RESUME DERIVABILITE 4è.(1) .pdf


Nom original: RESUME DERIVABILITE 4è.(1).pdf
Titre: Rappels
Auteur: Boubaker Tabbabi

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L.S.C.J.Gafsa

RESUME DE COURS (Dérivation 4è.)

B.Tabbabi

Définition
Une fonction f définie sur un intervalle ouvert I est dite dérivable en un réel a de I s’il existe un réel l
f ( x)  f (a)
f ( a  h)  f ( a )
tel que lim
 l (ou lim
 l ) .Dans ce cas l est noté f’(a) et est appelé nombre
xa
h

0
xa
h
dérivé de f en a.
Approximation affine
Si f est dérivable en a alors le réel f (a )  hf '(a ) est une approximation afiine de f (a  h) lorsque
h est voisin de 0 .
Dérivabilité à droite et à gauche
Une fonction f définie sur un intervalle ouvert I est dite dérivable en un réel a de I si elle est dérivable à droite
et à gauche de a et f d' (a)  f g' (a) .
Dérivabilité et continuité
Si f est dérivable en a alors f est continue en a .
La réciproque de cette implication est en général fausse.Néanmoins,on peut dire si f est discontinue en a alors
f n’est pas dérivable en a.
Dérivabilité sur un intervalle
f est dite dérivable sur un intervalle ouvert ]a,b[ si elle est dérivable en chacun des points de ]a,b[.
f est dite dérivable sur [a,b] si elle est dérivable sur l’ouvert ,à droite de a et à gauche de b.
Interprétation graphique
.Si f est dérivable en a alors la courbe ( C ) de f admet au point (a,f(a)) une tangente T d’équation cartésienne
y  f '(a )( x  a )  f (a ) .
.Si f est dérivable à droite et à gauche en a avec f d' (a)  f g' (a) alors ( C ) admet au point (a,f(a)) deux
demi-tangentes (on dit que (a,f(a)) est un point anguleux pour ( C )).
f ( x)  f (a)
.Si lim
  alors ( C ) admet au point (a,f(a)) une demi-tangente verticale .
xa
xa
Dérivées des fonctions usuelles
Fonction f
Intervalle I
Fonction dérivée f ’
n
*
IR
x  nx n 1
x  x ; n  IN \{1} .
1
n
I  IR*
x  n ; n  IN * .
x   n 1
x
x
IR
x  sin(ax  b)
x  a cos(ax  b)
IR
x  cos(ax  b)
x   a cos(ax  b)
a

 

x  a 1  tan ²(ax  b)  
x  tan(ax  b)
  2  k , 2  k  ; k  
cos ²(ax  b)
Opérations sur les fonctions dérivées
f et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Fonctions
Intervalle J
Fonction dérivée
J=I
f g
f ' g '
J =I
f'
 f ;   IR
fg
J =I
f ' g  fg '
1
f'
J   x  I ; f ( x)  0

f

f
f ' g  fg '
J   x  I ; g ( x)  0
g

J=I
f n ; n  IN * \{1}
nf ' f n 1

1
; n  IN *
fn

f

J   x  I ; f ( x)  0
J   x  I ; f ( x)  0

nf '
f n 1
f'
2 f



Dérivabilité des fonctions composées
Théorème
Si g est une fonction dérivable sur un intervalle I et f est une fonction dérivable sur un intervalle contenant
g(I) alors la fonction f  g est dérivable sur I et pour tout x de I on a : ( f  g ) '( x)  g '( x). f '  g ( x)  .
Théorème de Rolle
Soient a et b deux réels tels que a < b.
Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ telle que f (a )  f (b) ;alors il existe un réel c de
]a,b[ tel que f '(c)  0 .
Théorème des accroissements finis
Soient a et b deux réels tels que a < b.Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ ;alors il
f (b)  f (a )
existe un réel c de ]a,b[ tel que f '(c) 
.
ba
Inégalités des accroissements finis
Théorème
Soient a et b deux réels tels que a < b.
Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ ;s’il existe deux constantes réelles m et M telles que
f (b)  f (a )
m  f ’(x)  M pour tout x de ]a,b[, alors m 
M .
ba
Corollaire
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I ;s’il existe un réel k > 0 tel que pour tout x de I on a f '( x)  k
alors pour tous réels a et b de I on a f (b)  f (a )  k b  a .
Sens de variation d’une fonction
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
f est strictement croissante(resp.strictement décroissante) sur I si et seulement si pour tout x de I on a
f’(x) > 0 (resp.f’(x )< 0).
Remarque
Si f '( x)  0 pour tout x de I et f’ ne s’annule sur aucun intervalle ouvert contenu dans I alors f est strictement
croissante sur I.
Si f '( x)  0 pour tout x de I et f’ ne s’annule sur aucun intervalle ouvert contenu dans I alors f est strictement
décroissante sur I.
Théorème
Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[.
Si f est croissante (resp.strictement croissante) sur]a,b[ alors f est croissante (resp.stritement croissante)
sur[a,b].
Si f est décroissante (resp.strictement décroissante) sur]a,b[ alors f est décroissante (resp.stritement
décroissante) sur[a,b].
Extrêma
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et soit a un réel de I.
Si f admet un extremum local en a alors f’(a)  0.
Si f’ s’annule en a en changeant de signe alors f admet un extremum local en a.
Point d’inflexion
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et dérivable en un réel a de I.
On dit que le point A(a,f(a)) est un point d’inflexion de la courbe (C) de f si la tangente à (C) en a traverse (C).
Théorème
Soit f une fonction deux fois dérivable un intervalle ouvert I et soit a un réel de I.
Si f ’’ s’annule en a en changeant de signe alors le point A(a,f(a)) est un point d’inflexion de la courbe de f.
Eléments de symétrie d’une courbe
Soit f une fonction définie sur un ensemble D.
.Le point I(a,b) est un centre de symétrie de la courbe de f si pour tout de x de D on a :
(2a-x)  D et f(2a-x)  f ( x)  2b .
.La droite  : x  a est un axe de symétrie de la courbe de f si pour tout de x de D on a :
(2a-x)  D et f(2a-x)  f ( x) .


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