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ZZZ IVMHV DJDGLU LQIR

Fonctions
Exercice 1
D´eriv´ee d’une fonction compos´ee
Calculer la d´eriv´ee des fonctions f suivantes d´efinies sur R :
f pxq p 2x 1q2
f pxq p3x 1q3
f pxq p x2 2q2
1. En d´eveloppant f pxq.
2. En utilisant le th´eor`eme de la d´eriv´ee des fonctions compos´ees.
Exercice 2
Calculs de d´eriv´ees
Calculer la d´eriv´ee de la fonction f en pr´ecisant son ensemble de d´efinition et celui de sa d´eriv´ee.
f pxq p2x2 x 1q3
f pxq p5x 2q2 px2 3x 1q2
f pxq xpx 1qpx 2qpx 3q
1
f px q 2
x
1
3
f pxq
x x3
4
f pxq 2x3 x
x2

Exercice 3
D´eriv´ees successives
Calculer les d´eriv´ees d’ordre 1 `
a n , n P N , de f sur l’intervalle I en utilisant ´eventuellement un raisonnement
par r´ecurrence.
f pxq x4 6x2
1
f pxq
x 2
f pxq cosp3xq

5

I=R

I = ]2 ; +8[
I=R

Exercice 4
Tangentes
Pour chacune des fonctions suivantes, ´ecrire une ´equation de la tangente au point A d’abscisse a de la
repr´esentation graphique de la fonction f .
f pxq 3x2 5x

pour a = -1, a = 2 et a = 3

f pxq tan x

pour a = -4, a = 1 et a = 2
π
π
pour a = 0, a =
et a =
6
4

f pxq x 1

1
1
x 2

Exercice 5
Asymptotes
Pour chacune des fonctions suivantes, ´ecrire des ´equations des asymptotes parall`eles aux axes.
2x 1
f pxq
x
5x2 2x 1
f pxq
x2 4
3x 1
f pxq
x 2
2x 1
f pxq 2
x 3x 2
x2 x 3
f pxq 2
x
x 1
2x3 3x
f pxq 3
x x2
1

ZZZ IVMHV DJDGLU LQIR
Exercice 6
Limites
Calculer
esultats.
a les limites suivantes en justifiant les r´
2x2 x 3
lim

x

Ñ
8

a

2x2 x 3
Ñ
8
lim ptan xq2
xÑ π
2
?

x

lim

lim cos

x

Ñ0

x

Ñ 8

x

lim x

a

x3 1

Exercice 7
P´eriodicit´e
Trouver la
p´eriode de chacune des fonctions suivantes :
π
f pxq cos x
6
x
f pxq sin
3
x
f pxq sin
cos x
2
f pxq tan p2πxq
Exercice 8
Sym´etries
Un rep`ere orthogonal du plan est donn´e.
Pour chacun des cas suivants, montrer que la droite D est axe de sym´etrie de la repr´esentation graphique de
f.
f pxq x2 2x 5
x2 2x 2
f pxq
2x2 4x 3
f pxq cos4 x 2 cos2 x

D : x 1

D : x 1
π
D : x
2

Exercice 9
Equations trigonom´etriques
Dans chaque ´equation, l’inconnue x est une mesure d’angle en radians.
R´esoudre ces ´equations dans R et repr´esenter leurs solutions par des points du cercle trigonom´etrique.
1
cos x
2 π
2 cos x
1
?6
2
sin x
2 ?

π
2 sin 3x
3
4
cos 2x cos 3x
cos x sin 2x
Exercice 10
In´equations trigonom´etriques
R´esoudre chacune des in´equations suivantes dans l’intervalle r0; 2π r.
La r´esolution sera fond´ee sur l’observation du cercle trigonom´etrique.
1
sin x  
2?
2 cos x ?2   0
3
cos x ¡
2
sin x cos x   0

