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Quatri`eme math´ematiques

Issaoui Hacen

4 novembre 2013

Lyc´ee Al-Emti`ez Om lˆ
arayes

∼ Feuille d’exercices 6 ∼
´ciproques - Fonctions re

Exercice 01
−x
et Cf sa courbe dans un rep`ere orthonorm´e (O,~i, ~j).
Soit la fonction f d´efinie sur R par f (x) = √
1 + x2
1
A/ 1. Montrer que f est d´erivable sur R et que ∀x ∈ R : f ′ (x) = − √
3.
1 + x2
2. Montrer que f r´ealise une bijection de R dans ] − 1, 1[.
3. Tracer Cf et Cf −1 dans le mˆeme rep`ere.

−x
4. Montrer que ∀x ∈] − 1, 1[ : f −1 (x) = √
.
1 − x2
i π πh
B/ Soit g la fonction d´efinie sur − ,
par g(x) = 1 + f −1 (sin x).
2
2
i π πh
1. Montrer que ∀x ∈ − , , : g(x) = 1 − tan x.
2 2
i π πh
sur R.
2. Montrer que g r´ealise une bijection de − ,
2 2


1
.
3. Montrer que g −1 est d´erivable sur R et que ∀x ∈ R ona : g −1 (x) = −
1 + (x − 1)2


1
C/ Soit h la fonction d´efinie sur ] − ∞, 0[ par h(x) = g −1 (1 + x) + g −1 1 +
.
x

1. (a) Montrer que h est d´erivable sur ] − ∞, 0[ et Calculer h′ (x).
π
(b) Calculer h(−1) et en d´eduire que ∀x ∈] − ∞, 0[, h(x) = .
2



n
X
1
1
un
−1

−1
g
2. Pour tout n ∈ N , on consid`ere les suites un =

+g
et vn =
.
k
k
n
k=1






1
1
−k
−1
−1

=g
+g
.
(a) V´erifier que h
k+1
k+1
k


π
1

−1
(b) Montrer alors que ∀n ∈ N : un = (n − 1) + g
.

2
n
(c) En d´eduire que la suite v est convergente et calculer sa limite.

Exercice 02


1 1
par f (x) = 1 + sin(πx). On d´esigne par Cf sa courbe dans un rep`ere orthonorm´e (O,~i, ~j).
Soit la fonction d´efinie sur − ,
2 2
1. (a) Montrer que f admet une fonction r´eciproque f −1 d´efinie sur [0, 2].
(b) la fonction f −1 est elle d´erivable `
a droite en 0 ? `a gauche en 2 ?

(c) Montrer que f −1 est d´erivable sur ]0, 2[ et que pour tout x ∈]0, 2[ : f −1 (x) =

2. Soit la fonction d´efinie sur [0, 2] par g(x) = f −1 (2 − x) + f −1 (x).

1

.
π 2x − x2

(a) Montrer que g est d´erivable sur ]0, 2[ et calculer g ′ (x) pour tout x ∈]0, 2[.

(b) D´eduire que pour tout x ∈ [0, 2], on a :

f −1 (2 − x) + f −1 (x) = 0.
(c) Interpr´eter graphiquement le r´esultat (1).


n
1
1 X −1
. Pour tout n ∈ N∗ .
1+
f
3. Soit la suite de terme g´en´eral Un =
n
n+k
k=0

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(1)

Quatri`eme math´ematiques

Issaoui Hacen

4 novembre 2013

Lyc´ee Al-Emti`ez Om lˆ
arayes










1
1
1
1
−1
−1
(a) Montrer que pour tout n ∈ N , 1 +
1+
1+
f
≤ Un ≤ 1 +
f
.
n
2n
n
n
(b) D´eduire que la suite (Un ) converge et calculer sa limite


Exercice 03
r
i π πh
1 + sin x
Soit la fonction f d´efinie sur − ,
par f (x) =
.
2 2
1 − sin x
i π πh
i π πh
1
et que pour tout x ∈ − , , f ′ (x) =
.
1. Montrer que f est d´erivable sur − ,
2 2
2 2
1 − sin x
i π πh
2. Montrer que f r´ealise une bijection de − ,
sur ]0, +∞[.
2 2

2
3. Montrer que f −1 est d´erivable sur ]0, +∞[ et que pour tout x > 0, f −1 (x) =
.
1 + x2

1
.
4. Soit g la fonction d´efinie sur ]0, +∞[ par g(x) = f −1 (x) + f −1
x
(a) Montrer que g est d´erivable sur ]0, +∞[ et d´eterminer sa fonction d´eriv´ee.
(b) En d´eduire l’expression de g(x) pour tout x de ]0, +∞[ .

