan:
8
<
:

0

(1

8
>
<

00

00

@Ti
i
CT @r
=1
CP @P
@rp
p
00
00
@Ti
@Di
+
C
(1 k)CT @r
)
D @rp = 0
p
>
: @Pi + @Ti (1 k) @Di = 0
@rp
@rp
@rp

0

CP CT = rp rt
0
0
k)CT + CD = (1 k)rt
Pi + Ti (1 k)Di = 0

rd

1

@Pi @Ti @Di
@rp ; @rp ; @rp

Ce système admet une solution unique
00

=

CP
0
1

00

(1

CT
00
k)CT
1

0
00
CD
(1 k)

=

00

00

6= 0 où

00

k)2 CP CT

(1

si

00

00

CT CD

est:
00

CP CD < 0

Cette solution unique est donnée par:

@Pi
=
@rp

1
0 (1
0

00

CT
00
k)CT
1

0
00
CD
(1 k)

00

@Ti
=
@rp

CP
0
1

1
0
0

00

@Di
=
@rp

CP
0
1

0
00
CD
(1 k)
00

CT
00
k)CT
1

(1

D’après la contrainte du bilan, on a:
@Pi
@rp



EB
i
k) @D
@rp

(1

@Pi
@rp

=

ES
00
(1 k)CT

@Ti
@rp

=

00
CD

1
0
0

ET

00

CD

>0

00

=

=

@Pi
@rp

00

k)2 CT

(1

=

CD

00

(1

=

<0

k)CT

>0

@Ti
@rp +(1

i
k) @D
@rp =

> 0 est l’e¤et de substitution et

@Pi
@rp
@Pi
@rp

ES
EB

+
=

=
> 0 est l’e¤et de bilan.
r
b) L’augmentation de rp entraîne tout d’abord celle de rpt et par suite un
e¤et de substitution des prêts aux titres (% Pi et & Ti tel que Pi =
Ti ).
Par ailleurs, l’augmentation de rp entraîne la baisse de rrdp , ce qui incite la banque
à collecter davantage de dépôts (% Di ) en vue de les utiliser pour augmenter
les prêts (% Pi ).
5) Le taux d’intérêt créditeur rd augmente.
a) E¤ets sur les di¤érents postes du bilan:
8
<
:

0

(1

8
>
<

rd

Ce système admet une solution unique
00

=

CP
0
1

00

(1

CT
00
k)CT
1

0
00
CD
(1 k)

00

00

@Ti
i
CT @r
=0
CP @P
@rd
d
00
00
@Ti
i
)
1
(1 k)CT @rd + CD @D
@rd =
> @Pi
:
@Ti
@Di
+
(1
k)
=
0
@rd
@rd
@rd

0

CP CT = rp rt
0
0
k)CT + CD = (1 k)rt
Pi + Ti (1 k)Di = 0

=

(1

2

@Pi @Ti @Di
@rd ; @rd ; @rd

00

00

k)2 CP CT

si

00

6= 0 où

00

CT CD

00

est:

00

CP CD < 0

Cette solution unique est donnée par:
0
1
0

@Pi
=
@rd

00

(1

00

@Ti
=
@rd

CP
0
1

CT
00
k)CT
1

0
1
0

00

@Di
=
@rd

CP
0
1

0
00
CD
(1 k)

0
00
CD
(1 k)
00

(1

CT
00
k)CT
1

D’après la contrainte du bilan, on a:
@Di
@rd

EB
00
00
CT +CP



@Di
@rd

ES

=

0
1
0
@Di
@rd

ET

(1

=

k)CP

00

=

= 0 est l’e¤et de substitution et

<0

00

(1

=

00

k)CT

<0

00

CT + CP
1
1 k
@Di
@rd

h

@Ti
@rd
EB

<0
+

@Pi
@rd

=

1
1 k

i

h

=

@Di
@rd

@Ti
@rd

+

+

ESi
@Pi
@rd

=

< 0 est l’e¤et de bilan.
b) L’augmentation de rd entraîne celles de rrdp et de rrdt et par suite une
baisse des dépôts collectés qui entraîne une diminution à la fois des prêts et des
titres (& Di )& Pi et & Ti ).

3


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