2

ZZZ IVMHV DJDGLU LQIR

Correction
Exercice 1

f pxq p 2x 1q2 1. Pour tout x r´eel, on a :
f pxq p 2xq2 4x 1
f pxq 4x2 4x 1

f est d´erivable sur R, et pour tout x r´eel, on a : f 1 pxq 8x 4

2. f est la compos´ee de la fonction g d´efinie sur R par g pxq 2x 1 et de la fonction carr´ee h d´efinie sur
R par hpxq x2 .
On a alors pour tout x r´eel : f pxq h g pxq.
Or, f 1 pxq g 1 pxq h1 g pxq.
Pour tout x r´eel, g 1 pxq 2 et h1 pxq 2x
Donc : pour tout x r´eel, f 1 pxq 2 2p 2x 1q 4p 2x 1q 8x 4
f pxq p3x 1q3 1. Pour tout x r´eel, on a : f pxq 27x3 27x2 9x 1
f est d´erivable sur R, et pour tout x r´eel, on a :
f 1 pxq 27 3x2 27 2x 9
f 1 pxq 81x2 54x 9
2. f est la compos´ee de la fonction g d´efinie sur R par g(x ) = 3x - 1 et de la fonction cube h d´efinie sur R
par h(x ) = x 3.
On a alors pour tout x r´eel : f pxq h g pxq.
Or, f 1 pxq g 1 pxq h1 g pxq.
Pour tout x r´eel, g 1 pxq 3 et h1 pxq 3x2
Donc : pour tout x r´eel, f 1 pxq 3 3p3x 1q2 9p3x 1q2
(en d´eveloppant on retrouve l’expression obtenue au (1))
f pxq p x2 2q2 1. Pour tout x r´eel, on a : f pxq x4 4x2 4
f est d´erivable sur R, et pour tout x r´eel, on a :
f 1 pxq 4x3 4 2x
f 1 pxq 4x3 8x
2. f est la compos´ee de la fonction g d´efinie sur R par g(x ) = -x 2 + 2 et de la fonction carr´e h d´efinie R par
h(x ) = x 2.
On a alors pour tout x r´eel : f pxq h g pxq.
Or, f 1 pxq g 1 pxq h1 g pxq.
Pour tout x r´eel, g 1 pxq 2x et h1 pxq 2x
Donc : pour tout x r´eel, f 1 pxq 2x 2p x2 2q 4xpx2 2q
(en d´eveloppant on retrouve l’expression obtenue au (1))

Exercice 2
Remarque : il est pr´ef´erable d’´ecrire l’expression de la d´eriv´ee de f sous forme factoris´ee (il est alors plus
simple d’´etudier son signe par la suite).
f pxq p2x2 x 1q3 f est d´efinie sur R et d´erivable sur R.
Pour tout r´eel x, on a : f 1 pxq 3p4x 1qp2x2 x 1q2 .
f pxq p5x 2q2 px2 3x 1q2 f est d´efinie sur R et d´erivable sur R.
f est le produit de deux fonctions u et v d´efinies sur R par u(x ) = (5x - 2)2 et v(x ) = (x2 + 3x - 1)2.
Or, f ’ = u’v + uv’ avec, pour tout r´eel x, u’(x ) = 10(5x - 2) et v’(x ) = 2(2x + 3)(x 2 + 3x - 1).
Pour tout r´eel x, on a alors :
f ’(x ) = 10(5x - 2)(x 2 + 3x - 1)2 + (5x - 2)2 2(2x +3)(x 2 + 3x - 1)
f ’(x ) = 2(5x - 2)(x 2 + 3x - 1)[5(x 2 + 3x - 1) + (2x + 3)(5x - 2)]
f ’(x ) = 2(5x - 2)(x 2 + 3x - 1)(5x 2 + 15x - 5 + 10x 2 - 4x + 15x - 6)
f ’(x ) = 2(5x - 2)(x 2 + 3x - 1)(15x 2 + 26x - 11)
f pxq xpx 1qpx 2qpx 3qf est d´efinie sur R et d´erivable sur R.
D´eveloppons f : pour tout r´eel x, on a f pxq x4 6x3 11x2 6x.
On a alors pout tout r´eel x, f 1 pxq 4x3 18x2 22x 6.

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f pxq x12 f est d´efinie sur R{0 et d´erivable sur R .
*

f est la compos´ee de la fonction carr´ee et de la fonction inverse. Donc, pour tout r´eel x, on a :
1
f 1 pxq 2x 4
2 x
f 1 pxq 3
x
f pxq x1 x33 f est d´efinie et d´erivable sur R*, et pour tout r´eel x, on a :

1
3 3x2 1
f 1 pxq
x2
x6
1
9
f 1 pxq 2 4
x
x
x2 9
1
f pxq
x4
p
x 3qpx 3q
1
f pxq
x4
(Cette derni`ere expression sera utilis´ee pour ´etudier le sens de variations de la fonction f ).
f pxq 2x3 x x42 f est d´efinie et d´erivable sur * et pour tout r´eel x, on a :
4 2x
f 1 pxq 2 3x2 1
x4
f 1 pxq 6x2 1 x83

