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ZZZIVMHVDJDGLULQIR

Fonctions
Exercice 1
D´eriv´ee d’une fonction compos´ee
Calculer la d´eriv´ee des fonctions f suivantes d´efinies sur R :
f pxq  p 2x 1q2
f pxq  p3x  1q3
f pxq  px2 2q2
1. En d´eveloppant f pxq.
2. En utilisant le th´eor`eme de la d´eriv´ee des fonctions compos´ees.
Exercice 2
Calculs de d´eriv´ees
Calculer la d´eriv´ee de la fonction f en pr´ecisant son ensemble de d´efinition et celui de sa d´eriv´ee.
f pxq  p2x2  x 1q3
f pxq  p5x  2q2 px2 3x  1q2
f pxq  xpx 1qpx 2qpx 3q
1
f px q  2
x
1
3
f pxq  
x x3
4
f pxq  2x3 x
x2

Exercice 3
D´eriv´ees successives
Calculer les d´eriv´ees d’ordre 1 `
a n , n P N , de f sur l’intervalle I en utilisant ´eventuellement un raisonnement
par r´ecurrence.
f pxq  x4  6x2
1
f pxq 
x2
f pxq  cosp3xq

5

I=R

I = ]2 ; +8[
I=R

Exercice 4
Tangentes
Pour chacune des fonctions suivantes, ´ecrire une ´equation de la tangente au point A d’abscisse a de la
repr´esentation graphique de la fonction f .
f pxq  3x2  5x

pour a = -1, a = 2 et a = 3

f pxq  tan x

pour a = -4, a = 1 et a = 2
π
π
pour a = 0, a =
et a =
6
4

f pxq  x  1

1
1
x 2

Exercice 5
Asymptotes
Pour chacune des fonctions suivantes, ´ecrire des ´equations des asymptotes parall`eles aux axes.
2x 1
f pxq 
x
5x2  2x 1
f pxq 
x2  4
3x  1
f pxq 
x 2
2x  1
f pxq  2
x  3x 2
x2  x 3
f pxq  2
x
x 1
2x3  3x
f pxq  3
x  x2
1

ZZZIVMHVDJDGLULQIR
Exercice 6
Limites
Calculer
esultats.
a les limites suivantes en justifiant les r´
2x2  x 3
lim

x

Ñ
8

a

2x2  x 3
Ñ
8
lim ptan xq2
xÑ π
2
?

x

lim

lim cos

x

Ñ0

x

Ñ 8

x

lim x 

a

x3  1

Exercice 7
P´eriodicit´e
Trouver la 
p´eriode de chacune des fonctions suivantes :
π
f pxq  cos x
6
x
f pxq  sin
3
x
f pxq  sin
cos x
2
f pxq  tan p2πxq
Exercice 8
Sym´etries
Un rep`ere orthogonal du plan est donn´e.
Pour chacun des cas suivants, montrer que la droite D est axe de sym´etrie de la repr´esentation graphique de
f.
f pxq  x2  2x 5
x2 2x  2
f pxq 
2x2 4x 3
f pxq  cos4 x  2 cos2 x

D : x1

D : x  1
π
D : x
2

Exercice 9
Equations trigonom´etriques
Dans chaque ´equation, l’inconnue x est une mesure d’angle en radians.
R´esoudre ces ´equations dans R et repr´esenter leurs solutions par des points du cercle trigonom´etrique.
1
cos x 
 2 π
2 cos x
1
?6
2
sin x  
2 ?

