Série Corrigée N°2 Fonctions de Plusieurs Variables .pdf



Nom original: Série Corrigée N°2-Fonctions de Plusieurs Variables.pdfAuteur: MOHSEN BEN AHMED

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L 1 (MATH I)

Série Corrigée N°2-ÉNONCÉS
Fonctions de Plusieurs Variables

Exercice 1 : (ISG SC2013)
Soit la fonction de deux variables définie par :
𝒙𝟐 𝒚
𝒇 𝒙, 𝒚 =

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏

𝒔𝒊 𝒙, 𝒚 ≠ 𝟎, 𝟎

1) Montrer que 𝒇 est continue en 𝟎, 𝟎
2) Calculer 𝒇′𝒙 et 𝒇′𝒚 pour 𝒙, 𝒚 ≠ 𝟎, 𝟎
3) Etudier l’existence de 𝒇′𝒙 et 𝒇′𝒚 en 𝟎, 𝟎
4) Montrer que 𝒇 est homogène et en déduire une relation entre 𝒇 , 𝒇′𝒙 et 𝒇′𝒚
5) Montrer que 𝒇 induit une fonction implicite 𝝋 au voisinage de 𝟏, 𝟎 et calculer 𝝋′ 𝟏

Exercice 2 : (IHEC SP2007)
Soient :
𝟏

𝟏

𝟑

𝟏

𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝟐 𝒚𝟑 et 𝒈 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝟐 𝒚−𝟑
Deux fonctions définies sur 𝑫 =

𝒙, 𝒚 ∈ ℝ𝟐 / 𝒙 > 0 𝑒𝑡 𝑦 > 0

1) Vérifier que 𝒇 et 𝒈 sont homogènes en précisant le degré d’homogénéité
2)
a) Calculer les dérivées partielles de 𝒇 et 𝒈
b) Déduire à partir de 1) que :
𝒙

𝝏𝒇
𝝏𝒇
𝒙, 𝒚 + 𝒚
𝒙, 𝒚
𝝏𝒙
𝝏𝒚

𝒙

𝝏𝒈
𝝏𝒈
𝒙, 𝒚 + 𝒚
𝒙, 𝒚
𝝏𝒙
𝝏𝒚

=

𝟑𝟓 𝟐
𝒙
𝟑𝟔

3)
a) Déterminer la matrice hessienne de 𝒇 et celle de 𝒈
b) Etudier la convexité de 𝒇 et de 𝒈
4)
a) Déterminer l’équation du plan tangent à 𝑺𝒇 au point 𝟒, 𝟖, 𝟒 et celle du plan tangent à 𝑺𝒈
au même point 𝟒, 𝟖, 𝟒
1

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b)
5) Soit 𝒉
a)
b)

Déterminer à partir de 3)-b) la position de chaque plan tangent
𝒙, 𝒚 = 𝟑𝒇 𝒙, 𝒚 − 𝟐𝒈 𝒙, 𝒚
Sans faire de calcul, préciser si 𝒉 est convexe ou concave
Montrer que l’équation 𝒉 𝒙, 𝒚 = 𝟒 permet de définir une fonction implicite 𝝋 au
voisinage du point 𝟒, 𝟖
c) Déterminer alors 𝑫𝑳𝟏 𝝋 𝒙 au voisinage de 𝟒

6)
a) Calculer les élasticités de 𝒇 et 𝒈 par rapport à 𝒚
b) En supposant que si 𝒇 augmente de 𝟒% alors 𝒈 diminue de 𝟐%
𝚫𝒙

𝚫𝒚

𝟎

𝟎

Calculer les variations relatives 𝐱 et 𝐲

Exercice 3 : (ESC SP2006)
I.
𝑺𝒐𝒊𝒕 ∶ 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏

𝒚+𝒙
𝒚−𝒙

1)
a) Déterminer le domaine de définition de 𝒇
b) Etudier l’homogénéité de 𝒇, sur son domaine de définition
c) En déduire l’identité d’Euler, vérifié par 𝒇
2)
a) Déterminer la différentielle totale de 𝒇
b) Montrer que l’équation 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟎 , définit implicitement 𝒚 en fonction de 𝒙 au voisinage
du point 𝟐, −𝟐
c) Calculer :
𝝋 𝒙 +𝟐
𝐥𝐢𝐦+
𝒙→𝟐
𝒙−𝟐 𝟐
𝝋, étant la fonction implicite
II.
Soit 𝒈 𝒙 = 𝒇 𝒙, 𝟏
1) Etudier la convexité de 𝒈 sur son domaine de définition
2) Calculer l’élasticité de 𝒈′ au point 𝒙𝟎 = 𝟏 et en déduire l’accroissement relatif de 𝒈′ 𝒙 , lorsque 𝒙
diminue de 𝟓%

Exercice 4 : (ISG SP2011)
𝑺𝒐𝒊𝒕 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 ∶ 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝑳𝒏 𝟏 +

𝒚
𝒙

1) Déterminer et représenter graphiquement le domaine de définition de 𝒇
2

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2) Calculer 𝒇′𝒙 𝒙, 𝒚 et 𝒇′𝒚 𝒙, 𝒚
3) Montrer que 𝒇 est homogène et en déduire une relation entre 𝒇 , 𝒇′𝒙 et 𝒇′𝒚
4) Montrer que 𝒇 admet une fonction implicite 𝝋 dérivable au voisinage de 𝟏, 𝟎 et calculer 𝝋′ 𝟏
5) 𝒇 admet-elle des extrémums ? si oui préciser leur nature

Exercice 5 : (ISG SC2011)
𝟐𝒙𝟑 − 𝟒𝒚𝟑
𝒔𝒊 𝒙, 𝒚 ≠ 𝟎, 𝟎
𝑺𝒐𝒊𝒕 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 ∶ 𝒇 𝒙, 𝒚 =
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏
1)
2)
3)
4)

Etudier la continuité de 𝒇 en 𝟎, 𝟎
La fonction 𝒇 est-elle homogène ?
Calculer 𝒇′𝒙 𝒙, 𝒚 pour 𝒙, 𝒚 ≠ 𝟎, 𝟎
En déduire l’expression de 𝒇′𝒚 𝒙, 𝒚 pour 𝒙, 𝒚 ≠ 𝟎, 𝟎

5) Etudier l’existence de 𝒇′𝒙 et 𝒇′𝒚 en 𝟎, 𝟎

Exercice 6 : (IHEC SP2005)
On considère la fonction 𝒇 définie par : 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙 − 𝒚 + 𝒆

𝒚−𝟑

𝑳𝒏 𝒙

1)
a) Déterminer et représenter dans le plan 𝒐, 𝒙; 𝒚 le domaine de définition 𝑫𝒇 de la
fonction 𝒇
b) Montrer que 𝑫𝒇 est un ouvert de ℝ𝟐
2)
𝝏𝒇

𝝏𝒇

a) Calculer 𝝏𝒙 𝒙, 𝒚 et 𝝏𝒚 𝒙, 𝒚 pour 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑫𝒇
b) Vérifier que 𝒇 𝟏, 𝟑 = −𝟐
c) Ecrire l’équation du plan tangent au point 𝟏, 𝟑, −𝟐 à la surface représentative de 𝒇
d) On se place au voisinage du point 𝑴𝟎 𝟏, 𝟑 ; on suppose que 𝚫𝒚 est le triple de 𝚫𝒙 et que
𝒇 augmente de 𝟎, 𝟏𝟓
Calculer les variations absolues 𝚫𝒙 et 𝚫𝒚 qui ont provoqué ce changement (Faire un calcul
approché)
3)
a) Calculer les élasticités partielles de 𝒇 au point 𝑴𝟎 𝟏, 𝟑
b) On se place toujours au point 𝑴𝟎 𝟏, 𝟑
Sachant que 𝒚 diminue de 𝟐%, quelle doit être la variation relative de 𝒙 pour que 𝒇 augmente de 𝟑%
(Faire un calcul approché)
3

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4)
a) Montrer que l’équation 𝒇 𝒙, 𝝋 𝒙

= −𝟐 et la condition 𝝋 𝟏 = 𝟑 définissent une

fonction implicite 𝝋 au voisinage de 𝟏
b) Donner le développement limité de 𝝋 au voisinage de 𝟏 à l’ordre 𝟏