Exercice 3

f (x ) = x

4

- 6x 2 + 5f est d´efinie et d´erivable sur R et on a pour tout r´eel x : f ’(x ) = 4x 3 - 12x.
f ’ est d´erivable sur R et pour tout r´eel x, on a : f ”(x ) = 12x 2 - 12.
f ” est d´erivable sur R et pour tout r´eel x, on a : f ”’(x ) = 24x.
f ”’ est d´erivable sur R et pour tout r´eel x, on a : f (4)(x) = 24.
Pour tout n ¥ 5, f(n)(x) = 0.
f pxq x 1 2 I = ]2 ; + [. f est d´erivable sur I et pour tout r´eel x, on a :
1 , d´erivable sur I, et pour tout r´eel x, on a :
f 1 pxq
px 2q2
1 2px 2q .
f 2 pxq
px 2q4
p 1qn n! ”.
Montrons par r´ecurrence que pour tout entier naturel n, on a ”f pnq pxq
px 2qn 1
La proposition est initialis´ee (vraie pour n = 1 et pour , = 2).
p 1qk k! .
Suppsons la proposition vraie au rang k : f pkq pxq
px 2qk 1
(k)
La fonction f est d´erivable sur I, et pour tout r´eel x, on a :
1
1 pk 1q .
f pkq pxq f pk 1q pxq p 1qk k!
px 2qk 2
k 1
p 1q pk 1q! .
Soit f pk 1q pxq
px 2qk 2
La proposition est donc h´er´editaire. On a donc :
p 1qn n! .
pour tout entier naturel n, f pnq pxq
px 2qn 1

f pxq cosp3xq

f est d´erivable sur R, comme compos´ee des fonctions g et h d´efinies sur R par g pxq
Pour tout r´eel x, on a :

f 1 pxq 3 sinp3xq 3 cos 3x π2




π

2
2
f pxq 3 p 3q sin 3x
3 cos 3x 2
2







3
2
3
f pxq 3 p 3q sin 3x
3 cos 3x 2
2


On montrera par r´ecurrence que : f pnq pxq 3n cos 3x
2
4

3x et hpxq cos x.

ZZZ IVMHV DJDGLU LQIR
Exercice 4

Rappel :

La tangente en x a de la fonction f a pour ´equation : y

f (x ) = 3x

f 1 paqpx aq

f paq.

2

- 5x + 1f est d´efinie et d´erivable sur R, et pour tout r´eel x, on a : f ’(x ) = 6x - 5.
Equation de la tangente en a = -1 :
f (-1) = 3 (-1)2 - 5 (-1) + 1 = 9
et
f ’(-1) = 6 (-1) - 5 = -11
Une ´equation de la tangente en a = -1 est y = -11(x + 1) + 9 = -11x - 2
Equation de la tangente en a = 2 :
f (2) = 3 22 - 5 2 + 1 = 3
et
f ’(2) = 6 2 - 5 = 7
Une ´equation de la tangente en a = 2 est y = 7(x - 2) + 3 = 7x - 11
Equation de la tangente en a = 3 :
f (3) = 3 32 - 5 3 + 1 = 13
et
f ’(3) = 6 3 - 5 = 13
Une ´equation de la tangente en a = 3 est y = 13(x - 3) + 13 = 13x - 26
f pxq x 1 x 1 2 f est d´efinie et d´erivable sur R{2, et pour tout r´eel x de R{2, on a : f 1 pxq 1 px 12q2 .
Equation de la tangente en a = -4 :
f (-4) = 4 1 41 2 11
et
f ’(-4) = 1 p 41 2q2 34
2
5
3

Une ´equation de la tangente en a = -4 est y = 34 px 4q 11
4x 2
2
Equation de la tangente en a = 1 :
f (1) = 1 1
et
f ’(1) = 1 p1 12q2 89
Une ´equation de la tangente en a = 1 est y =

13
px 1q
1
1 2

8
9

1
3

89 x 59

Equation de la tangente en a = 2 :
f (2) = 2 1 2 1 2 54
et
f ’(2) = 1 p2 12q2 15
16
5
15
5
Une ´equation de la tangente en a = 2 est y = 15
4 16 x 8
16 px 2q
π
f pxq tanpxq f est d´efinie et d´erivable sur 0; 2 et pour tout r´eel x de cet intervalle, on a : f 1 pxq
1 tan2 pxq
Equation de la tangente en a = 0 :
f p0q = tan 0 = 0
et
f 1 p0q = 1 + tan2 0 = 1
Une ´equation de la tangente en a = 0 est y = 1 (x - 0) + 0 = x
Equation de la tangente en a =
f1


