FICHIER COMP 6198MTSSpe n 15.pdf


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Aperçu texte


On remplace ensuite L3 par L3 – a32L2 et on
Ê 1 0 3 7 3 7 2 7 0ˆ
Á
˜
obtient : Á 0 1 9 7 -5 7 -1 7 0 ˜ .
Á 0 0 -1 7 34 7 18 7 1 ˜
Ë
¯

b. On trace la perpendiculaire à la droite portant
r
v1 passant par son origine. L’ensemble des vecteurs
r
s répondant au problème ont pour extrémité les
points situés sur cette droite.

4 On divise la ligne L3 par a33 pour obtenir :
Ê1 0 3 7 3 7 2 7 0 ˆ
Á
˜
Á 0 1 9 7 -5 7 -1 7 0 ˜ .
ÁË 0 0 1 -34 -18 -7 ˜¯
On remplace L1 par L1 – a13L3 pour obtenir :
Ê1 0 0
15
8 3 ˆ
Á 0 1 9 7 -5 7 -1 7 0 ˜ .
Á
˜
ÁË 0 0 1 -34 -18 -7 ˜¯

r
v1

O

Finalement on remplace L2 par L2 – a23L3 pour
Ê 1 0 0 15 8 3 ˆ
Á
˜
obtenir : Á 0 1 0 43 23 9 ˜ .
Ë 0 0 1 -34 -18 -7 ¯

3 a. b. Les fichiers corrigés sont disponibles
sur http://libtheque.fr/mathslycee
r
r
r Ê x(u) ˆ
r Ê y(u) ˆ
c. u1 Á r ˜ et v1 Á r ˜ .
Ë x(v) ¯
Ë y(v) ¯

d’une matrice 2 ¥ 2

rr rr

Ê u s ut ˆ
Êu ˆ
1 a. MM-1 Á r1 ˜ sr tr Á r1r r1r ˜ .
Ë v1 ¯
ËÁ v s v t ¯˜

1
1
rr
rr
b. On doit avoir u1s 1 et v1s 0, c’est-à-dire que
r
r
rr
s est un vecteur orthogonal à v1 vérifiant u1s 1.
r
r
De même, rt est un vecteur orthogonal à u1
­vérifiant vr t 1.
1
r
2 a. Le vecteur s , colinéaire, de même sens et
r
1
ayant la même origine que u1 a pour norme r .
u1
Notons I l’extrémité de ce vecteur. Alors l’ensemble
r
des vecteurs s répondant au problème ont pour
extrémité les points situés sur la perpendiculaire à
r
la droite portant u1 passant par I.

I
r
u1
O

P

d. On doit appliquer la construction aux vecteurs
r
r
r
u1 et v1 pour obtenir le vecteur s et aux vecteurs
r
r
r
v1 et u1 pour obtenir le vecteur t .

4 Simple vérification avec le logiciel.
5 a. Voir fichiers en ligne.
b. On applique la construction
pour obtenir les
r
r
deux vecteurs s et t donnant la matrice inverse
puis on effectue le produit de cette matrice avec
Ê
ˆ
le vecteur Y Á 3 ˜ . Les coordonnées du vecteur
Ë -2 ¯
produit représentent les solutions du système.
4TP TICE 2  Valeurs propres, vecteurs propres

1 a. Le fichier corrigé est disponible sur
http://libtheque.fr/mathslycee
b. Cela signifie que u et v sont colinéaires.
c. Les deux directions sont celles des axes des
abscisses et des ordonnées.
d. Pour la direction de l’axe des ordonnées, le
scalaire l = 1 et pour la direction de l’axe des
abscisses, l = –1. On remarque que ce sont les
coefficients de la matrice diagonale D.

Chapitre 4 n Matrices n  5

© éditions Belin, 2012.

3TP TICE 1  Inversion géométrique

r
s

P

r
c. L’extrémité du vecteur s recherché est à l’intersection des deux droites construites dans les
questions a. et b.

5 Ligne 1 : n = taille de la matrice M ;
Ligne 5 : Diviser Lk par akk ;
Ligne 7 : Remplacer Li par Li – aikLk ;

r

r
s