Exercice 7 : (ISG SP2006)
1)
𝒙𝟐
𝒙𝒚𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒔𝒊 𝒙, 𝒚 ≠ 𝟎, 𝟎
𝑺𝒐𝒊𝒕 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 ∶ 𝒇 𝒙, 𝒚 =
𝒙 + 𝒚𝟐
𝟎 𝒔𝒊 𝒙, 𝒚 = 𝟎, 𝟎
a) Préciser le domaine de définition de 𝒇 et faire sa représentation graphique
b) Etudier la continuité de 𝒇 en 𝟎, 𝟎
c) Montrer que 𝒇 est homogène et en déduire sans calcul une relation entre les dérivées
partielles 𝒇′𝒙 , 𝒇′𝒚 𝒆𝒕 𝒇
2) Soit 𝑭 𝒙, 𝒚 = 𝑳𝒏 𝒇 𝒙, 𝒚
a) Calculer 𝒇′𝒙 et 𝒇′𝒚
b) En déduire les expressions de 𝑭′𝒙 et 𝑭′𝒚

Exercice 8 : (ISG SC2006)
𝒙𝒚 𝐭𝐚𝐧 𝒙
𝒔𝒊 𝒙, 𝒚 ≠ 𝟎, 𝟎
𝑺𝒐𝒊𝒕 ∶ 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
𝟎 𝒆𝒏 𝟎, 𝟎
1) Etudier la continuité de 𝒇 en 𝟎, 𝟎
2) Calculer les dérivées partielles en 𝟎, 𝟎
𝝏𝒇

3) En prenant le chemin 𝒚 = 𝒙 montrer que 𝝏𝒙 n’est pas continue en 𝟎, 𝟎
4) Montrer qu’il existe une fonction implicite 𝒚 = 𝛉 𝐱 au voisinage de

Exercice 9 : (ISG SC2006)
𝒚
𝑺𝒐𝒊𝒕 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 ∶ 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒙
𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏

𝒔𝒊 𝒙, 𝒚 ≠ 𝟎, 𝒚

1) Déterminer le domaine de définition de 𝒇
2) Montrer que 𝒇 est continue en 𝟎, 𝟎
4

𝝅
𝟒

, 𝟎 et calculer 𝛉′

𝝅
𝟒

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3) Calculer les dérivées partielles premières de 𝒇 pour tout point 𝒙, 𝒚 ≠ 𝟎, 𝒚
4) Montrer que 𝒇 est homogène et en déduire une relation entre 𝒇′𝒙 𝒆𝒕 𝒇′𝒚
5) Etudier l’existence de 𝒇′𝒙 au point 𝟎, 𝟏
6) On considère la fonction 𝒈 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏

𝒚
𝒙



𝝅
𝟒

Montrer que 𝒈 admet une fonction implicite 𝝋 au point 𝟏, 𝟏 et calculer 𝝋′ 𝟏
𝝅

𝝅

NB : − 𝟐 < 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝜶 < 𝟐

𝝅

𝒆𝒕 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟏 = 𝟒

Exercice 10 : (ISG SP2005)
Soit 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝑳𝒏 𝒙𝟑 − 𝒚 + 𝟏 𝒙𝟐 − 𝒚 + 𝟏
1) Déterminer le domaine de définition de 𝒇 et donner s représentation graphique
2) Calculer 𝒇′𝒙 𝒙, 𝒚 , 𝒇′𝒚 𝒙, 𝒚 et la différentielle 𝒅𝒇
3) On pose 𝒖 = 𝒙𝟑 − 𝒚 + 𝟏 et 𝒗 = 𝒙𝟐 − 𝒚 + 𝟏. Déterminer une fonction 𝒈 vérifiant :
𝒈 𝒖, 𝒗 = 𝒇 𝒙, 𝒚 et calculer sa différentielle 𝒅𝒈
4) Retrouver l’expression de 𝒅𝒇 à partir de celle de 𝒅𝒈
5) Calculer 𝒇 𝟎, 𝟎 . Montrer qu’il existe une fonction 𝚽 𝒙 définie au voisinage de 𝟎.
Préciser 𝚽′ 𝟎 et déterminer le développement limité de 𝚽 𝒙 au voisinage de 𝟎 et à l’ordre 𝟐

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