π
6

1

tan

2


π
6

1

π

:

? 6 2
3
3

Une ´equation de la tangente en a =

43
π
6

et

est y =

f
4
3

π
6

x


π
6

tan


en a = π4 :
de la tangente
Equation




π
2 π
1
f π4 tan π4 1
et
f 4 1 tan 4 2
Une ´equation de la tangente en a = π4 est y = 2 x π4

?3
3

π
6







?3
3



1 2x

?

3 3 2π
9

4
3x

2 π
2

Exercice 5

ZZZ IVMHV DJDGLU LQIR

5



Rappel :
La courbe repr´esentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’´equation x
8 .
lim f pxq
x



Ñℓ

La courbe repr´esentative de la fonction f admet une asymptote horizontale d’´equation y
lim f pxq ℓ.

x

ℓ si

ℓ si

8
Ñ

f pxq 2xx 1 Df = R{0
Etudions la limite de la fonction f en 0 :
1
8, donc : xÑlim
f pxq 8
On a : lim p2x 1q 1 et lim
0x¡0
xÑ0x¡0 x
xÑ0
1
f pxq 8
8, donc : xÑlim
On a : lim
0x 0
xÑ0x 0 x

u : la courbe repr´esentative de ma fonction f admet une asymptote verticale d’´equation x = 0.
D’o`

Etudions la limite de la fonction f en l’infini :
q 2 1
xp2
Pour tout x de Df , on a : f pxq 2xx 1
x
x
1
0, donc : xÑlim8 f pxq 2
Or, lim 2 2 et lim
xÑ 8 x
xÑ 8
1
u : la droite d’´equation y = 2 est asymptote
lim f pxq 2D’o`
0, donc : xÑ 8
De mˆeme, lim 2 2 et lim
xÑ 8
xÑ 8 x
1
x

a la courbe repr´esentative de la fonction f en l’infini.
horizontale `
5x2 2x 1
f pxq x2 4 Le d´enominateur s’annule en x = -2 et x = 2, donc : Df = R{-2 ; 2
Etudions la limite de la fonction f en -2 :
lim
f pxq 8
lim px2 4q 0 , donc :
On a : lim p5x2 2x 1q 25 et
xÑ 2x¡ 2
Ñ 2
lim
f pxq
x2 4q 0 , donc
p
xÑ 2x  2
xÑ 2x  2
x

Et :

x

8

lim

Ñ 2x¡ 2

a la courbe repr´esentative de la fonction f en
u : la droite d’´equation x = -2 est asymptote verticale `
D’o`
l’infini.

Etudions la limite de la fonction f en 2 :
On a : lim p5x2 2x 1q 17 et lim px2 4q 0
xÑ2x¡2
xÑ2
Et : lim px2 4q 0 , donc lim f pxq 8.
xÑ 2x 2
xÑ2x 2

, donc :

x

lim

Ñ2x¡2

f pxq

8

a la courbe repr´esentative de la fonction f en l’infini.
u : la droite d’´equation x = 2 est asymptote verticale `
D’o`

Etudions la limite de la fonction f en l’infini :
2x 1
x xp5p 1 q q 5 1
Pour tout x de Df , on a : f pxq 5x x
4






4
1
2
Or, lim 5
5 et xÑlim8 1 x2 1, donc : xÑlim8 f pxq 5
xÑ 8
x x2
2

2

2



2
x

2






2
x

1
x2
4
x2

1
x2
4
2
x




4
1
2
5 et lim 1 2 1, donc : lim f pxq 5

2
xÑ 8
xÑ 8
xÑ 8
x
x x
a la courbe repr´esentative de la fonction f en
u : la droite d’´equation y = 5 est asymptote horizontale `
D’o`
l’infini.
f pxq 3xx 21 Le d´enominateur s’annule en x = -2, donc Df = R{-2
Etudions la limite de la fonction f en -2 :
lim
f pxq 8
lim px 2q 0 , donc :
On a : lim p3x 1q 7 et