Exercice 04

Soit la fonction f d´efinie sur

R∗+

par f (x) =

r

1+

1
.
x

1. Etudier les variations de f .
i π πh
2. Pour tout x de − , , on pose g(x) = f (tan x)).
2 2
i πh
(a) Montrer que g r´ealise une bijection de 0,
sur ]1, +∞[.
2


−2x
.
(b) Montrer que g −1 est d´erivable sur ]1, +∞[ et que ∀x ∈]1, +∞[ : g −1 (x) =
1 + (x2 − 1)2
s
r 
q


1
3. Pour tout x de R∗+ , on pose ϕ(x) = g −1
1 + x + g −1  1 +
.
x
(a) Mintrer que ϕ est d´erivable sur R∗+ et calculer ϕ′ (x), pour tout x de R∗+ .

π
(b) Calculer g −1 ( 2) et d´eduire que pour tout x de R∗+ , ona : ϕ(x) = .
2
2n
X
1
g −1 (k).
4. Pour tout entier n ≥ 2, on pose Vn =
n+1
k=n

(a) Montrer que g −1 (2n) ≤ Vn ≤ g −1 (n).

(b) En d´eduire que (Vn ) converge et d´eterminer sa limite.

Exercice 05
i π i
1
si x ∈ − , 0
π
1 + tan x
4
Soit la fonction f d´efinie sur ] − , +∞[ par : f (x) =

4

 1 − x + px2 + 2x si x ∈]0, +∞[.
On d´esigne par Cf sa courbe dans un rep`ere orthonorm´e (O,~i, ~j).





1. (a) Etudier la continuit´e de f en 0.

(b) Etudier la d´erivabilit´e de f en 0. Interpr´eter graphiquement.
(c) Tracer le tableau de variation de f puis construire Cf .
2. On d´esigne par g la restriction de f s `
a l’intervalle ]0, +∞[.
(a) Montrer que g r´ealise une bijection de ]0, +∞[ sur un intervalle J `a pr´eciser.
(b) Construire la courbe Cg−1 .
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Issaoui Hacen

4 novembre 2013

Lyc´ee Al-Emti`ez Om lˆ
arayes

(c) Expliciter g −1 (x) pour tout x ∈ J.

i π i
3. On d´esigne par h la restriction de f `
a l’intervalle − , 0 .
i π i 4
(a) Montrer que h r´ealise une bijection de − , 0 sur un intervalle J′ a` pr´eciser.
4

1
−1

.
(b) Montrer que h est d´erivable sur J et que pour tout x de J′ , h−1 (x) = − 2
2x − 2x + 1



x−1


si x < 0
 h−1

x
4. Soit ψ la fonction d´efinie sur ] − ∞, 0] par ψ(x) =



 − π si x = 0.
4
(a) Montrer que ψ est continue en 0.
(b) Montrer que ψ est d´erivable sur ] − ∞, 0[ et calculer ψ ′ (x) pour tout x < 0.
ψ(x) + π4
1
(c) Montrer que pour tout x < 0, il existe cx ∈]x, 0[ tel que
=−
.
x
(cx − 1)2 + 1
(d) D´eduire que ψ est d´erivable `
a gauche en 0 et calculer ψg′ (0).

Exercice 06
i π πh
Soit la fonction f d´efinie sur − ,
par f (x) = tan x.
2 2
i π πh
1. Montrer que f r´ealise une bijection de − ,
sur R. On note f −1 sa fonction r´eciproque.
2 2

2. Montrer que f −1 est d´erivable sur R et calculer f −1 (x), pour tout x deR
π
3. Soit la fonction g d´efinie sur [0, 1] par g(x) = − 2xf −1 (x).
4
(a) Montrer que g est deux fois d´erivable sur [0, 1] puis calculer g ′ (x) et g ′′ (x) pour tout x de [0, 1].
(b) Dresser le tableau de variation de g ′ et en d´eduire le sens de variation de g.
π
.
(c) Montrer qu’il existe un unique r´eel c de ]0, 1[ tel que c = tan
8c

Exercice 07

Soit la fonction f d´efinie sur I =]0, 4[ par f (x) = √
1. (a) Dresser le tableau de variation de f .

x−2
.
4x − x2

(b) V´erifier que le point A(2, 0) est un centre de sym´etrie pour Cf et donner une ´equation de la tangente T `a Cf en
A.
(c) Construire T et Cf .
2. (a) Montrer que f r´ealise une bijection de I dans R. On pose g = f −1 .


x
.
(b) Montrer que ∀x ∈ R, on a : g(x) = 2 1 + √
x2 + 1
(c) Tracer dans le mˆeme rep`ere Cg .