π
2 sin 3x
 3
4
cos 2x  cos 3x
cos x  sin 2x
Exercice 10
In´equations trigonom´etriques
R´esoudre chacune des in´equations suivantes dans l’intervalle r0; 2π r.
La r´esolution sera fond´ee sur l’observation du cercle trigonom´etrique.
1
sin x  
2?
2 cos x  ?2   0
3
cos x ¡ 
2
sin x cos x   0

2

ZZZIVMHVDJDGLULQIR

Correction
Exercice 1

f pxq  p2x 1q2 1. Pour tout x r´eel, on a :
f pxq  p2xq2  4x 1
f pxq  4x2  4x 1

f est d´erivable sur R, et pour tout x r´eel, on a : f 1 pxq  8x  4

2. f est la compos´ee de la fonction g d´efinie sur R par g pxq  2x 1 et de la fonction carr´ee h d´efinie sur
R par hpxq  x2 .
On a alors pour tout x r´eel : f pxq  h  g pxq.
Or, f 1 pxq  g 1 pxq  h1  g pxq.
Pour tout x r´eel, g 1 pxq  2 et h1 pxq  2x
Donc : pour tout x r´eel, f 1 pxq  2  2p2x 1q  4p2x 1q  8x  4
f pxq  p3x  1q3 1. Pour tout x r´eel, on a : f pxq  27x3  27x2 9x  1
f est d´erivable sur R, et pour tout x r´eel, on a :
f 1 pxq  27  3x2  27  2x 9
f 1 pxq  81x2  54x 9
2. f est la compos´ee de la fonction g d´efinie sur R par g(x ) = 3x - 1 et de la fonction cube h d´efinie sur R
par h(x ) = x 3.
On a alors pour tout x r´eel : f pxq  h  g pxq.
Or, f 1 pxq  g 1 pxq  h1  g pxq.
Pour tout x r´eel, g 1 pxq  3 et h1 pxq  3x2
Donc : pour tout x r´eel, f 1 pxq  3  3p3x  1q2  9p3x  1q2
(en d´eveloppant on retrouve l’expression obtenue au (1))
f pxq  px2 2q2 1. Pour tout x r´eel, on a : f pxq  x4  4x2 4
f est d´erivable sur R, et pour tout x r´eel, on a :
f 1 pxq  4x3  4  2x
f 1 pxq  4x3  8x
2. f est la compos´ee de la fonction g d´efinie sur R par g(x ) = -x 2 + 2 et de la fonction carr´e h d´efinie R par
h(x ) = x 2.
On a alors pour tout x r´eel : f pxq  h  g pxq.
Or, f 1 pxq  g 1 pxq  h1  g pxq.
Pour tout x r´eel, g 1 pxq  2x et h1 pxq  2x
Donc : pour tout x r´eel, f 1 pxq  2x  2px2 2q  4xpx2  2q
(en d´eveloppant on retrouve l’expression obtenue au (1))

Exercice 2
Remarque : il est pr´ef´erable d’´ecrire l’expression de la d´eriv´ee de f sous forme factoris´ee (il est alors plus
simple d’´etudier son signe par la suite).
f pxq  p2x2  x 1q3 f est d´efinie sur R et d´erivable sur R.
Pour tout r´eel x, on a : f 1 pxq  3p4x  1qp2x2  x 1q2 .
f pxq  p5x  2q2 px2 3x  1q2 f est d´efinie sur R et d´erivable sur R.
f est le produit de deux fonctions u et v d´efinies sur R par u(x ) = (5x - 2)2 et v(x ) = (x2 + 3x - 1)2.
Or, f ’ = u’v + uv’ avec, pour tout r´eel x, u’(x ) = 10(5x - 2) et v’(x ) = 2(2x + 3)(x 2 + 3x - 1).
Pour tout r´eel x, on a alors :
f ’(x ) = 10(5x - 2)(x 2 + 3x - 1)2 + (5x - 2)2  2(2x +3)(x 2 + 3x - 1)
f ’(x ) = 2(5x - 2)(x 2 + 3x - 1)[5(x 2 + 3x - 1) + (2x + 3)(5x - 2)]
f ’(x ) = 2(5x - 2)(x 2 + 3x - 1)(5x 2 + 15x - 5 + 10x 2 - 4x + 15x - 6)
f ’(x ) = 2(5x - 2)(x 2 + 3x - 1)(15x 2 + 26x - 11)
f pxq  xpx 1qpx 2qpx 3qf est d´efinie sur R et d´erivable sur R.
D´eveloppons f : pour tout r´eel x, on a f pxq  x4 6x3 11x2 6x.
On a alors pout tout r´eel x, f 1 pxq  4x3 18x2 22x 6.