De mˆeme, lim

5

xÑ 2x¡ 2
Ñ 2
lim
f pxq
x 2q 0 , donc :
p
xÑ 2x  2
xÑ 2x  2
x

Et,

lim

8

x

Ñ 2x¡ 2

u : la courbe repr´esentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’´equation x = -2.
D’o`

Etudions la limite de la fonction f en l’infini :
xp3 q
31
Pour tout x de Df , on a : f pxq x 1
q
p






2
1
Or, lim 3
3 et xÑlim8 1 x 1, donc : xÑlim8 f pxq 3
xÑ 8
x
1
x
2
x

1
x
2
x

6








ZZZ IVMHV DJDGLU LQIR




2
lim f pxq 3
1, donc : xÑ 8
x
D’o`
u : la droite d’´equation y = 3 est asymptote horizontale `a la courbe repr´esentative de la fonction f en
l’infini.
f pxq x22x 3x 1 2 Le d´enominateur s’annule en x = 1 et x = 2, donc Df = R{1 ; 2
Etudions la limite de la fonction f en 1 :
On a : lim p2x 1q 1 et lim px2 3x 2q 0 , donc : lim f pxq 8

Ñ 8 3 x
1

De mˆeme, lim
x

lim
3 et xÑ 8

1

xÑ1x¡1
Ñ1
p
x2 3x 2q 0 , donc : lim f pxq
xÑ1x 1
xÑ1x 1
x

Et :

lim

x

8

Ñ1x¡1

D’o`
u : la courbe repr´esentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’´equation x = 1.

Etudions la limite de la fonction f en 2 :
On a : lim p2x 1q 3 et lim px2 3x 2q 0 , donc : lim f pxq 8
xÑ2
xÑ2x¡2
xÑ2x¡2
Et : lim px2 3x 2q 0 , donc : lim f pxq 8
xÑ2x 2
xÑ2x 2

D’o`
u : la courbe repr´esentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’´equation x = 2.

Etudions la limite de la fonction f en l’infini :
2
Pour tout x de Df , on a : f pxq x 3






1
2
Or, lim 2
2 et xÑlim8 x 3 x 8, donc : xÑlim8 f pxq 0
xÑ 8
x
1
x

2
x



2









1
2
lim x 3
lim f pxq 0
2 et xÑ 8
8, donc : xÑ 8
xÑ 8
x
x
D’o`
u : la droite d’´equation y = 0 est asymptote horizontale `a la courbe repr´esentative de la fonction f en
l’infini.
f pxq xx22 xx 31 Le d´enominateur ne s’annule jamais, donc Df = R
Etudions la limite de la fonction f en l’infini :
De mˆeme, lim

Pour tout x de Df , on a : f pxq





x1

1

1
x

3
x2
1
x2






1
3
1
1
1 et lim 1

1, donc : xÑlim8 f pxq 1
2
xÑ 8
xÑ 8
x x
x x2




1
3
1
1
1
et
lim
1
lim f pxq 1
De mˆeme, lim 1

1, donc : xÑ 8
xÑ 8
xÑ 8
x x2
x x2
D’o`
u : la droite d’´equation y = 1 est asymptote horizontale `a la courbe repr´esentative de la fonction f en
l’infini.
f pxq 2xx33 x3x2 Le d´enominateur s’annule en x = 0 et x = 1, donc Df = R{0 ; 1
Etudions la limite de la fonction f en2 0 : 2
3q 2x 3
Pour tout x de Df , on a : f pxq xxpp2x
x2 xq x2 x
On a : lim p2x2 3q 3 et lim px2 xq 0 , donc : lim f pxq 8
Or, lim

1

1

Ñ0
xÑ0x¡0
p
x2 xq 0 , donc : lim f pxq 8
xÑ0x 0
xÑ0x 0
x

Et :

lim

x

Ñ0x¡0

D’o`
u : la courbe repr´esentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’´equation x = 0.

Etudions la limite de la fonction f en 1 :
On a : lim p2x3 3xq 1 et lim px3 x2 q 0 , donc : lim f pxq 8
xÑ1x¡1
xÑ1x¡1
xÑ1
Et : lim px3 x2 q 0 , donc : lim f pxq 8
xÑ1x 1
xÑ1x 1

D’o`
u : la courbe repr´esentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’´equation x = 1.

