FICHIER COMP 6198MTSSpe n 15.pdf


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Travaux pratiques
1TP Algorithmique 1  Résolution

d’un système 2 ¥ 2

1 a. (d1) et (d2) sont concourantes en un point.
b. (d1) et (d2) sont parallèles.
c. (d1) et (d2) sont confondues.
r
r
2 a. u1 ÊÁ -c ˆ˜ et u2 ÊÁ -d ˆ˜ .
Ë
¯
Ë
¯

a
b
r
r
b. u1 et u2 ne sont pas colinéaires pour 1.a. ; ils
sont colinéaires pour 1.b. & c.
c. Analytiquement, cela donne ad – bc ≠ 0 pour
1.a. et ad – bc = 0 pour 1.b. & c.

3 a. Si l’on suppose a = 0 et b = 0, alors le système est équivalent à
cy e
e f
€ . Le système n’a de solution
Ì
c d
ÓÔdy f
qu’à cette condition-là et les solutions sont les
coordonnées des points de la droite d’équation
e
y .
c
b. La 2e équation est remplacée par :
aL2 – bL1 ⇔ (ad – bc)y = af – be.
c. Si on n’avait pas supposé a ≠ 0 alors on aurait
obtenu –bcy = –be ⇔ cy = e qui est l’équation
L1. On aurait donc « perdu » l’équation L2 du système.
d. L’équation (ad – bc)y = af – be admet une soluaf - be
tion si ad – bc ≠ 0. On a donc y
et
ad
- bc
de - cf
x
.
ad - bc
e. Si ad – bc = 0 alors l’équation devient 0 = af – be.
Si cette condition n’est pas remplie le système

4

n

Chapitre 4 n Matrices

n’admet pas de solution et il en admet une infinité dans le cas contraire, les solutions étant les
coordonnées des points de la droite d’équation
ax + by = e. De plus dans ce cas on peut dire que
les deux équations sont deux équations de la
b
même droite car aL2 – bL1 = 0 ⇔ L2 L1.
a

4
Saisir a, b, c, d, e, f ;
Si ab – bc = 0 alors
Si af – be = 0 alors
Afficher « Infinité de solutions » ;
Sinon
Afficher « Pas de solution » ;
FinSi
Sinon
Afficher y = (af – be)/(ad – bc) ;
Afficher x = (de – cf)/(ad – bc) ;
FinSi

5 a. Pas de solution.
5
2
et y .
3
9
c. Une infinité de solutions.

b. x

2TP Algorithmique 2  Calcul de l’inverse

d’une matrice
Ê 15 8 3 ˆ
1 M-1 ÁÁ 43 23 9 ˜˜ .
Ë -34 -18 -7 ¯

2 a. On obtient, en divisant par –1 :
Ê 1 2 3 -1 0 0 ˆ
Á 5 3 6 0 1 0˜.
Á
˜
Ë -8 2 -1 0 0 1 ¯
Ê 1 2 3 -1 0 0 ˆ
b. On obtient ÁÁ 0 -7 -9 5 1 0 ˜˜ .
Ë -8 2 -1 0 0 1 ¯

c. Il s’agit de remplacer L3 par L3 – a31L1.

3 a. On divise la ligne L2 par a22 pour obtenir
Ê1 2 3
-1
0 0ˆ
Á 0 1 9 7 -5 7 -1 7 0 ˜ .
˜
Á
ÁË 0 18 23
-8
0 1 ˜¯

b. On remplace L1 par L1 – a12L2 et on obtient :
Ê 1 0 3 7 3 7 2 7 0ˆ
˜
Á
Á 0 1 9 7 -5 7 -1 7 0 ˜ .
ÁË 0 18 23
-8
0 1 ˜¯

© éditions Belin, 2012.

c. Notons L1, L2 et L3 les trois équations composant le système (F). Alors 2L1 – L2 ⇔ 3y + 6z = 3
⇔ y + 2z = 1. On a aussi : L1 + L3 ⇔ 3y + 6z = 3.
On obtient bien le système (F1).
d. Notons Q1 et Q2 les deux équations composant le système (F1). Alors 2Q1 – 3Q2 ⇔ 2x – y
– 4z = 5. Enfin, 3Q2 – Q1 ⇔ – x + 2y + 5z = –1.
e. On prend donc z comme paramètre et on
déduit de Q2 : y = 1 – 2z et enfin x = 4 – y – z =
4 – 1 + 2z – z = 3 + z.
En prenant z = 1, on obtient bien la solution particulière demandée.