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Suites Réelles 4 eme eco .pdf



Nom original: Suites Réelles 4 eme eco.pdf
Titre: suite réel
Auteur: chtioui

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4 eme :Eco-Ges:1-2

suites-réelles

Exercice n 1 :
I) La suite (Un) est définie par U0 = 0 et n  IN , U n 1 

Cité des jeunes Gafsa

4U n  3
Un  2

1. Montrer par récurrence que n  IN : Un.  0
2. Montrer que pour tout entier n  1 : 1 < Un  3
3. Montrer que pour tout entier n ; (Un) est croissante. Et en déduire quelle est convergente et déterminer sa
limite.
4. Soit la suite (Vn) définie par : Vn 

Un  3
Un  1

a) Démontrer que (Vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Exprimer Vn puis Un en fonction de n et trouver les limites de Un et Vn.
II) Soit la fonction f définie sur R+ par : f(x) =

4x  3
et (Cf) sa courbe représentative
x2

1. Placer sur l’axe des abscisses les termes U0, U1, U2 et U3.
2. Déduire le sens de variation de (Un)

Exercice n 2 :
I) La suite (Un) est définie par U0 = 3 et pour tout entier n : U n 1 

4U n  2
Un  1

1. Démontrer que n  IN : 2 < Un  3
2. Montrer que pour tout entier n ; (Un) est décroissante. Et en déduire quelle est convergente
II) La suite (Vn) est définie par : Vn 

Un  2
Un  1

Démontrer que (Vn) est une suite géométrique et préciser sa limite. Et déduire la limite de (Un).
Exercice n 3 :
1. (Un) définie par : U0 = 3 et n  IN ; U n 1 
Montrer que pour tout entier n, 0 < Un  3
2. (Vn) est définie par n  IN : Vn 

2
Un  1

Un  1
Un  2

a) Démontrer que (Vn) est une suite géométrique.
b) Exprimer Vn puis Un en fonction de n et trouver les limites de Un et Vn.

Suite Réelle

Page 1

Mr Chtioui

Exercice n 4 :
(Un) est définie par U0 = 2 et n  IN ; U n 1 
1. Démontrer que n  IN ; 1 < Un  2
2. Démontrer que (Un) est monotone.
3. La suite (Vn) est définie par Vn 

2U n  1
Un  2

Un  1
Un  1

a) Démontrer que (Vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Exprimer Vn puis Un en fonction de n et trouver les limites de Un et Vn.
1
4. a) Montrer par récurrence que |Un+1 –1|  |Un –1|
3
1
b) En déduire que |Un – 1 |  n et déduire lim Un
3
Exercice n 5 :
La suite (Un) est définie par : U0 = 1 et n  IN ; Un 1 
1. a) Démontrer que n  ; 0 < Un 

2Un
2U2n  1

3
2

b) Démontrer que (Un) est monotone. et déduire que (Un) est convergente et déterminer sa limite.
2. La suite (Vn) est définie par Vn 

2U 2n
2U 2n  3

a) Démontrer que (Vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Exprimer Vn puis Un en fonction de n et trouver les limites de Un et Vn

1
1

2
2U n  1 3
3 1 2 3
3
1
2
2
b) Déduire que n  ; u n 1   u n 
et u n  
en déduire la limite de (Un)
2 3
2
2 2.3n

3. a) Montrer que n  ;

Exercice 6
La suite (Un) est définie par : U0 = 1 et n  IN ; U n 1 

1
3U 2n  4
2

1. Montrer que pour tout entier n 0< Un  2
2
2. Soit la suite Vn définie sur par Vn  Un  4 . Montre que la suite (Vn) est géométrique dont on précisera la
raison et le premier terme.
Exprimer Vn en fonction de n
2
2
3. Exprimer Un1  Un en fonction de Vn et en déduire que la suite u est croissante, qu’elle est convergente et
calculer sa limite
4. a) Montre que pour tout entier n ;

1
1

un  2 3

n

3
b) Montrer que u n  2    et trouver limUn
4
Exercice 7
La suite (Un) est définie par U0 = 1 et U n 1 