ZZZIVMHVDJDGLULQIR

f pxq  x12 f est d´efinie sur R{0 et d´erivable sur R .
*

f est la compos´ee de la fonction carr´ee et de la fonction inverse. Donc, pour tout r´eel x, on a :
1
f 1 pxq  2x  4
2 x
f 1 pxq  3
x
f pxq   x1 x33 f est d´efinie et d´erivable sur R*, et pour tout r´eel x, on a :

1
3  3x2  1
f 1 pxq  
x2
x6
1
9
f 1 pxq  2  4
x
x
x2  9
1
f pxq 
x4
p
x  3qpx 3q
1
f pxq 
x4
(Cette derni`ere expression sera utilis´ee pour ´etudier le sens de variations de la fonction f ).
f pxq  2x3 x x42 f est d´efinie et d´erivable sur * et pour tout r´eel x, on a :
4  2x
f 1 pxq  2  3x2 1
x4
f 1 pxq  6x2 1  x83

Exercice 3

f (x ) = x

4

- 6x 2 + 5f est d´efinie et d´erivable sur R et on a pour tout r´eel x : f ’(x ) = 4x 3 - 12x.
f ’ est d´erivable sur R et pour tout r´eel x, on a : f ”(x ) = 12x 2 - 12.
f ” est d´erivable sur R et pour tout r´eel x, on a : f ”’(x ) = 24x.
f ”’ est d´erivable sur R et pour tout r´eel x, on a : f (4)(x) = 24.
Pour tout n ¥ 5, f(n)(x) = 0.
f pxq  x 1 2 I = ]2 ; + [. f est d´erivable sur I et pour tout r´eel x, on a :
1 , d´erivable sur I, et pour tout r´eel x, on a :
f 1 pxq 
px  2q2
1  2px  2q .
f 2 pxq 
px  2q4
p1qn  n! ”.
Montrons par r´ecurrence que pour tout entier naturel n, on a ”f pnq pxq 
px  2qn 1
La proposition est initialis´ee (vraie pour n = 1 et pour , = 2).
p1qk  k! .
Suppsons la proposition vraie au rang k : f pkq pxq 
px  2qk 1
(k)
La fonction f est d´erivable sur I, et pour tout r´eel x, on a :
1
1  pk 1q .
f pkq pxq  f pk 1q pxq  p1qk  k! 
px  2qk 2
k 1
p1q  pk 1q! .
Soit f pk 1q pxq 
px  2qk 2
La proposition est donc h´er´editaire. On a donc :
p1qn  n! .
pour tout entier naturel n, f pnq pxq 
px  2qn 1

f pxq  cosp3xq

f est d´erivable sur R, comme compos´ee des fonctions g et h d´efinies sur R par g pxq
Pour tout r´eel x, on a :

f 1 pxq  3 sinp3xq  3 cos 3x π2




π

2
2
f pxq  3  p3q sin 3x
 3 cos 3x 2
2







3
2
3
f pxq  3  p3q sin 3x
 3 cos 3x 2
2


On montrera par r´ecurrence que : f pnq pxq  3n cos 3x
2
4

 3x et hpxq  cos x.

ZZZIVMHVDJDGLULQIR
Exercice 4

Rappel :

La tangente en x  a de la fonction f a pour ´equation : y

f (x ) = 3x

 f 1 paqpx  aq

f paq.

