FICHIER COMP 6198MTSSpe n 15.pdf


Aperçu du fichier PDF fichier-comp-6198mtsspe-n-15.pdf - page 1/20

Page 12320



Aperçu texte


Matrices

Ouverture
Disposer des nombres dans un tableau carré est
apparu il y a fort longtemps mais de tels carrés
n’avaient alors aucun rapport avec la notion de
matrice abordée dans ce chapitre. Il s’agissait de
« carrés magiques » dont le plus ancien, le « carré
magique chinois », aurait été révélé à l’empereur Yü sur le dos d’une tortue vers –2200 avant
Jésus Christ. Ces « carrés magiques », constitués
de nombres auxquels on attribuait des propriétés cabalistiques, ont passionné les astrologues
et on a développé petit à petit des méthodes de
construction ; c’est par exemple le cas de Dürer
qui, dans sa gravure Melencolia, inclut « son carré
magique » d’ordre 4.
Ces constructions étaient plutôt fondées sur
l’arithmétique et l’usage de permutations, mais
le développement de l’algèbre linéaire et l’usage
des matrices ont donné un nouveau souffle pour
étudier systématiquement des constructions de
« carrés magiques ».
L’apparition des matrices est profondément liée
à la résolution des systèmes linéaires et à l’étude
des déterminants.
Il est difficile de dater cette apparition car certaines techniques chinoises très anciennes (le
Suanxue qimeng, introduction aux mathématiques, remonte au xiiie siècle !) présentent une
analogie étonnante avec les calculs matriciels
modernes. La méthode Fang cheng repose sur
la répartition des nombres issus d’un problème
d’équations linéaires en colonnes parallèles ; la
configuration des nombres apparaît alors comme
ce que nous appellerions « la matrice du système et son second membre ». À partir de là les
procédés de résolution utilisent un arsenal d’opérations comme la multiplication d’une colonne
par un même nombre, la soustraction de lignes,
etc. pour éliminer les coefficients d’une inconnue. Nous sommes pratiquement au « pivot de
Gauss ».
Pour des précisions sur l’algorithme de Google,
voir l’ouverture du chapitre 5.

Vérifier ses acquis
r r

1 1. u v 1 ¥ 3 2 ¥ 4 11.
Ê -9 ˆ
Ê -1 ˆ
r
r
2. a. Par exemple u Á 6 ˜ et v Á 0 ˜ , alors
Á
˜
˜
Á
Ë -4 ¯
Ë 2 ¯
r r
u v 9 0 - 8 1.
r r
b. u v u1v1 u2v2 u3v3.
3. La bonne réponse est a.
r
2 a. u u12 u22 .
r2 r r r
b. u u u u2.
r
r
3 1. Deux vecteurs u et v non nuls sont colir
r
néaires s’il existe un réel k ≠ 0 tel que u kv . Par
convention, le vecteur nul est colinéaire à tout
autre vecteur.
2. La bonne réponse est d.
r
r
3. a. Dans le cas où l’on a u kv , on peut alors
x¢ y ¢ z¢
écrire que


k.
x
y
z
b. Si x = 0, alors x’ = 0.
4. a. 6 × 20 – 5 × 24 = 0 donc les vecteurs sont
1
colinéaires et k - .
4
b. –1 × 15 – 3 × 5 = –30 ≠ 0 donc les vecteurs ne
sont pas colinéaires.
-9 -3 15


c.
-3 donc les vecteurs sont coli3
1
-5
néaires et k = –3.
r Ê
ˆ
4 a. w Á -2 ¥ 1 3 ¥ 3 ˜ ÊÁ 7 ˆ˜ .
¯
Ë -2 ¥ 2 3 ¥ (-1) ¯ Ë

-7
a 3b 0
b. On doit résoudre le système Ì
qui
ÓÔ2a - b -7
a pour solution a = –3 et b = 1.

5 1. La bonne réponse est b.
2. La bonne réponse est a.
6 1. a. On additionne les deux équations afin
d’éliminer l’inconnue y, ce qui donne x = 10 et on
obtient alors y = –16.
b. On remarque que la 2e équation n’est autre
que la 1re divisée par 4. Le système admet donc
une infinité de couples solutions, donnés par les
coordonnées des points de la droite d’équation
cartésienne 8x – 4y – 2 = 0.
Chapitre 4 n Matrices n  1

© éditions Belin, 2012.

4