Etudions la limite de la fonction f en l’infini :
2
Pour tout x de Df , on a : f pxq 1






3
1
Or, lim 2 2 2 et lim 1
1, donc : xÑlim8 f pxq 2
xÑ 8
xÑ 8
x
x
3
x2
1
x



2









3
1
lim 1
lim f pxq 2
2 et xÑ 8
1, donc : xÑ 8
xÑ 8
x2
x
D’o`
u : la droite d’´equation y = 2 est asymptote horizontale `a la courbe repr´esentative de la fonction f en
l’infini.
De mˆeme, lim

Exercice 6
7

ZZZ IVMHV DJDGLU LQIR



On a : 2x2 x 3 x2 2 x1 x3 .
1
3

lim 2 0.
Or, lim
xÑ 8 x
xÑ 8 x
Donc lim p2x2 x 3q 8.
xÑ 8
a
?
On sait que lim
X 8, donc : lim
2x2 x
xÑ 8
XÑ 8
2

De mˆeme, xÑ 8
lim

a

2x2 x

3

3

8.

8.

sin pxq
Pour tout r´eel x, on a tan2 p xq cos
pxq .
2 π
2 π
Or, sin 2 1 et cos 2 0, donc lim
x Ñ
?
cos p xq cos 0 1
2

2

π
2

tan2 pxq

8.

?
C’est
ee, il faut donc
factoriser x x3 1 :
betermin´
b
? 3une forme ind´

x x 1 x x2 x x1 x |x| x x1
b
b


?
Or x ¡ 0, donc : x x3 1 x x x x1 x 1 x x1
2

Or, lim
x

1

Ñ 8 x2

0, donc xÑlim8





3
Ñ 8 x x 1

D’o`
u : lim
x

a

2



x

1
x2



2

2

8

8

Exercice 7

Rappel :

La fonction f est T-p´eriodique si pour tout x de son ensemble de d´efinition, on a : f pT



f pxq cos x π6 La fonction cosinus est 2π-p´eriodique, donc f
f pxq sinp x3 qLa fonction sinus est 2π-p´ eriodique, donc sin pX
Donc : sin x3 2π sin x 36π sin x3 .

xq f pxq

´egalement.
2π q sin X.

u : f est 6π-p´
D’o`
eriodique.
eriodique, donc cos px 2π q cospx 4π q cos x.
f pxq sin x2 cos xLa fonction cosinus est 2π-p´

La fonction sinus est 2π-p´eriodique, donc sin x2 est 4π-p´eriodique.
u : f est 4π-p´eriodique.
D’o`
f pxq tanp2πxqla fonction tangente est π-p´eriodique.
sin x
xq sin x ; cos pπ xq cos x, donc tan pπ xq tan x .
En effet : tan x cos
x et sin pπ
Donc :
tanp2πx π q
tanp2πxq
tan 2π x 12 tanp2πxq
On en conclut que f est p´eriodique de p´eriode 12 .

Exercice 8

Rappel :

La droite d’´equation x a est un axe de sym´etrie de la courbe repr´esentative de f si :
pour tout x a h de Df , a h est dans Df
et f pa hq f pa hq.

f (x ) = x

2

- 2x + 5Pour tout r´eel x, on a :
8

ZZZ IVMHV DJDGLU LQIR
f (1 - x ) = (1 - x )2 - 2(1 - x ) + 5 = x 2 + 4
et f (1 + x ) = (1 + x )2 - 2(1 + x ) + 5 = x 2 + 4
Comme f (1 + x ) = f (1 - x ), alors la droite d’´equation x = 1 est un axe de sym´etrie de la repr´esentation
graphique de la fonction f.
f pxq 2xx22 2x4x 23 Pour tout r´eel x, on a :

p 1 xq2 2p 1 xq 2 x2 3
p 1 xq22 4p 1 xq 3 2x2 1
2
x2 3
et f p 1 xq 2ppxx 11qq2 24ppxx 11q
q 3 2x2 1

f p 1 xq

2

Comme f (-1 + x ) = f(-1 - x ), alors la droite d’´equation x = -1 est un axe de sym´etrie de la repr´esentation
graphique de f.
f (x ) = cos4(x ) - 2cos2(x
eel x, on a :
)Pour tout r´
f π2 x cos4 π2 x 2 cos2 π2 x


Or, cos π2 x sinpxq, donc : f π2 x sin4 x 2 sin2 x





Et : f π2 x cos4 π2 x 2 cos2 π2 x Or, cos π2 x sinpxq, donc f π2 x sin4 x 2 sin2 x
Comme f π2 x
graphique de f.