2

- 5x + 1f est d´efinie et d´erivable sur R, et pour tout r´eel x, on a : f ’(x ) = 6x - 5.
Equation de la tangente en a = -1 :
f (-1) = 3  (-1)2 - 5  (-1) + 1 = 9
et
f ’(-1) = 6  (-1) - 5 = -11
Une ´equation de la tangente en a = -1 est y = -11(x + 1) + 9 = -11x - 2
Equation de la tangente en a = 2 :
f (2) = 3  22 - 5  2 + 1 = 3
et
f ’(2) = 6  2 - 5 = 7
Une ´equation de la tangente en a = 2 est y = 7(x - 2) + 3 = 7x - 11
Equation de la tangente en a = 3 :
f (3) = 3  32 - 5  3 + 1 = 13
et
f ’(3) = 6  3 - 5 = 13
Une ´equation de la tangente en a = 3 est y = 13(x - 3) + 13 = 13x - 26
f pxq  x  1 x 1 2 f est d´efinie et d´erivable sur R{2, et pour tout r´eel x de R{2, on a : f 1 pxq  1  px 12q2 .
Equation de la tangente en a = -4 :
f (-4) = 4  1 41 2   11
et
f ’(-4) = 1  p41 2q2  34
2
5
3

Une ´equation de la tangente en a = -4 est y = 34 px 4q  11
4x  2
2
Equation de la tangente en a = 1 :
f (1) = 1  1
et
f ’(1) = 1  p1 12q2  89
Une ´equation de la tangente en a = 1 est y =

 13
px  1q
1
1 2

8
9

1
3

 89 x  59

Equation de la tangente en a = 2 :
f (2) = 2  1 2 1 2  54
et
f ’(2) = 1  p2 12q2  15
16
5
15
5
Une ´equation de la tangente en a = 2 est y = 15
4  16 x  8
16px  2q
π
f pxq  tanpxq f est d´efinie et d´erivable sur 0; 2 et pour tout r´eel x de cet intervalle, on a : f 1 pxq
1 tan2 pxq
Equation de la tangente en a = 0 :
f p0q = tan 0 = 0
et
f 1 p0q = 1 + tan2 0 = 1
Une ´equation de la tangente en a = 0 est y = 1  (x - 0) + 0 = x
Equation de la tangente en a =
f1


π
6

1

tan

2


π
6

1

π

:

 ? 6 2
3
3

Une ´equation de la tangente en a =

 43
π
6

et

est y =

f
4
3

π
6

x


π
6

 tan


en a = π4 :
de la tangente
Equation




π
2 π
1
f π4  tan π4  1
et
f 4  1 tan 4  2
Une ´equation de la tangente en a = π4 est y = 2 x  π4

?3
3

π
6







?3
3



1  2x

?

3 3 2π
9

4
3x

2 π
2

Exercice 5

ZZZIVMHVDJDGLULQIR

5



Rappel :
La courbe repr´esentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’´equation x
8 .
lim f pxq  
x



Ñℓ

La courbe repr´esentative de la fonction f admet une asymptote horizontale d’´equation y
lim f pxq  ℓ.

x

ℓ si

 ℓ si

8
Ñ

f pxq  2xx 1 Df = R{0
Etudions la limite de la fonction f en 0 :
1
 8, donc : xÑlim
f pxq  8
On a : lim p2x 1q  1 et lim
0x¡0
xÑ0x¡0 x
xÑ0
1
f pxq  8
 8, donc : xÑlim
On a : lim
0x 0
xÑ0x 0 x

u : la courbe repr´esentative de ma fonction f admet une asymptote verticale d’´equation x = 0.
D’o`

