Bijection Bac Math (1) Khammour .pdf


Nom original: Bijection Bac Math (1) Khammour.pdf
Auteur: khammour

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Mr :Khammour.K

4éme

Bijection

Exercice n°1 :
Soit f la fonction définie sur I=]1,2[ par f(x)=
A.1)a- Montrer que f est dérivable sur ]1,2[ et calculer f’(x).
b- f est-elle dérivable à gauche en 2 ?
2) Etudier les variations de f et construire sa courbe (Cf) dans un repère
orthonormé (O, , ).
3) Montrer que l’équation f(x)=x admet dans I une solution unique
4)a- Montrer que f réalise une bijection de I sur un intervalle J que l’on
précisera.
b- Soit g(x)=

, construire (Cg).

c- Montrer que pour tout x J, g(x)=1+
B. Soit U la suite réelle définie sur IN par :
1) Montrer que pour tout n de IN
2) Montrer que pour tout x

[1,2]
,

3) Etablir que pour tout n ℕ

, et en déduire que

U converge puis calculer sa limite.

C. Soit h la fonction définie sur [0, ] par :

1) Montrer que , h(x)=
2) Montrer que h réalise une bijection de

sur un intervalle K que l’on

précisera.
3) Calculer

et

4) Etudier la dérivabilité de

sur K et déterminer sa fonction dérivée.

Exercice n°2 :
On considère l’application f définie sur ]0,4[par : f(x)=

,

On désigne par Cf sa courbe dans un repère orthonormé (O, , ).
1)a- Etudier les variations de f.
b- Montrer que f est une bijection de ]0,4[ sur IR.
c- Soit g la bijection réciproque de f. Montrer que pour tout x
2) Montrer que l’équation f(x)=x admet dans ]0,4[ une solution unique
3)a- Déterminer une équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 2.
b- Etudier la position de Cf par rapport à .
c- Tracer Cf, et
la courbe C’ représentant g.

.

4) On considère la suite ( Un ) définie par :
a- Démontrer que pour tout n ℕ ; Un
.
b- Déterminer graphiquement le signe de g(x)-x
c- En déduire le sens de variation de (Un).
d- Montrer que la suite (Un) admet une limite l que l’on précisera.

Exercice n°3 :
Soit f la fonction définie sur

par f(x)=

1)a- Etudier les variations de f.
b- Montrer que f réalise une bijection de

sur lui même.

, calculer fof(x) et en déduire f-1(x).

2)a- Soit x

b- Que peut-on déduire pour la courbe de f ?
3)a- Soit n
unique

ℕ , montrer que l’équation (En) : f(x)=xn admet une solution
et que

]1,2[ .

b- Montrer que f(

et en déduire que (

)est décroissante et qu’elle

converge vers un réel que l’on notera l.
c- Montrer que pour tout p ℕ , on a l
d- Montrer que si l> 1 alors

.
. En déduire que l=1.


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