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- Quatri`
eme math´
ematiques
- Issaoui Hacen
- Septembre 2013

Lyc´
ee Al-Emti`
ez Om lˆ
arayes

∼ Feuille d’exercices 01 : Nombres complexes ∼









Le plan complexe rapport´
e `
a un rep`
ere orthonorm´
e (O, ~u, ~v ).

- Exercice 01

i
1
Soient les points
et I
.
2
2
i
z − 2i
A tout point M (z), z 6= on associe le point M ′ (z ′ ) tel que z ′ =
.
2
2z − i
1
2

Mettre z ′ sous forme cart´esienne lorsque z = 1 + 3i.
D´eterminer et construire les ensembles


(a) E1 = M (z) tel que z ′ est r´eel .

3



(b) E2 = M (z) tel que z ′ est imaginaire pur .

3
(a) Montrer que pour tout M ∈ ℘\ {A}, on a : AM.IM ′ = .
4
(b) Soit Γ = {M (z) tel que (2z − i)(2z + i) = 4}. Montrer que si M ∈ Γ alors M ′ varie sur un
cercle C dont on pr´ecisera le centre et le rayon.

- Exercice 02 -

1
2

D´eterminer l’ensemble D des nombres complexes z v´erifiant : |z − 1|2 + z − 1 6= 0.
Pour tout nombre complexe z de D, on pose f (z) =

D, on
f (z) =

2i |z|2
. Montrer que pour tout z de
|z − 1|2 + z − 1

2iz
.
z−1

3

On consid`ere les points A(1), M (z) et M ′ (f (z)). Montrer que M ′ appartient au cercle de centre
O et de rayon 2 si et seulement si M appartient `a la m´ediatrice de [OA].
4

5

(a) D´eterminer et construire l’ensemble E des points M (z) tel que f (z) ∈ R.

(b) D´eterminer et construire l’ensemble F des points M (z) tel que f (z) ∈ iR.
En d´eduire l’ensemble G des points M (z) tel que [f (z)]2 soit r´eel.

- Exercice 03 On consid`ere le point M d’affixe z et le point N d’affixe f (z) d´efinie par f (z) =
1

D´eterminer l’ensemble D des points M tels que f (z) = z.

1/ 4

3 + 4i
5
z + z.
6
6

2

(a) Exprimer `
a l’aide de z et z le nombre complexe

f (z) − z
.
1 + 2i

(b) D´eduire que ce nombre est r´eel.
(c) En d´eduire que N appartient `
a la droite ∆M passant par M et de vecteur directeur ~u + 2~v .
3

(a) Montrer que f (f (z)) = f (z) pour tout nombre complexe z.
(b) Montrer que N est le point d’intersection des deux droites D et ∆M .
(c) Caract´eriser g´eom´etriquement la transformation du plan qui envoie M a` N .

- Exercice 04 -

Soit C le cercle de centre O et de rayon 2 et B le
point d’affixe zB .

(c) Soit z un nombre complexe non nul de
module r et d’argument θ. Montrer que
z 3 est un r´eel positif si et seulement si
2kπ
θ=
, k ∈ Z.
3
(d) En d´eduire que E est la r´eunion de trois
demies-droites que l’on d´eterminera.

1

Par lecture graphique d´eterminer le module
et un argument de zB .
2

(a) Placer sur la√figure le point C d’affixe zC = −1 − i 3.

(b) Montrer que le quadrilat`ere OBA′ C est
un losange.

b

2

B

1

3

On se propose de d´eterminer l’ensemble E des
point M (z) tels que z 3 soit un r´eel positif.
(a) V´erifier que les points O, A et B appartiennent `
a E.

b

b

A′

−2

(b) Montrer que tout point M de la demiedroite [OB) appartient `
a E.

b



v


O u
b

1

−1

A

2

−1

−2

- Exercice 05 Soit f l’application de P\ {O} vers P qui `a tout point d’affixe z on associe le point M ′ d’affixe z ′ tel
z2
que z ′ = z + .
z
1
2

3

Montrer que les points O, M et M ′ sont align´es.
(a) D´eterminer l’ensemble E des points M de P\ {O} tel que f (M ) = O.
(b) D´eterminer l’ensemble F des points M de P\ {O} invariants par f .
Soit M un point de P\ {O} avec M ∈
/ E∪ F. On note I le milieu de [OM ′ ] et N = S(o,~u) (M.
−→
−−→
(a) Montrer que les vecteurs IN et OM sont orthogonaux.
(b) Trouer une construction g´eom´etrique de M ′ `a l’aide de M .

- Exercice 06 Dans le plan complexe rapport´e `
a un rep`ere orthonorm´e (O, ~u, ~v ), on consid`ere le point A d’affixe (−1)
et les points M , N et P d’affixes respectives z, z 2 et z 3 o`
u z ∈ C\{−1, 0, 1}.
1

(a) Montrer que :
(Le triangle M N P est rectangle en P ) ⇔
2/ 4



1+z
est imaginaire pur.
z



x2 + y 2 + x − iy
1+z
=
.
z
x2 + y 2
(c) En d´eduire que l’ensemble des points M tel que le triangle M N P soit rectangle en P est le
cercle Γ de diam`etre [OA], priv´e des points O et A.

(b) On pose z = x + iy o`
u x et y sont deux r´eels. Montrer que :

2

Soit M ∈ Γ et H son projet´e orthogonal sur l’axe (O, ~u). On se propose de construire les points
N et P d’affixes respectives z 2 et z 3 tels que le triangle M N P soit rectangle en P .