Etudions la limite de la fonction f en l’infini :
q 2 1
xp2
Pour tout x de Df , on a : f pxq  2xx 1 
x
x
1
 0, donc : xÑlim8 f pxq  2
Or, lim 2  2 et lim
xÑ 8 x
xÑ 8
1
u : la droite d’´equation y = 2 est asymptote
lim f pxq  2D’o`
 0, donc : xÑ8
De mˆeme, lim 2  2 et lim
xÑ8
xÑ8 x
1
x

a la courbe repr´esentative de la fonction f en l’infini.
horizontale `
5x2 2x 1
f pxq  x2 4 Le d´enominateur s’annule en x = -2 et x = 2, donc : Df = R{-2 ; 2
Etudions la limite de la fonction f en -2 :
lim
f pxq  8
lim px2  4q  0 , donc :
On a : lim p5x2  2x 1q  25 et
xÑ2x¡2
Ñ2
lim
f pxq 
x2  4q  0 , donc
p
xÑ2x 2
xÑ2x 2
x

Et :

x

8

lim

Ñ2x¡2

a la courbe repr´esentative de la fonction f en
u : la droite d’´equation x = -2 est asymptote verticale `
D’o`
l’infini.

Etudions la limite de la fonction f en 2 :
On a : lim p5x2  2x 1q  17 et lim px2  4q  0
xÑ2x¡2
xÑ2
Et : lim px2  4q  0 , donc lim f pxq  8.
xÑ2x 2
xÑ2x 2

, donc :

x

lim

Ñ2x¡2

f pxq 

8

a la courbe repr´esentative de la fonction f en l’infini.
u : la droite d’´equation x = 2 est asymptote verticale `
D’o`

Etudions la limite de la fonction f en l’infini :
2x 1
 x xp5p1 q q  51
Pour tout x de Df , on a : f pxq  5x x
4






4
1
2
Or, lim 5 
 5 et xÑlim8 1  x2  1, donc : xÑlim8 f pxq  5
xÑ 8
x x2
2

2

2



2
x

2






2
x

1
x2
4
x2

1
x2
4
2
x




4
1
2
5 et lim 1  2  1, donc : lim f pxq  5

2
xÑ8
xÑ8
xÑ8
x
x x
a la courbe repr´esentative de la fonction f en
u : la droite d’´equation y = 5 est asymptote horizontale `
D’o`
l’infini.
f pxq  3xx 21 Le d´enominateur s’annule en x = -2, donc Df = R{-2
Etudions la limite de la fonction f en -2 :
lim
f pxq  8
lim px 2q  0 , donc :
On a : lim p3x  1q  7 et

De mˆeme, lim

5

xÑ2x¡2
Ñ2
lim
f pxq 
x 2q  0 , donc :
p
xÑ2x 2
xÑ2x 2
x

Et,

lim

8

x

Ñ2x¡2

u : la courbe repr´esentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’´equation x = -2.
D’o`

Etudions la limite de la fonction f en l’infini :
xp3 q
 31
Pour tout x de Df , on a : f pxq  x 1
q
p






2
1
Or, lim 3 
 3 et xÑlim8 1 x  1, donc : xÑlim8 f pxq  3
xÑ 8
x
1
x
2
x

1
x
2
x

6








ZZZIVMHVDJDGLULQIR




2
lim f pxq  3
 1, donc : xÑ8
x
D’o`
u : la droite d’´equation y = 3 est asymptote horizontale `a la courbe repr´esentative de la fonction f en
l’infini.
f pxq  x22x3x1 2 Le d´enominateur s’annule en x = 1 et x = 2, donc Df = R{1 ; 2
Etudions la limite de la fonction f en 1 :
On a : lim p2x  1q  1 et lim px2  3x 2q  0 , donc : lim f pxq  8

Ñ8 3  x
1

De mˆeme, lim
x

lim
 3 et xÑ8

1

xÑ1x¡1
Ñ1
p
x2  3x 2q  0 , donc : lim f pxq 
xÑ1x 1
xÑ1x 1
x

Et :

lim

x

8

Ñ1x¡1

D’o`
u : la courbe repr´esentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’´equation x = 1.

