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control 2 alg 1 2013 .pdf


Nom original: control 2 alg 1 _2013_.pdf
Titre: control 2 alg 1 _2013_
Auteur: Amrani

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Université Chouaïb Doukkali

Année universitaire 2012-2013

Ecole Nationale des Sciences Appliquées

Semestre 1, CPI 11.

Algèbre1.

Pr. Amrani

Contrôle 2. Durée 1 h 20.

Exercice 1

(6 pts)

Résoudre les équations suivantes :
1. Q 2 = X 3 P 4 , d’inconnues P, Q ∈ K [ X ].
2. P( X 4 ) = X 2 P( X 3 ), d’inconnue P ∈ K [ X ].
3. ( P '')2 = 6.P ', d’inconnue P ∈ K [ X ].
Exercice 2

(4 pts)

Considérons le polynôme P( X ) = X n+ 2 − 2 X n +1 + X n − X 2 + 2 X − 1 , ∀n ≥ 3 .
Montrer que 1 est une racine triple de P ( X ), ∀n ≥ 3.
Exercice 3
Décomposer en éléments simple dans ℝ( X ) les fractions suivantes :
1.

( X + 1)( 2 X − 3)
2
( X − 2 )( X − 1)

X 2 +1
2.
X 4 + X 2 +1

3.

X 8 + X 4 +1

(X

2

+ X + 1)

3

Exercice supplémentaire
Soient k , n∈ℕ * et r le reste de la division euclidienne de k par n . Montrer que X r est le reste
de la division euclidienne de X k par ( X n − 1) .

N.B. 1 point pour la présentation.

1


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