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1) Le bilan de cette banque s’écrit ainsi :
Actif
Réserves
Prêts
Titres

Banque i
Ri = kDi Dépôts
Pi
Fonds levés sur les marchés
Ti

Passif
Di
Fi

2) Le problème consiste pour la banque i à maximiser son pro…t
rapport à Pi ,Ti et Di et Fi :
i

= rp Pi + rt Ti

rd Di

rf Fi

i

par

C (Pi ; Ti ; Di ; Fi )

sous la contrainte de son bilan : Pi + Ti = (1 k)Di + Fi , ce qui est équivalent
à maximiser par rapport à Pi , Di et Fi l’expression du pro…t intégrant la
contrainte du bilan, soit :
i

= rp Pi + rt [(1

k)Di + Fi

Pi ]

r d Di

rf Fi

C (Pi ; Ti ; Di ; Fi )

0

0

3) Les conditions de premier ordre sont :
@ i
= 0 = rp
@Pi
@ i
= 0 = (1
@Di
@ i
= 0 = rt
@Fi

rt
k)rt
rf

0

0

CP + CT ) rp = rt
rd
0

CF

0

CD

(1

0

CT ) rt

CT + CP
0

k)CT ) (1
0

k) rt

0

CT

0

CT = rf + CF

La première condition d’optimalité permet de déterminer le volume optimal des prêts Pi comme étant celui qui égalise la recette marginale des
Pi
Pi
prêts Rm
= rp à leur coût marginal total, Cm
, somme d’un coût marginal
0
d’opportunité rt CT (en prêtant une unité monétaire, on renonce à la placer
en titres et on perd donc le taux d’intérêt rt qui l’aurait rémunéré mais on
0
0
économise les coûts de gestion CT ) et d’un coût marginal de gestion CP .
La deuxième condition d’optimalité permet de déterminer le volume optimal des dépôts D comme étant celui qui égalise le coût marginal total des
Di
dépôts Cm
, somme d’un coût marginal de rémunération rd et d’un coût mar0
0
Di
ginal de gestion CD , à leur rendement marginal Rm
= (1 k) rt CT , s’ils
sont placés en titres et une fois tenu l’engagement des réserves obligatoires
(sur chaque unité monétaire de dépôt collectée, la banque doit se constituer
des réserves au taux k, si bien que les fonds à sa disposition pour être prêtés
1

0

= rd + CD

ou placés en titres sont égaux à (1 k) unités monétaires qui lorsqu’elles
0
sont placées en titres rapportent rt sur chaque unité mais coûtent CT en frais
0
de gestion, si bien que le revenu net sur chaque unité est de rt CT et par
0
suite le revenu net rapporté par (1 k) unités est de (1 k) rt CT ).
La troisième condition d’optimalité permet de déterminer le volume optimal des fonds levés sur les marchés F comme étant celui qui égalise le
Fi
coût marginal total de ces fonds Cm
, donné par la somme du coût marginal
0
de rémunération rf et du coût marginal de gestion de ces fonds CF , à leur
0
Fi
rendement marginal Rm
= rt CT , s’ils sont placés en titres, qui égal au
taux d’intérêt rémunérant les titres net du côut marginal de leur gestion.
4) Le taux d’intérêt débiteur rp augmente.
a) E¤ets sur les di¤érents postes du bilan :
8
>
>
<

0

8
>
>
>
<

0

00

00

@Ti
i
CP @P
CT @r
=1
@rp
p
00 @T
00 @D
i
(1 k)CT @rp + CD @rpi = 0
00 @T
00
i
i
CT @r
+ CF @F
=0
@rp
p
@Pi
@Ti
@Di
@Fi
+ @rp (1 k) @rp
=0
@rp
@rp

CP CT = rp rt
0
0
(1 k)CT + CD = (1 k)rt rd
)
0
0
CT + CF = rt rf
>
>
>
>
>
:
:
Pi + Ti (1 k)Di Fi = 0

i @Ti @Di @Fi
Ce système admet une solution unique @P
; ;
;
@rp @rp @rp @rp
est :
00
00
CP
CT
0
0
00
00
0 (1 k)CT
CD
0
=
00
00
0
CT
0
CF
1
1
(1 k)
1

(1

00

= CP

00

00

00

00

= CP CD CF + (1

6= 0 où

00

00

CT
0
0
00
00
(1 k)CT CD 0
00
00
CT
0 CF
i h
i
00
00
00
00
00
00
00
k)2 CT CF + CT CD
CT CD CF

k)CT
00
CT
1

h 00 00
00
= CP CD CF + (1

si

CD
0
00
0
CF
(1 k)
1

00

00

00

00

00

00

00

00

00

k)2 CP CT CF + CP CT CD + CT CD CF > 0

Cette solution unique est donnée par :
00

@Pi
=
@rp
=

1
CT
00
0 (1 k)CT
00
0
CT
0
1

0
0
00
CD
0
00
0
CF
(1 k)
1

00

00

00

CD CF + (1

00

00

=

00

k)2 CT CF + CT CD
2

(1

>0

00

k)CT
00
CT
1

00

CD
0
00
0
CF
(1 k)
1

00

@Ti
=
@rp

CP
0
0
1

1
0
0
0

00

00

CD CF

=

0
0
00
CD
0
00
0
CF
(1 k)
1

00

(1

=

00

00

00

CP
CT
00
0 (1 k)CT
00
0
CT
1
1

@Fi
=
@rp

00

00

00

CT CD

=

=

1 0
0 0
00
0 CF
0
1

@Pi
@rp

+
ES

@Pi
@rp

= (1
EB


EB

@Pi
@rp

i
k) @D
+
@rp

=

>0

0
00
CD
0
(1 k)

