FICHIER COMP 6198MTSSpe n 15.pdf


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c. On multiplie la 1re équation par 2 et on l’additionne à la 2e afin d’éliminer l’inconnue x, ce qui
élimine aussi l’inconnue y et on obtient 0 = –1. Le
système n’admet donc pas de solution.
2. a. Ils ne sont pas colinéaires.

Ê a b ˆ Ê a b ˆ Ê aa bc ab bd ˆ
K Á
˜Á
˜.
˜ Á
Ë g d ¯ Ë c d ¯ Ë ga dd gb dd ¯
b. FG ≠ GF.

Ê
ˆ Ê
ˆ
b. Á 8 ˜ et Á -4 ˜ sont colinéaires.
Ë -2 ¯ Ë 1 ¯
ˆ
Ê
ˆ Ê
c. Á 1 ˜ et Á -3 ˜ sont colinéaires.
Ë -2 ¯ Ë 6 ¯

Dans cette activité on considère que l’urne 1 contient
10 jetons, l’urne 2, 6 jetons et l’urne 3, 8 jetons.

Activité 2

1 a. pij est la probabilité de tirer le jeton n° i
dans l’urne j, c’est donc la probabilité que le
2e tirage s’effectue dans l’urne n° i sachant qu’on
a effectué le 1er dans l’urne j. Ainsi :
pij P
(X i).
(X0 j) 1
b. P(X1 i)

Activité 1

1 a. f est bien une fonction homographique,

car c = –3 ≠ 0 et ad – bc = 1 × (–5) + (–3) × (–2) =
1 ≠ 0. De même pour g, c = 7 et ad – bc = –47.
19x - 4
On a alors, tous calculs faits, h(x)
.
20x 23
b. h est bien une fonction homographique :
c = 20 et ad – bc = 517.
-23x - 20
c. On a : k(x)
et on remarque que
4x - 19
h ≠ k.

2 h(x) (aa bg)x (ab bd) et
(ca dg)x (cb dd)

k(x)

(aa cb)x (ba db)
.
(ag cd)x (bg dd)

Ê
ˆ
3 a. F Á a b ˜ .
Ëc d¯
Ê a bˆ
Ê aa bg ab bd ˆ
b. G Á
˜ et H Á
˜.
Ë g d¯
Ë c a dg c b d d ¯

c. Le coefficient de la 1re ligne et 1re colonne de
H est obtenu comme la somme des produits des
coefficients de la 1re ligne de F par ceux de la
1re colonne de G.
Le coefficient de la 1re ligne et 2e colonne de H
est obtenu comme la somme des produits des
coefficients de la 1re ligne de F par ceux de la
2e colonne de G.
Dans le cas général, on a :
le coefficient de la i-ème ligne et j-ème colonne
de H est obtenu comme la somme des produits
des coefficients de la i-ème ligne de F par ceux de
la j-ème colonne de G.

2

n

Chapitre 4 n Matrices



3

 P(X1 i « X0 j)
j 1
3

 P(X0 j)PX
j 1

0

(X i)
j 1

d’après les formules des probabilités totales et
conditionnelles.

2 a. Dans m(1) , n = i = 1. On a donc :
m(1) p11P(X0 1) p12P(X0 2) p13P(X0 3).
b. On peut écrire
Ê P(X 1) ˆ
0
˜
Á
(
1
)
m p11 p12 p13 Á P(X0 2) ˜ .
˜
Á
Ë P(X0 3) ¯









c. On a : m(2) p21 p22 p23 m(0) et
m(3)



p31 p32 p33



m(0).

Ê p p p ˆ
Á 11 12 13 ˜
d. P Á p21 p22 p23 ˜ .
Á
˜
Ë p31 p32 p33 ¯

3 a. Dans l’urne n° 1, il y a 1/5 des jetons portant le n° 1, ½ des jetons portant le n° 2 et 3/10
des jetons portant le n° 3, c’est-à-dire 2 jetons
n° 1, 5 jetons n° 2 et 3 jetons n° 3.
Dans l’urne 2, il y a 1 jeton n° 1, 2 jetons n° 2
et 3 jetons n° 3.
Dans l’urne 3, il y a la moitié de jetons n° 1 et la
moitié de jetons n° 3, il n’y a pas de jeton n° 2.
b. Cela signifie que le 1er tirage s’effectuera dans
l’urne n° 2.
c. La probabilité que l’on pioche les jetons n° 1,
2 et 3 dans l’urne n° 2 sont respectivement 1/6,
Ê16ˆ
˜
Á
(
1
)
1/3 et 1/2, donc m Á 1 3 ˜ .
Á12˜
¯
Ë

© éditions Belin, 2012.

Activités d’introduction

4 a. On a donc :