f

π
2



x , alors la droite d’´equation x

π
2

est un axe de sym´etrie de la repr´esentation

Exercice 9

Rappel :

cos a = cos b ðñ a = b + 2k ou a = -b + 2k
- b + 2k
sin a = sin b ðñ a = b + 2k ou a =



cos x 12 Comme 12 cos π3 , alors l’´equation ´equivaut `a : cos x cos
ukPZ
2kπ u o`
u : S t π3 2kπ; 5π
D’o`
3



2 cos x π6 1cospx π6 q 12
ðñ x π6 π3 2kπ ou x π6 π3 2kπk P Z
ðñ x π6 2kπ ou x 2π 2kπk P Z
u k P Z.
2kπ u o`
u : S t π6 2kπ; 3π
D’o`
2

9

π
3



.

ZZZ IVMHV DJDGLU LQIR

?

?

sin x 2 2 Comme sinp 4π q 2 2 , alors :
sin x sinp 4π q ðñ x π4 2kπ ou x π 4π
ðñ x 7π4 2kπ ou x 5π4 2kπ o`u k P Z
D’o`
u : S t 5π
2kπ; 7π
2kπ u o`
u k P Z.
4
4

?
?
2 sinp3x π4 q 3sinp3x π4 q 23 sinp π3 q
ðñ 3x π4 π3 2kπ ou 3x π4 π π3
2kπ
ou x 5π
ukPZ
ðñ x 36π 2kπ
3
36
3 o`
π
2kπ
2kπ

ukPZ
D’o`
u : S t 36
3 ; p 36
3 u o`

2kπ o`
uk

2kπ o`
uk

cos(2x ) = cos(3x )cosp2xq cosp3xq ðñ 2x 3x
ðñ x 2kπ ou x 2kπ
ukPZ
5 o`
u
o`
u
k
P
Z
D’o`
u : S t 2kπ
5

cospxq sinp2xq sinp2xq 2 sinpxq cospxq, ainsi :
cospxq sinp2xq ðñ cospxqr2 sinpxq 1s 0
ðñ cospxq 0 ou sinpxq 12
ukPZ
cospxq 0 ðñ x π2 kπ o`
sinpxq 12 ðñ x π6 2kπ ou x 5π
2kπ o`
uk
6
2kπ,
k
P
Z
u
.
D’o`
u : S t π2 kπ; π6 2kπ; 5π
6

2kπ

PZ

PZ

ou

2x 3x

PZ

1 0

2kπ o`
uk

PZ

ZZZ IVMHV DJDGLU LQIR

Exercice 10

sin x   12 On trace la droite d’´equation y = 1/2 et le cercle trigonom´etrique.

les abscisses des points A et B sont les solutions sur r0; 2π s de l’´equation sin x 12 .
Les solutions de l’in´equation sin x   12 sont les abscisses des points situ´es sur le demi-arc inf´erieur d’extr´emit´es
A et B.


D’o`
u : S 0; π6 Y 5π
6 ; 2π r .

2 cos x

?

?

2   0Cette in´equation est ´equivalente `a cos x   22 .
?
Tra¸cons la droite d’´equation x 22 et notons A et B les points d’intersection de cette droite avec le cercle
trigonom´etrique.





D’o`
u : S π4 ; 7π
? 4
?
cos x ¡ 2 3 Mˆeme d´emarche : tra¸cons la droite d’´equation x 23 .

ZZZ IVMHV DJDGLU LQIR
1 1

D’o`
u:S

r0, 5π6 s Y r 7π6 ; 2πr

sinpxq cospxq   01`ere m´ethode : Rappel : sin(2x ) = 2sin(x ) cos(x ).
L’in´equation est donc ´equivalente `
a : sin(2x )   0.
Il faut dans un premier temps r´esoudre sin X   0 : S∞ rk; 2kπ r, o`
u kP Z.
a x P r kπ
kπ; kπ r o`
u k P Z.
Alors 2x P rkπ; 2kπ r, ce qui ´equivaut `
2
Les solutions dans [0 ; 2π[ de cette in´equation sont donc : S r π2 ; π rYr 3π
2 ; 2π r.

2`eme m´ethode : pour que le produit sin(x ) cos(x ) soit n´egatif il faut que sin(x ) et cos(x ) soit de signe diff´erent,
il y a donc deux quarts de cercle et on retrouve le mˆeme ensemble de solutions.

12


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