Résumé . Dép.Antidép.4è.Math .pdf


Nom original: Résumé . Dép.Antidép.4è.Math.pdfTitre: IsométriesAuteur: Boubaker Tabbabi

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L.S.C.J.Gafsa

RESUME DE COURS

Prof: B.Tabbabi

( Déplacements et antidéplacements )
Isométries

Id P

;

Déplacements
 
t u ( u  0 ) ; R ( I , ) (   2k )

Id P
P

 
t u ( u  0 )


R ( I , )

Antidéplacements

t u  S  ( u vecteur directeur de 
S ;

Points fixes
(   0)

I 

S

 
t u  S  ( u  0 )





Angle d'un déplacement
 

f est un déplacement tel que f ( A ) = A' et f ( B ) = B' alors AB , A ' B ' est une mesure de l'angle de f





Un déplacement d'angle 2k  est une translation.
Un déplacement d'angle   2k  est une rotation d'angle 
Composées de déplacements
La composée de deux déplacements ou deux antidéplacements est un déplacement
La composée d'un déplacement et d'un antidéplacement est un antidéplacement.
La composée de deux translations est une translation de vecteur la somme des vecteurs
La composée d'une translation et d'une rotation est une rotation de même angle
La composée de deux rotations est:
-une translation si la somme des angles est 2k 
-une rotation d'angle la somme des angles si la somme des angles est différente de 2k 
Composées de deux symétries orthogonales
 

(AB) et (AC) sont deux droites sécantes en A.Alors on a : S ( AB )  S ( AC )  R ( A , ) ;   2 AC , AB  2 

 et  ' sont deux droites parallèles .alors S   S  '  t 2u avec u est le vecteur orthogonal à  tel que





t u   '  

Existence et unicité d'isométries
A,B,C et D sont quatre points tels que AB = CD  0.Alors:
-il existe un unique déplacement qui envoie A en C et B en D.
-il existe un unique antidéplacement qui envoie A en C et B en D.
Egalité de deux déplacements ou deux antidéplacements
Deux déplacements qui coïncident en deux points distincts sont égaux
Deux antidéplacements qui coïncident en deux points distincts sont égaux
Symétrie glissante

Si f est un antidéplacement sans point fixe alors f s'écrit f = t u  S   S   t u où u est directeur de  .
Dans ce cas on a f  f = t 2u et si f ( M ) = M' alors le milieu du segment [MM'] est un point de  .
Soit l'application

Expressions complexes des déplacements
f : P  P M ( z )  M ' ( z ' ) .On a:


. z' = z + b ; b   si et seulement si f est la translation de vecteur u d'affixe b.
. z '  e i  z  z I   zI
si et seulement si f est la rotation de centre I et d'angle  .
Méthode pratique : Si z' = az + b ; b   . Si a n'est pas réel et a  1 ,alors f est la rotation de
 b 
centre  
 et d'angle un argument de a .
 1 a 

)


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