FICHIER COMP 6198MTSSpe n 15.pdf


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Aperçu texte


Ê ˆ
e. Pour l = –1, on pose u Á 1 ˜ et on vérifie bien
Ë 0¯
Ê ˆ
que Du = –u. Pour l = 1, on pose u Á 0 ˜ et on
Ë 1¯
vérifie aussi que Du = u.

c. Mu = λu amène à une matrice
Ê -0, 5 - l 1, 5 ˆ
A Á
˜ qui est non inversible si et
Ë
1
-1 - l ¯

2 a. En donnant au vecteur u les coordonnées

ou l =

Ê ˆ
l = 1, on a u1 Á 1 ˜ .
Ë 0¯
Ê
ˆ
Ê
ˆ
b. On a donc P Á 1 1 ˜ et P -1MP Á -1 0 ˜ D.
Ë 2 0¯
Ë 0 1¯

3 a. Mu = λu ⇔ (M – lI2)u = 0.

Ê
ˆ
Donc A Á 1 - l -1 ˜ .
Ë 0 -1 - l ¯

b. Si A est inversible, alors on obtient u A-10 0
or un vecteur propre est non nul par définition.
c. La matrice carrée A de taille 2 est non inversible
si et seulement si (1 – l)(–1 – l) = 0. Les solutions
de cette équation produit sont l = 1 et l = –1.
Ê ˆ
d. Pour l = 1, et en posant u Á a ˜ , on doit
Ë b¯
donc résoudre l’équation
-b 0
Ê 0 -1 ˆ Ê a ˆ
ÁË 0 -2 ˜¯ ÁË b ˜¯ 0 € Ì -2b 0 € b 0.
Ó
Les vecteurs u solutions sont donc de la forme
Ê ˆ
Ê ˆ
u1 Á a ˜ , a Œ °, on prend donc u1 Á 1 ˜ .
Ë 0¯
Ë 0¯
Pour l = –1 on doit donc résoudre l’équation
Ê 2 -1 ˆ Ê a ˆ
ÁË 0 0 ˜¯ ÁË b ˜¯ 0 € 2a - b 0.
Les vecteurs u solutions dont donc de la forme
Ê
ˆ
Ê ˆ
u-1 Á a ˜ , a Œ °, on prend donc u-1 Á 1 ˜ .
Ë 2¯
Ë 2a ¯

4 a. Mu = λu amène à une matrice

Ê
ˆ
A Á 5 - l -3 ˜ qui est non inversible si et
Ë 6 -4 - l ¯
seulement si (5 – l)(–4 – l) + 18 = 0 ⇔ l = –1 ou
Ê ˆ
Ê ˆ
l = 2. On trouve u-1 Á 1 ˜ et u2 Á 1 ˜ .
Ë 2¯
Ë 1¯
Ê
ˆ
b. Mu = λu amène à une matrice A Á -l -1 ˜
Ë 1 -l ¯
qui est non inversible si et seulement si λ2 + 1 = 0.
Cette équation ne possédant pas de solution
dans °, il n’existe aucune valeur propre réelle ni
aucun vecteur propre réel.

6

n

Chapitre 4 n Matrices

Ê
ˆ
Ê ˆ
1
. On trouve u-2 Á 1 ˜ et u0,5 Á 3 ˜ .
2
Ë -1 ¯
Ë 2¯

Exercices
Maîtriser le cours
1 a. Faux, c’est n lignes et p colonnes.
b. Vrai.
c. Faux.
d. Vrai.
e. Vrai.
2 1. b.

2. b.

3. d.

3 a. Faux.

b. Vrai.

c. Faux.

4 1. a.

2. a. c.

3. b.

5 a. Faux, par exemple A de taille 3 × 2 et B de
taille 2 × 3.
b. Vrai.
6 a.
7 a. Faux.  b. Faux.   c. Vrai.   d. Vrai.
8 b.
9 a. Faux.
10 1. a.

b. Vrai.

c. Faux.
2. d.

Appliquer les capacités attendues
12 a. La taille de la matrice est 3 × 3. Pour
CASIO, TI et Maxima on indique d’abord ces
dimensions avant d’entrer les coefficients.
Pour XCas, on saisit
A:=matrix([[–1,2,–3],[10,–11,12],[–7,8,–9]])
et pour JavaScript :
A=[[–1,2,–3],[10,–11,12],[–7,8,–9]].
b. La taille de la matrice est 1 × 5.
Pour XCas : B:=matrix([[10,–11,12,–13,14]])
et pour JavaScript : B=[[10,–11,12,–13,14]].
c. La taille de la matrice est 2 × 1.
Pour XCas : C:=matrix([[–7],[8]])
et pour JavaScript : C=[[–7],[8]].
d. La taille de la matrice est 2 × 3.
Pour XCas : D:=matrix([[a,a^2,a^3],[b,1/b,1/b^2]])
et pour JavaScript : D=[[a,a^2,a^3],[b,1/b,1/b^2]].

© éditions Belin, 2012.

Ê 1ˆ
Ê -1 ˆ
ÁË 2 ˜¯ , on obtient un vecteur v ÁË -2 ˜¯ . Ainsi pour
Ê ˆ
l = –1 on a u-1 Á 1 ˜ . On vérifie aussi que pour
Ë 2¯

seulement si (–0,5 – l)(–1 – l) – 1,5 = 0 ⇔ l = –2