Etudions la limite de la fonction f en 2 :
On a : lim p2x  1q  3 et lim px2  3x 2q  0 , donc : lim f pxq  8
xÑ2
xÑ2x¡2
xÑ2x¡2
Et : lim px2  3x 2q  0 , donc : lim f pxq  8
xÑ2x 2
xÑ2x 2

D’o`
u : la courbe repr´esentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’´equation x = 2.

Etudions la limite de la fonction f en l’infini :
2
Pour tout x de Df , on a : f pxq  x3






1
2
Or, lim 2 
 2 et xÑlim8 x  3 x  8, donc : xÑlim8 f pxq  0
xÑ 8
x
1
x

2
x



2









1
2
lim x  3
lim f pxq  0
 2 et xÑ8
 8, donc : xÑ8
xÑ8
x
x
D’o`
u : la droite d’´equation y = 0 est asymptote horizontale `a la courbe repr´esentative de la fonction f en
l’infini.
f pxq  xx22 xx 31 Le d´enominateur ne s’annule jamais, donc Df = R
Etudions la limite de la fonction f en l’infini :
De mˆeme, lim

Pour tout x de Df , on a : f pxq 





 x1

1

1
x

3
x2
1
x2






1
3
1
1
1 et lim 1

 1, donc : xÑlim8 f pxq  1
2
xÑ 8
xÑ 8
x x
x x2




1
3
1
1
1
et
lim
1
lim f pxq  1
De mˆeme, lim 1 

 1, donc : xÑ8
xÑ8
xÑ8
x x2
x x2
D’o`
u : la droite d’´equation y = 1 est asymptote horizontale `a la courbe repr´esentative de la fonction f en
l’infini.
f pxq  2xx33x3x2 Le d´enominateur s’annule en x = 0 et x = 1, donc Df = R{0 ; 1
Etudions la limite de la fonction f en2 0 : 2
3q 2x 3
Pour tout x de Df , on a : f pxq  xxpp2x
x2 xq  x2 x
On a : lim p2x2  3q  3 et lim px2  xq  0 , donc : lim f pxq  8
Or, lim

1

1

Ñ0
xÑ0x¡0
p
x2  xq  0 , donc : lim f pxq  8
xÑ0x 0
xÑ0x 0
x

Et :

lim

x

Ñ0x¡0

D’o`
u : la courbe repr´esentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’´equation x = 0.

Etudions la limite de la fonction f en 1 :
On a : lim p2x3  3xq  1 et lim px3  x2 q  0 , donc : lim f pxq  8
xÑ1x¡1
xÑ1x¡1
xÑ1
Et : lim px3  x2 q  0 , donc : lim f pxq  8
xÑ1x 1
xÑ1x 1

D’o`
u : la courbe repr´esentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’´equation x = 1.

Etudions la limite de la fonction f en l’infini :
2
Pour tout x de Df , on a : f pxq  1






3
1
Or, lim 2  2  2 et lim 1 
 1, donc : xÑlim8 f pxq  2
xÑ 8
xÑ 8
x
x
3
x2
1
x



2









3
1
lim 1 
lim f pxq  2
 2 et xÑ8
 1, donc : xÑ8
xÑ8
x2
x
D’o`
u : la droite d’´equation y = 2 est asymptote horizontale `a la courbe repr´esentative de la fonction f en
l’infini.
De mˆeme, lim

Exercice 6
7

ZZZIVMHVDJDGLULQIR



On a : 2x2  x 3  x2 2  x1 x3 .
1
3

lim 2  0.
Or, lim
xÑ 8 x
xÑ 8 x
Donc lim p2x2  x 3q  8.
xÑ 8
a
?
On sait que lim
X  8, donc : lim
2x2  x
xÑ 8
XÑ 8
2

De mˆeme, xÑ8
lim

a

2x2  x

3

3

8.

8.

sin pxq
Pour tout r´eel x, on a tan2 pxq  cos
pxq .
2 π
2 π
Or, sin 2  1 et cos 2  0, donc lim
x Ñ
?
cos p xq  cos 0  1
2

2

π
2

tan2 pxq 

8.