−−→
−−\
→ −−→
−−→
−−\
→ −−→
\
\




(a) Montrer que OM , ON ≡ u , OM [2π] puis que ON , OP ≡ u , OM [2π] .
(b) Montrer que OH = OM 2 .
(c) Donner un proc´ed´e de construction des points N et P puis les construire.
- Exercice 07 Le plan complexe P rapport´e `
a un rep`ere orthonorm´e direct (O, ~u, ~v ). Soient les points A(−i) et
1 + iz
B(−1) et f l’application : P\{A} −→ P, M (z) 7−→ M ′ (z ′ ) avec z ′ =
.
1 − iz
1
2
3

D´eterminer l’ensemble des points M (z) tel que z ′ ∈ R.
D´eterminer l’ensemble des points M (z) tel que |z| = 1.
(a) Montrer que (z ′ + 1)(z + i) = 2i.
(b) D´eterminer l’ensemble des points M ′ lorsque M ∈ C(A,1) .

4

Soit θ ∈]0, π[.

(a) Donner l’´ecriture exponentielle des nombres complexes : 1 + eiθ et 1 − eiθ .

(b) On pose z = eiθ , donner la forme exponentielle de 1 + iz et 1 − iz. En d´eduire la forme
exponentielle de z ′ .
5

Soit N un point d’affixe 1 + iz, d´eterminer l’ensemble des points N lorsque θ varie sur ]0, π[.

- Exercice 08 Le plan complexe P rapport´e `
a un rep`ere orthonorm´e direct (O, ~u, ~v ). on consid`ere les points I(1) et
iz
.
A(i) et f l’application : P\{I} −→ P, M (z) 7−→ M ′ (z ′ ) avec z ′ =
z−1
1
2
3

4

D´eterminer les points invariants par f.
−−−→
−−→
D´eterminer l’ensemble Ψ des points M (z) tels que OM et OM ′ sont colin´eaires.
π
D´eterminer l’ensemble Ξ des points M (z) tels que arg z ′ ≡ [2π].
6
θ
1
On prend z = eiθ o`
u θ ∈]0, 2π[. Montrer que : z ′ =
ei 2 puis d´eterminer θ pour que |z ′ | = 1.
2 sin 2θ

- Exercice 09 ´
Ecrire
sous forme exponentielle les expressions suivantes :
3π π
− ].
2
2

1

1 − eiθ avec θ ∈ [0, 2π].

3

1 + ieiθ avec θ ∈ [−

2

π π
1 + e−2iθ avec θ ∈ [− , ].
2 2

4

1 + e2iθ
avec θ ∈]0, π[.
1 − e2iθ

3/ 4

5
6
7

1 + cos θ + i sin θ
avec θ ∈]0, π[.
1 + cos θ − i sin θ

8

a cos θ + b sin θ avec θ ∈ R et a, b = 1 ou −1.

9

1 + i tan θ avec θ ∈] −

π π π 3π
, [∩] , [.
2 2
2 2

sin θ + i cos θ avec θ ∈ R

1 + cos θ − i sin θ avec θ ∈ R

- Exercice 10 Le plan complexe P est rapport´e `
a un rep`ere orthonorm´e direct (O, ~u, ~v ). On note A le point d’affixe
1 et par C le cercle trigonom´etrique. On consid`ere l’application f de P dans P, qui `a tout point
M (z) on associe le point M ′ (z ′ ) telle que z ′ = 2z − z 2 .
1
2

D´eterminer les points invariants par f.
D´eterminer l’ensemble des point M (z) tels que arg(z ′ ) − 2 arg(z) ≡

π
[2π].
2

π π
R´esoudre dans C : f (z) = 1 + e2iθ o`
u θ ∈ [− , [. V´erifier que les points images des solutions
2 2
sont sym´etriques par rapport `
a un point fixe.
3

4

Dans cette question M ∈ C {A}.
(a) Montrer que AM = M M ′ .
z′ − 1
est un r´eel.
(b) Montrer que
z
(c) En d´eduire que A et M ′ sont sym´etriques par rapport `a la tangente ∆ au cercle C au point
M.
- Exercice 11 Le plan complexe P est rapport´e `
a un rep`ere orthonorm´e direct (O, ~u, ~v ). On note A le point d’affixe
z2
.
i et f : P\{A} −→ P, M (z) 7−→ M ′ (z ′ ) avec z ′ =
i−z
1

2

(a) -i- D´eterminer les affixes des points invariants.
-ii- Montrer que si z est imaginaire pur, alors z ′ est aussi imaginaire pur.




−−−→′
\
−−→
−−→
−−→
\
(b) -i- Montrer que si M 6= O on a OM , OM ≡ π + AM , OM [2π].

−−−→
−−→
-ii- D´eterminer l’ensemble des points M tels que OM et OM ′ soient orthogonaux.
−→ −−→ −−−→ →

Dans la suite M ∈ C(A, 1 ) . Soit G le point d´efini par GA + GM + GM ′ = 0 .
2

- Exercice 12 Soit A le point d’affixe 1. On consid`ere le nombre complexe z =
1
2

h π πi
2
1
1 + eiθ , o`
uθ∈ − ,
.
2
2 2

D´eterminer le module et un argument du nombre complexe z.
Soit M le point d’affixe z et N le projet´e orthogonal du point A sur la droite (OM ).
π
(a) Dans cette question on prend θ = .
3
Construire les points M et N et donner la forme exponentielle de z ′ affixe de N .
h π πi
, le point N d´ecrit le cercle C de diam`etre [OA].
(b) Montrer que lorsque θ varie dans − ,
2 2
(c) Calculer la distance M N .
(d) Donner une construction
g´eom´etrique point par point de l’ensemble Γ des points M lorsque
h π πi
θ varie dans − ,
.
2 2
4/ 4


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