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Quatri`eme Math´ematiques 2

Octobre 2013

Issaoui Hacen

- FEUILLE D’EXERCICES 02 - Nombres complexes -



Le plan complexe rapport´
e `
a un rep`
ere orthonorm´
e (O, ~u, ~v ).


Exercice 01
Soient les points A, B et C d’affixes respectives 1, −1 et i. A tout point M d’affixe z on
z−1
.
associe le point M ′ d’affixe z ′ tels que z ′ =
z+1
1. Montrer que si M ∈ C(O,1 \ {B} alors M ′ ∈ (O, ~v ).
2. Soit θ ∈ ]0, π[. On consid`ere l’´equation E : z 2 − 2eiθ z + 1 = 0.

(a) D´eterminer les racines carr´ees de eiθ − 1 sous formes exponentielle.

(b) R´esoudre alors E dans C.



θ
θ
π
π
3. Soit M1 et M2 d’affixes respectives z1 = eiθ + 2 sin θei( 2 + 4 ) et z2 = eiθ − 2 sin θei( 2 + 4 ) .
(a) V´erifier que ℑm(z1 ) 6= 0.

(b) En d´eduire que les points A, B et M1 ne sont pas align´es.
z′
(c) Montrer que 1′ = −1 En d´eduire que les points A, B, M1 et M2 sont cocycliques.
z2


θ
π
θ π

ei( 2 + 4 ) . En d´eduire que M1 appartient `a un
+
(d) montrer que e − i = −2i cos
2
4
cercle fixe de centre C dont on pr´ecisera le rayon.
Exercice 02
1. Soit l’´equation E : z 3 − (1 + 2i)z 2 + (1 + 4i)z + 3 + 6i = 0.

(a) Montrer que E admet une solution r´eelle que l’on pr´ecisera.

(b) R´esoudre dans C l’´equation E.
2. Dans le plan complexe rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e (O, ~u, ~v ), unit´e de mesure 2 cm,
on consid`ere les points A, B et C d’affixes respectives z A = −1, zB = 3i et zC = 2 − i.
z − 3i
Soit f : P\ {A} −→ P ; M (z) 7−→ M ′ (z ′ ) tel que z ′ = i
.
z+1
(a) Montrer que C admet un seul ant´ec´edent D par f .
(b) D´eterminer la nature du triangle ABC.
MB
(c) Montrer que pour tout point M distinct de A et B on a : OM ′ =
AM




−−−→′
\
−−→
−−→
π
\


et u , OM ≡ + M A, M B [2π].
2
(d) D´eterminer et construire l’ensemble Γ des points M tels que M ′ appartient au cercle
trigonom´etrique et l’ensemble Ψ des points M tels que z ′ soit un r´eel.
Exercice 03
1. Soit θ un r´eel de l’intervalle ]0, π[. R´esoudre dans C l’´equation : z 2 − 2iz − 1 − e2iθ = 0.


2. Dans le plan complexe rapport´e a` un rep`ere orthonorm´e direct (O, −
u,−
v ) , on consid`ere les
points A, M et N d’affixes respectives −1 + i, 1 + eiθ et i − eiθ .
−−→ −−→
(a) Montrer que AM ⊥AN .

(b) Montrer que lorsque θ varie dans ]0, π[ les points M et N varient sur un cercle C que
l’on d´eterminera.
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Quatri`eme Math´ematiques 2

Octobre 2013

Issaoui Hacen

3. (a) D´eterminer en fonction de θ l’aire A (θ) du triangle AM N.
(b) D´eterminer la valeur de θ pour laquelle A (θ) est maximale et placer dans ce cas les
points M et N sur le cercle C
Exercice 04
θ ´etant un r´eel de l’intervalle [0, 2π[ ; on pose pour tout nombre complexe z :
fθ (z) = z 2 − (i + eiθ )z + (1 + i)(−1 + eiθ ).
1. (a) V´erifier que fθ (1 + i) = 0.
(b) En d´eduire les solutions z ′ et z ′′ dans C de l’´equation fθ = 0.


2. ans le plan complexe rapport´e `
a un rep`ere orthonorm´
e direct (O, −
u,−
v ) , on consid`ere les


points A, B et M d’affixes respectives −1, i 3 et −1 + e .
(a) Montrer que lorsque θ varie dans [0, 2π[, M varie sur un cercle C `a pr´eciser.
(b) D´eterminer les valeurs de θ pour lesquelles la droite (BM ) est tangente `a C .
Exercice 05
Soit dans C l’´equation : z 2 − (1 + i)(cos θ + sin θ)z + i = 0 avec θ ∈ ]0, π[ .

1. (a) V´erifier que 2i(cos θ + sin θ)2 − 4i = (1 − i)2 (cos θ − sin θ)2 .
(b) R´esoudre dans C l’´equation et mettre les solutions sous forme trigonom´etrique.
π
2. On d´esigne le plan par A, M1 et M2 les points d’affixes respectives 1, ei( 2 −θ) et eiθ .
(a) Montrer que le triangle OM1 OM2 est isoc`ele en O.
(b) D´eterminer θ pour que le triangle OM1 M2 soit ´equilat´eral.
(c) D´eterminer θ pour que AM1 = AM2 .
3. Soit I le milieu de [AM2 ], d´eterminer l’ensemble des points I quand θ d´ecrit [0, 2π].

Exercice 06


Dans le plan complexe rapport´e `
a un rep`ere orthonorm´e direct (O, −
u,−
v ) , on consid`ere les
points A et B d’affixes respectives a et 1 o`
u a ∈ C {1}.
z−a
.
Soit f : P {B} −→ P, M (z) 7−→ M ′ (z ′ ) telle que z ′ =
z−1
1. Montrer que les affixes des points invariant par f sont les solutions de l’´equation ξ : z 2 −
2z + a = 0.


π 3π
2iθ
. R´esoudre ξ dans C.
,
2. (a) On pose a = 1 + e o`
uθ∈
2 2
(b) Mettre sous forme trigonom´etrique chacune des solutions de ξ.
3. Dans cette question on pose a = −1. Soient M ∈ P {B} et M ′ (z ′ ).



−−−→
\
−−→
\


(a) Montrer que −
u , BM + −
u , BM ′ ≡ 0[2π]. En d´eduire que la demi-droite [BA)
−−→ −−−→
est une bissectrice de BM , BM ′ .
(b) Montrer que z ′ est un imaginaire pur si et seulement si |z| = 1.
(c) En d´eduire la construction du point M ′ image par f d’un point M du cercle trigonom´etrique priv´e du point B.

Exercice 07
1. D´eterminer les racines cubiques de a = 16(1 − i).

2. Soit M le point d’affixe z tel que z = 1 − i + 2 2eiα , o`
u α est un r´eel de [0, 2π[. D´eterminer
l’ensemble C des points M lorsque α d´ecrit [0, 2π[.
3. Montrer que les points images des solutions de l’´equation (z − 1 + i)3 = 16(1 − i) appartiennent `
a C.
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