?
C’est
ee, il faut donc
factoriser x  x3  1 :
betermin´
b
? 3une forme ind´

x  x  1  x  x2 x  x1  x  |x| x  x1
b
b


?
Or x ¡ 0, donc : x  x3  1  x  x x  x1  x 1  x  x1
2

Or, lim
x

1

Ñ 8 x2

 0, donc xÑlim8





3
Ñ 8 x x 1

D’o`
u : lim
x

a

2



x

1
x2



2

2

 8

 8

Exercice 7

Rappel :

La fonction f est T-p´eriodique si pour tout x de son ensemble de d´efinition, on a : f pT



f pxq  cos x π6 La fonction cosinus est 2π-p´eriodique, donc f
f pxq  sinp x3 qLafonction sinus est 2π-p´eriodique, donc sin pX
Donc : sin x3 2π  sin x 36π  sin x3 .

xq  f pxq

´egalement.
2π q  sin X.

u : f est 6π-p´
D’o`
 eriodique.
eriodique, donc cos px 2π q  cospx 4π q  cos x.
f pxq  sin x2 cos xLa fonction cosinus est 2π-p´

La fonction sinus est 2π-p´eriodique, donc sin x2 est 4π-p´eriodique.
u : f est 4π-p´eriodique.
D’o`
f pxq  tanp2πxqla fonction tangente est π-p´eriodique.
sin x
xq   sin x ; cos pπ xq   cos x, donc tan pπ xq  tan x .
En effet : tan x  cos
x et sin pπ
Donc :
tanp2πx π q 
tanp2πxq
tan 2π x 12  tanp2πxq
On en conclut que f est p´eriodique de p´eriode 12 .

Exercice 8

Rappel :

La droite d’´equation x  a est un axe de sym´etrie de la courbe repr´esentative de f si :
pour tout x  a h de Df , a  h est dans Df
et f pa hq  f pa  hq.

f (x ) = x

2

- 2x + 5Pour tout r´eel x, on a :
8

ZZZIVMHVDJDGLULQIR
f (1 - x ) = (1 - x )2 - 2(1 - x ) + 5 = x 2 + 4
et f (1 + x ) = (1 + x )2 - 2(1 + x ) + 5 = x 2 + 4
Comme f (1 + x ) = f (1 - x ), alors la droite d’´equation x = 1 est un axe de sym´etrie de la repr´esentation
graphique de la fonction f.
f pxq  2xx22 2x4x23 Pour tout r´eel x, on a :

p1xq2 2p1xq2  x2 3
p1xq22 4p1xq 3 2x2 1
2
x2 3
et f p1 xq  2ppxx11qq2 24ppxx11q
q 3  2x2 1

f p1  xq 

2

Comme f (-1 + x ) = f(-1 - x ), alors la droite d’´equation x = -1 est un axe de sym´etrie de la repr´esentation
graphique de f.
f (x ) =cos4(x ) - 2cos2(x
eel x, on a :
 )Pour tout r´
f π2  x  cos4 π2  x  2 cos2 π2  x


Or, cos π2  x  sinpxq, donc : f π2  x  sin4 x  2 sin2 x





Et : f π2 x  cos4 π2 x  2 cos2 π2 x Or, cos π2 x   sinpxq, donc f π2 x  sin4 x  2 sin2 x
Comme f π2  x
graphique de f.



f

π
2



x , alors la droite d’´equation x 

π
2

est un axe de sym´etrie de la repr´esentation

Exercice 9

Rappel :

cos a = cos b ðñ a = b + 2k ou a = -b + 2k
- b + 2k
sin a = sin b ðñ a = b + 2k ou a =



cos x  12 Comme 12  cos π3 , alors l’´equation ´equivaut `a : cos x  cos
ukPZ
2kπ u o`
u : S  t π3 2kπ; 5π
D’o`
3



2 cos x π6  1cospx π6 q  12
ðñ x π6  π3 2kπ ou x π6   π3 2kπk P Z
ðñ x  π6 2kπ ou x  2π 2kπk P Z
u k P Z.
2kπ u o`
u : S  t π6 2kπ; 3π
D’o`
2

9

π
3



.