1


si x ∈]0π[.
 h(x) = g
tan x
3. Soit la fonction h d´efinie sur J = [0, π] par :
h(0) = 4.



h(π) = 0.
(a) Montrer que h est continue sur J

(b) V´erifier que pour tout x ∈ J, on a : g(x) = 2(1 + cos x).

(c) Montrer que h r´ealise une bijection de J sur un intervalle K `a pr´eciser. On note H = h−1
1
(d) Montrer que H est d´erivable sur I et que ∀x ∈ I, H′ (x) = − √
.
4x − x2
4. On pose F(x) = H(x) + H(4 − x) pour tout x ∈ [0, 4].

(a) Montrer que F est continue sur [0, 4] et d´erivable sur ]0,4[ et calculer F′ (x) pour tout x ∈]0, 4[.
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Issaoui Hacen

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Lyc´ee Al-Emti`ez Om lˆ
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(b) En d´eduire que ∀x ∈ [0, 4] on a H(x) + H(4 − x) = π

Exercice 08

On d´efinie sur R la fonction f d´efinie par : f (x) =
(O,~i, ~j)
−A−

1 p 2
+ x − 2x + 2. On d´esigne par C sa courbe dans un rep`ere orthonorm´e
4

1. (a) Etudier les variations de f .
(b) Montrer que la droite d’´equation x = 1 est un axe de sym´etrie de C .
3
(c) Montrer que la droite D : x − est une asymptˆote oblique pour `a C au voisinage de +∞. Etudier la position
4
relative de C par rapport `
a D.
(d) Tracer la D et C .
2. Soit g la restriction de f `
a l’intervalle [1, +∞[.
(a) Montrer que g poss`ede une fonction de r´eciproque g −1 d´efinie sur un intervalle J `a pr´eciser.
(b) Construire la courbe de g −1 dans le mˆeme rep`ere.
s
2
1
−1
(c) Montrer que pour tout ∈ J, g (x) = 1 +
− 1.
x−
4
−B−
i π
i π
Pour tout x ∈ 0, ] , on pose u(x) = 1 + cot x et on d´efinie sur 0, ] la fonction h par : h(x) = f ◦ u(x).
2
2
i π
1
1
1. (a) Montrer que pour tout x ∈ 0, ] , h(x) = +
.
2
4 sin x
i π
(b) Etudier les variations de h en d´eduire qu’elle r´ealise une bijection de 0, ] sur un intervalle E `a pr´eciser.
2
(c) Repr´esenter dans un mˆeme autre rep`ere orthonorm´e les courbes Γ et Γ′ respectivement de h et de h−1 . ( On
π
pr´ecisera la demi tangente `
a Γ au point d’abscisse .)
2
(d) Trouver le domaine D de d´erivabilit´e de h−1 et montrer que pour tout x ∈ D

h−1 (x) =

16
(1 − 4x)

p

(1 − 4x)2 − 16

.

i π
iπ π h
2. (a) Montrer que l’´equation h(x) = x admet dans 0, ] une unique solution x0 et que x0 ∈
, .
2
3 2
hπ πi
hπ πi
2
(b) Montrer que pour tout x ∈
; |h′ (x)| ≤ et que h(x) ∈
.
,
,
3 2(
3
3 2
π
u0 = .
(c) Soit la suite u d´efinie sur N par :
3
un+1 = h(un ) pour tout n ∈ N.
hπ πi
,
.
i. Montrer que pour tout n ∈ N, un ∈
3 2
2
ii. Montrer que pour tout n ∈ N, |un+1 − x0 | ≤ |un − x0 |.
3
n
2
et que u converge vers une limite ℓ que l’on pr´ecisera.
iii. En d´eduire que pour tout n ∈ N, |un − x0 | ≤
3

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