2U n  1
Et la suite (Vn) définie par : Vn  2U n  1
2U n  5
Un  1

1. Montrer que (Vn) est une S.G dont on précisera la raison et le premier terme. Calculer sa limite.

2. Exprimer Un en fonction de n puis étudier la convergence de (Un).
3. Soit f la fonction définie sur 1,  par f (x) 

2x  1
2x  5

a) Etudier le sens de variation de f
b) Montrer que n  IN; 

1
 un  1
2

c) Montrer que la suite (Un) est décroissante.
Et en déduire qu’elle est convergente et retrouver sa limite
Exercice 8
Soit (Un) la suite définie par 0<U1 <1/2 et pour n>1 ; Un+1 = f (Un) où f est définie par f(x) =x(1-x)
1. Etudier les variations de f.
2. a) Montrer que; 0<Un<1/2 .
b) Montrer que (Un) est convergente et Déterminer sa limite.
3. a) Montrer par récurrence que n  IN ;0  U n 
*

1
n 1

b) Retrouver alors lim Un
4. Soit (Vn) la suite réelle définie par: Vn = nUn
Montrer que (Vn) est croissante et qu’elle est convergente.
Exercice 9

U 2n  5
La suite (Un) est définie par U0 = 2 5 et U n 1 
n  IN
2U n
1. a) Montrer que por tout entier n ; Un > 5
b) Montrer que (Un) est décroissante.
c) Déduire que (Un) est convergente et déterminer sa limite
U  5
2. Soit la suite (Vn) définie sur N par : Vn  n
; n  IN
Un  5
Montrer que por tout n ; Vn+1 = Vn2
Exercice 10
 U 0  0
Soit la suite (Un) définie par : (Un) : 
n  IN
 U n 1  3U n  4
1. a) Montrer que (Un) est majorée par 4
b) Montrer que (Un) est croissante et en déduire qu’elle est convergente. Et déterminer sa limite.
1
2. a) Montrer que : (4  U n 1 )  (4  Un ) n  IN
2
b) Retrouver la limite de (Un)
c) Etudier la convergence de la suite (Vn) définie par Vn = n² (4 – Un)
Exercice 11
n ( n  2)
Soit la suite (un) définie sur n  IN* par un =
( n  1)²
1
1.a. Montrer que n  IN* , un =1−
(n  1)²
b. Prouver que n  IN* : 0 < un < 1.
c. Étudier le sens de variation de la suite (un).
2. On pose xn = u1 ×u2 ×u3 ×...×un.
a. Démontrer, par récurrence, que, n  IN* on a xn =
b. Déterminer la limite de la suite (xn).

n2
2(n  1)

Exercice 12
Soient (Un) et (Vn) deux suites définies par :

U0  2

(Un) : 
U  Vn
U n 1  n

2


et

Vn 

2
Un

1. Calculer V0, U1, V1 U2 et V2
2. Montrer que n  IN ; 1  U n  2 et 1  Vn  2

(Un  Vn )2
3. Montrer que n  IN ; U n 1  Vn 1 
2(U n  Vn )
4. Montrer que n  IN ; Un  Vn
5. Montrer que (Un) est décroissante et (Vn) est croissante
6. Montrer que n  IN ; Un –Vn  1
et en déduire que (Un – Vn)2  Un – Vn
1
7. Montrer que n  IN ; Un+1 –Vn+1  (Un – Vn)
4
1
En déduire que n  IN ; Un – Vn  n
4
8. Montrer que les suite (Un) et (Vn) sont adjacentes et donner leur limite
Exercice 13

U0  2

Soit la suite (Un) définie par : (Un) : 
4U n  3
 U n 1  U  6
n

1. a) Montrer que : n  IN ; 1  U n  2
b) Montrer que la suite (Un) est décroissante et en déduire qu’elle est convergente. Et déterminer sa limite.
2. Soit la suite (Vn) est définie par: Vn 

3.

Un  1
.
Un  3

a) Démontrer que (Vn) est une suite géométrique.
b) Exprimer Vn puis Un en fonction de n et trouver les limites de Un et Vn.
a) Calculer Sn = V0 + V1 +…+Vn en fonction de n
b) Déterminer la limite de Sn


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