ZZZIVMHVDJDGLULQIR

?

?

sin x  2 2 Comme sinp 4π q  2 2 , alors :
sin x  sinp 4π q ðñ x   π4 2kπ ou x  π  4π
ðñ x  7π4 2kπ ou x  5π4 2kπ o`u k P Z
D’o`
u : S  t 5π
2kπ; 7π
2kπ u o`
u k P Z.
4
4

?
?
2 sinp3x π4 q  3sinp3x π4 q  23  sinp π3 q
ðñ 3x π4  π3 2kπ ou 3x π4  π  π3
2kπ
ou x  5π
ukPZ
ðñ x  36π 2kπ
3
36
3 o`
π
2kπ
2kπ

ukPZ
D’o`
u : S  t 36
3 ; p 36
3 u o`

2kπ o`
uk

2kπ o`
uk

cos(2x ) = cos(3x )cosp2xq  cosp3xq ðñ 2x  3x
ðñ x  2kπ ou x  2kπ
ukPZ
5 o`
u
o`
u
k
P
Z
D’o`
u : S  t 2kπ
5

cospxq  sinp2xq sinp2xq  2 sinpxq cospxq, ainsi :
cospxq  sinp2xq ðñ cospxqr2 sinpxq  1s  0
ðñ cospxq  0 ou sinpxq  12
ukPZ
cospxq  0 ðñ x  π2 kπ o`
sinpxq  12 ðñ x  π6 2kπ ou x  5π
2kπ o`
uk
6
2kπ,
k
P
Z
u
.
D’o`
u : S  t π2 kπ; π6 2kπ; 5π
6

2kπ

PZ

PZ

ou

2x  3x

PZ

1 0

2kπ o`
uk

PZ

ZZZIVMHVDJDGLULQIR

Exercice 10

sin x   12 On trace la droite d’´equation y = 1/2 et le cercle trigonom´etrique.

les abscisses des points A et B sont les solutions sur r0; 2π s de l’´equation sin x  12 .
Les solutions de l’in´equation sin x   12 sont les abscisses des points situ´es sur le demi-arc inf´erieur d’extr´emit´es
A et B.

 
D’o`
u : S  0; π6 Y 5π
6 ; 2π r .

2 cos x 

?

?

2   0Cette in´equation est ´equivalente `a cos x   22 .
?
Tra¸cons la droite d’´equation x  22 et notons A et B les points d’intersection de cette droite avec le cercle
trigonom´etrique.





D’o`
u : S  π4 ; 7π
? 4
?
cos x ¡ 2 3 Mˆeme d´emarche : tra¸cons la droite d’´equation x   23 .

ZZZIVMHVDJDGLULQIR
1 1

D’o`
u:S

 r0, 5π6 s Y r 7π6 ; 2πr

sinpxq cospxq   01`ere m´ethode : Rappel : sin(2x ) = 2sin(x ) cos(x ).
L’in´equation est donc ´equivalente `
a : sin(2x )   0.
Il faut dans un premier temps r´esoudre sin X   0 : S∞  rk; 2kπ r, o`
u kP Z.
a x P r kπ
kπ; kπ r o`
u k P Z.
Alors 2x P rkπ; 2kπ r, ce qui ´equivaut `
2
Les solutions dans [0 ; 2π[ de cette in´equation sont donc : S  r π2 ; π rYr 3π
2 ; 2π r.

2`eme m´ethode : pour que le produit sin(x ) cos(x ) soit n´egatif il faut que sin(x ) et cos(x ) soit de signe diff´erent,
il y a donc deux quarts de cercle et on retrouve le mˆeme ensemble de solutions.

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