1
0
0
0

00

0 (1 k)CT
00
0
CT
1
1

=

00

CD
0
(1 k)

00

CT CD

>0
@Pi
@rp

D’après la contrainte du bilan, on a :
@Pi
@rp

00

0 (1 k)CT 0
00
00
0
CT
CF
1
1
1

00

k)CT CF

00

=

00

0
CD
00
0
CF
(1 k)
1

<0

CP
CT
00
0 (1 k)CT
00
0
CT
1
1

@Di
=
@rp

0
0
1

=

@Ti
@rp

=

00

00

CD C F

ES
00 00
(1 k)2 CT CF
@Fi
=
@rp

+

=
ET

@Ti
@rp

+ (1

i
i
k) @D
+ @F
=
@rp
@rp

> 0 est l’e¤et de substitution et
00

00

CT C D

> 0 est l’e¤et de bilan.

b) L’augmentation de rp entraîne à actif (et donc passif et bilan)
inchangé(s) celle de rrpt et par suite un e¤et de substitution des prêts aux
titres (% Pi et & Ti tel que Pi =
Ti ). Par ailleurs, l’augmentation de
rp entraîne les hausses de rrdp et de rrfp , ce qui donne lieu à un e¤et de bilan
qui incite la banque à collecter davantage de dépôts (% Di ) et à lever plus
de fonds sur les marchés (% Fi ) en vue d’augmenter les prêts (% Pi ).

3

5) Le taux d’intérêt créditeur rd augmente.
a) E¤ets sur les di¤érents postes du bilan :
8
0
0
>
CP CT = rp rt
>
>
0
0
<
(1 k)CT + CD = (1 k)rt rd
)
0
0
CT + CF = rt rf
>
>
>
>
:
>
:
Pi + Ti (1 k)Di Fi = 0
8
>
>
<

@Pi @Ti @Di @Fi
; ;
;
@rd @rd @rd @rd

Ce système admet une solution unique
00

00

00

00

00

00

00

00

00

@Ti
i
CT @r
=0
CP @P
@rd
d
00 @D
00 @T
i
(1 k)CT @rd + CD @rdi = 1
00
00 @T
i
i
CT @r
+ CF @F
=0
@rd
d
@Ti
@Di
@Fi
@Pi
+ @rd (1 k) @rd
=0
@rd
@rd

00

00

00

00

si

6= 0 où

00

= CP CD CF + (1 k)2 CP CT CF + CP CT CD + CT CD CF > 0 (calculé plus
haut).
Cette solution unique est donnée par :
00

0
CT
00
1 (1 k)CT
00
0
CT
0
1

@Pi
=
@rd

(1

=

00

00

@Ti
=
@rd
=

0
1
0
0

@Di
=
@rd

00

(1

00

= ( 1)

CP
0
1

0
0
(1

0
00
CF
k)
1

<0

00

CP CT

( 1)

00

CP
CT
00
0 (1 k)CT
00
0
CT
1
1
00

=

0
0
00
CD
0
00
0
CF
(1 k)
1

k)CP CF

00

=

0
0

<0

00

(1

00

CT
00
CT
1

00

k)CT CF

CP
0
0
1

0
0
00
CD
0
00
0
CF
(1 k)
1

00

00

CT CF

0
0
1 0
00
0 CF
0
1
00

00

=

00

CP CF

4

<0

( 1)

CP
0
1

00

CT 0
00
00
CT CF
1
1

0
00
CF
k)
1

00

@Fi
=
@rd
=

00

CP
CT
00
0 (1 k)CT
00
0
CT
1
1
(1

00

0
00
CD
0
(1 k)

0
1
0
0

et

ES
@Di
@rd

+

@Di
@rd

=
EB


EB h

1
1 k

@Ti
@rd

= ( 1)

00

CT
00
CT
1

0
0
(1

k)

00

k)CP CT

>0

D’après la contrainte du bilan, on a :
@Di
@rd

00

CP
0
1

@Di
@rd

=1
ESi
i
+ @P
=
@rd

1 @Fi
k @rd
00 00
CT C F

=

@Di
@rd
00

=
ET
00

CP C T

00 00
CP CF

1
1 k

h

@Fi
@rd

+

@Ti
@rd

+

@Pi
@rd

i

=

< 0 est l’e¤et de substitution

< 0 est l’e¤et de bilan.

b) L’augmentation de rd entraîne à passif (et donc à actif et à bilan)
inchangé(s) celle rrfd , amenant la banque à substituer les fonds levés sur les
marchés aux dépôts (& Di et % Fi tel que Di = 1 1k Fi ). Par ailleurs,
elle entraîne les hausses de rrdp et de rrdt , qui donnent lieu à un e¤et de bilan
se traduisant par suite une baisse des dépôts collectés par la banque en vue
de réduire à la fois les prêts et les titres (& Di )& Pi et & Ti ).

5


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