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TD analyse maths chapitre 3 .pdf



Nom original: TD-analyse-maths-chapitre 3.pdf
Titre: [-3mm]0pt9mmTRAVAUX DIRIGÉS [2mm]Analyse Mathématiques I - Filière Sciences Economiques et Gestion [2mm]Semestre 1
Auteur: Mohamed HACHIMI

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TRAVAUX DIRIGÉS
Analyse Mathématiques I
Filière Sciences Economiques et Gestion
Semestre 1
Mohamed HACHIMI
Faculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales d’Agadir

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formation en economie et gestion
TD d’Analyse Mathématiques I

1 / 30

Chapitre III
Développements limités

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TD d’Analyse Mathématiques I

2 / 30

Formule de Taylor. Développements limités

Exercice 1

Les fonctions
f (x) = x2 + 3x

et

g(x) = x2 + 1

sont-elles équivalentes au voisinage de +∞ ? au voisinage
de 0 ?

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TD d’Analyse Mathématiques I

3 / 30

Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 1

On a :

f (x)
x2 + 3x
= lim
=1
x→+∞ g(x)
x→+∞ x2 + 1
lim

les fonctions f et g sont donc équivalentes en +∞.
x2 + 3x
f (x)
= lim 2
=0
x→0 x + 1
x→0 g(x)
lim

les fonctions f et g ne sont donc pas équivalentes en 0.

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4 / 30

Formule de Taylor. Développements limités

Exercice 2

Etant donné que
x ∼ x + 1,
+∞

ex

les fonctions et
sinage de +∞ ?

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ex+1

sont-elles aussi équivalentes au voi-

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5 / 30

Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 2

Posons f (x) = ex et g(x) = ex+1 . On a :
ex
f (x)
1
= lim x+1 = 6= 1
x→+∞ g(x)
x→+∞ e
e
lim

les fonctions f et g ne sont donc pas équivalentes en +∞,
malgré que x ∼ x + 1.
+∞

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6 / 30

Formule de Taylor. Développements limités

Exercice 3

Déterminer, en utilisant les fonctions équivalentes :
1◦

1
x3 + 2x2 + 1
sin
x→∞ 4x2 + 3x + 2
x

2◦

lim

lim

(x2 + x) ln(1 + x)
x→0
x3 + 3x2

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TD d’Analyse Mathématiques I

7 / 30

Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 3

1◦

On a : x3 + 2x2 + 1 ∼ x3 ,


donc

4x2 + 3x + 2 ∼ 4x2 ,

sin



1 1

x∞x

x3 + 2x2 + 1
1
x3 1
1
sin
=
lim
=
2
x→∞ 4x2 + 3x + 2
x→∞
x
4x x
4
lim

2◦

On a : x2 + x ∼ x,
0

donc

x3 + 3x2 ∼ 3x2 ,
0

ln(1 + x) ∼ x
0

(x2 + x) ln(1 + x)
x2
1
=
lim
=
3
2
2
x→0
x→0 3x
x + 3x
3
lim

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Formule de Taylor. Développements limités

Exercice 4

Montrer que, pour tout x ∈ [0, 1], on a :
x5
x2 x3 x4
3x5
x2 x3 x4
x
e
+
6 6 1+x+ + +
+
1+x+ + +
2
6 24 120
2
6 24 120

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Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 4
La fonction f (x) = ex est plusieurs fois dérivable sur R. On peut lui
appliquer la formule de Mac-Laurin à l’ordre 5 sur [0, 1]. Il existe
c ∈]0, 1[ tel que :
f (x) = f (0) +

f ′ (0)
f ′′ (0) 2 f (3) (0) 3 f (4) (0) 4 f (5) (c) 5
x+
x +
x +
x +
x
1!
2!
3!
4!
5!

On a : f (x) = f ′ (x) = f ′′ (x) = f (3) (x) = f (4) (x) = f (5) (x) = ex
donc : f (0) = f ′ (0) = f ′′ (0) = f (3) (0) = f (4) (0) = 1 et f (5) (c) = ec
D’où :
ex = 1 + x +
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ec 5
x2 x3
x4
+
+
+
x
2
6
24 120
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Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 4

Comme 0 6 c 6 1, il vient 1 6 ec 6 e. D’où :
1 6 ec 6 3

soit

ec 5
1 5
3 5
x 6
x 6
x
120
120
120

On en déduit :
1+x+

x4
x5
x2 x3
x4
3x5
x2 x3
+
+
+
6 ex 6 1 + x +
+
+
+
2
6
24 120
2
6
24 120

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Formule de Taylor. Développements limités

Exercice 5

Ecrire la formule de Taylor-Lagrange, à l’ordre 4, des fonctions suivantes :
1
, pour a = 1 ;
1◦ f (x) =
1+x
2◦

g(x) = ln x, pour a = 1

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12 / 30

Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 5
1◦

f est plusieurs fois dérivable sur [1, x] pour x voisin de 1. On a :
1
2
f ′′ (x) =
(1 + x)2
(1 + x)3
6
24
f (3) (x) = −
f (4) (x) =
(1 + x)4
(1 + x)5
f ′ (x)

=−

La formule de Taylor-Lagrange, à l’ordre 4, est
(x−1)2 ′′
(x−1)3 (3)
(x−1)4 (4)
f (1)+
f (1)+
f (c)
2
6
24
1 1
1
1
(x − 1)4
= − (x − 1) + (x − 1)2 − (x − 1)3 +
2 2
8
16
(1 + c)5

f (x) = f (1)+(x−1)f ′ (1)+

avec c dans l’intervalle ]1, x[.
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13 / 30

Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 5

2◦

g est plusieurs fois dérivable sur [1, x] pour x voisin de 1. On a :
f ′ (x) =

1
,
x

f ′′ (x) = −

1
,
x2

f (3) (x) =

2
,
x3

f (4) (x) = −

6
x4

La formule de Taylor-Lagrange, à l’ordre 4, est
(x−1)2 ′′
(x−1)3 (3)
(x−1)4 (4)
f (1)+
f (1)+
f (c)
2
6
24
1
1
(x − 1)4
= x − 1 − (x − 1)2 + (x − 1)3 −
2
3
4(1 − c)4

g(x) = f (1)+(x−1)f ′ (1)+

avec c dans l’intervalle ]1, x[.
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Formule de Taylor. Développements limités

Exercice 6

Montrer que la fonction
f (x) = x + 5x2 + x3 sin x
admet un DL d’ordre 3, au voisinage de 0.

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Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 6

On peut écrire f sous la forme :
f (x) = 0 + x + 5x2 + 0x3 + x3 (sin x) avec

lim sin x = 0

x→0

donc f admet un DL d’ordre 3, au voisinage de 0

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Formule de Taylor. Développements limités

Exercice 7

En utilisant la formule de Taylor-Young, déterminer le DL
d’ordre 3, au voisinage de 0 de
f (x) = ln(1 + ex )

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17 / 30

Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 7
f est plusieurs fois dérivable sur R. En particulier f (3) (0) existe,
on peut appliquer la formule de Taylor-Young à l’ordre 3 :
f (x) = f (0) +
On a : f ′ (x) =

f ′ (0)
f ′′ (0) 2 f (3) (0) 3
x+
x +
x + x3 ε(x)
1!
2!
3!

ex
,
1 + ex

d’où : f (0) = ln 2,

f ′′ (x) =

f ′ (0) =

1
,
2

ex
,
(1 + ex )2
f ′′ (0) =

1
,
4

f (3) (x) =

ex (1 + ex )
(1 + ex )3

f (3) (0) = 0

Ainsi,
ln(1 + ex ) = ln 2 +
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x x2
+
+ x3 ε(x)
2
8
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18 / 30

Formule de Taylor. Développements limités

Exercice 8

Trouver le DL d’ordre 4, au voisinage de 0 de la fonction

f (x) = 1 + x

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19 / 30

Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 8

On a :
f (x) = (1 + x)α avec α =

1
2

1
1
5 4
1
x + x4 ε(x)
= 1 + x − x2 + x3 −
2
8
16
128

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Formule de Taylor. Développements limités

Exercice 9

Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 1 de la fonction
f (x) = ex

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21 / 30

Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 9

En posant t = x − 1, on est ramené au voisinage de 0 :
ex = e1+t = e · et


t2 t3
3
= e 1 + t + + + t ε(t)
2
6
ainsi, au voisinage de 1, on a :


(x − 1)2 (x − 1)3
3
x
e = e 1 + (x − 1) +
+
+ (x − 1) ε(x − 1)
2
6

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Formule de Taylor. Développements limités

Exercice 10

Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction
f (x) = e4x sin 3x

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23 / 30

Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 10
Au voisinage de 0, on a :
4x (4x)2
(4x)3
+
+
+ x3 ε(x)
1!
2!
3!
32
= 1 + 4x + 8x2 + x3 + x3 ε(x)
3
3
9
(3x)
+ x3 ε(x) = 3x − x3 + x3 ε(x)
sin 3x = 3x −
3!
2



32 3
9 3
4x
2
D’où : e sin 3x = 1 + 4x + 8x + x
3x − x + x3 ε(x)
3
2
39 3
2
3
= 3x + 12x + x + x ε(x)
2
e4x = 1 +

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Exercice 11

Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction
f (x) =

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ln(1 + x)
cos x

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Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 11

Au voisinage de 0, on a :
ln(1 + x) = x −
cos x = 1 −

x2 x3
+
+ x3 ε(x)
2
3
x2
+ x3 ε(x)
2

Donc
x2 5x3 3
ln(1 + x)
= x− +
+x ε(x)
cos x
2
6

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x2
x3
+
2
3
x3
−x
+
2
5x3
x2
+

2
6
x2
2
5x3
+
6
x−

x2
2
x2
5x3
x−
+
2
6
1−

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26 / 30

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Exercice 12

Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction
f (x) = esin x

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Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 12
Au voisinage de 0, on a :
sin x = x −

x3
+ x3 ε(x)
6

et

eu = 1 + u +

u2 u3
+
+ u3 ε(u)
2
6

Comme sin 0 = 0, on peut donc remplacer u, dans l’expression
x3
:
de eu , par le terme x −
6


2

3

1
x3
1
x3
x3
esin x = 1 + x −
+
x−
+
x−
+ x3 ε(x)
6
2
6
6
6
x2
=1+x+
+ x3 ε(x)
2
(On ne garde que les termes de degré 6 3).
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Exercice 13

Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction
f (x) = ecos x

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Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 13
Puisque cos 0 = 1 6= 0, on écrit ecos x sous la forme :
ecos x = e1+(cos x)−1 = e e(cos x)−1
Au voisinage de 0, on a :
(cos x) − 1 = −

x2
+ x3 ε(x)
2

et

eu = 1 + u +

En remplaçant u, dans eu , par le terme −
e

cos x

u2 u3
+
+ u3 ε(u)
2
6

x2
, on a :
2



e2
x2
3
=e 1−
+ x ε(x) = e − x2 + x3 ε(x)
2
2

(On ne garde
que les termes de degré
6 3).
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