Séries de Fourier Développement en série de Fourier .pdf



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Enoncés

Développement en série de Fourier
Exercice 1 [ 00951 ] [correction]
Soit f une fonction continue 2π périodique.
On suppose que la série de Fourier de f converge uniformément. Montrer que
cette convergence a lieu vers la fonction f .

Exercice 2 [ 00952 ] [correction]
Soit f : R → R la fonction régularisée, 2π périodique, impaire, constante égale à 1
sur ]0, π[.
a) Calculer ses coefficients de Fourier trigonométriques.
b) Etudier la convergence simple ou uniforme de la série de Fourier vers f .
c) En déduire
+∞
+∞
X
X
(−1)p
1
et
2p
+
1
(2p
+
1)2
p=0
p=0
d) Calculer
+∞
+∞
X
X
1
(−1)n−1
et
n2
n2
n=1
n=1

Exercice 3 [ 00953 ] [correction]
Soit f : R → R l’application 2π périodique, paire, telle que

Exercice 4 [ 03176 ] [correction]
Soit f : R → R la fonction paire, 2π-périodique, définie par

4x2 − π 2
si x ∈ [0, π/2]
f (t) =
8xπ − 3π 2 − 4x2 sinon
a) Montrer que f est de classe C 1 et calculer exprimer sa dérivée.
b) Calculer les coefficients de Fourier trigonométrique de la fonction f .
c) En déduire la valeur de
+∞
X
(−1)n
n=0

k=0

f (x) = |cos x|
a) Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de f .
b) En déduire la valeur
+∞
X
(−1)n+1
n=1

4n2 − 1

Exercice 6 [ 00955 ] [correction]
Soit f : R → C, 2π-périodique, impaire et vérifiant
f (t) =

π−t
sur ]0, π]
2

a) Préciser la convergence de la série de Fourier de f . La convergence est-elle
uniforme ?
b) Calculer la série de Fourier de f .
c) En déduire la convergence et la valeur de
+∞
X
sin n
n
n=1

k=0

d) En déduire
+∞
+∞
X
X
1
1
et
2
4
n
n
n=1
n=1

(2n + 1)3

Exercice 5 [ 00954 ] [correction]
Soit f : R → R la fonction 2π périodique définie par

∀x ∈ [0, π] , f (x) = x
a) Calculer la série de Fourier de f .
b) Etudier la convergence simple ou uniforme de la série de Fourier de f .
c) Déterminer
+∞
+∞
X
X
1
1
et
(2k + 1)2
(2k + 1)4

1

d) Calculer
+∞
X
1
2
n
n=1

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Exercice 7 CCP MP [ 00956 ] [correction]
Soit la fonction f : R → R 2π périodique définie par
∀x ∈ ]−π, π] , f (x) = ex
a) Calculer les coefficients de Fourier exponentiels de f .
b) En déduire la valeur des sommes
+∞
+∞
X
X
(−1)n
1
et
2+1
2+1
n
n
n=0
n=0

Exercice 8 [ 00957 ] [correction]
Soient α ∈ R\Z et f : R → R la fonction 2π périodique définie par
f (x) = cos(αx) sur ]−π, π]
a) Déterminer les coefficients de Fourier an et bn de f .
b) En déduire les valeurs des sommes
+∞
+∞
X
X
(−1)n−1
1
et
2 − α2
2 − α2
n
n
n=1
n=1

c) En déduire enfin la valeur de
+∞
X
1
2
n
n=1

Enoncés

2

a) Montrer que f admet une série de Fourier convergente sur R.
Quel type de convergence est-ce ?
b) Expliciter les coefficients de Fourier de f .
c) Pour tout x ∈
/ πZ, montrer l’égalité


cotanx =

2x
1 X
+
2
x n=1 x − (nπ)2

Exercice 11 [ 00958 ] [correction]
Soient α ∈ R? et f : R → R la fonction 2π périodique définie par
f (x) = ch(αx) sur ]−π, π]
a) Déterminer les coefficients de Fourier an et bn de f .
b) En déduire les valeurs des sommes
+∞
+∞
X
X
(−1)n
1
et
2 + α2
2 + α2
n
n
n=1
n=1

Exercice 12 CCP MP [ 00959 ] [correction]
a) Domaine de définition de
S(t) =

+∞
X
k=0

Exercice 9 CCP MP [ 03695 ] [correction]
Soit α un réel non entier et f la fonction 2π-périodique donnée par
∀t ∈ ]−π, π] , f (t) = cos(αt)
a) Montrer que f est égale à sa somme de Fourier en précisant le type de
convergence de celle-ci.
b) Calculer la somme de Fourier de f .

Exercice 10 CCP MP [ 03598 ] [correction]
Soient α ∈ R\Z et f : R → R la fonction 2π périodique définie par

1
?
k 2 − t2

b) Calculer les coefficients de Fourier an et bn de f (x) = cos(αx) définie sur
[−π, π] avec α ∈ R\Z.
c) Sur quel domaine f coïncide avec son développement en série de Fourier ?
d) En déduire une expression de S(t).

Exercice 13 [ 00960 ] [correction]
Existe-t-il une suite (αn ) de réels telle que
∀t ∈ [0, π] , sin t =

+∞
X

αn cos(nt) ?

n=0

f (t) = cos(αt) sur ]−π, π]
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Enoncés

Exercice 14 [ 00961 ] [correction]

La série de Fourier de la fonction f paire 2π-périodique qui vaut x pour
x ∈ [0, π] converge-t-elle uniformément ? Que vaut sa somme ?

3

a) Montrer que f est définie sur R et étudier sa parité.
b) Montrer que f est développable en série de Fourier.
c) Calculer, en utilisant un logiciel de calcul formel, l’intégrale
Z

+∞

cos t
dt
b2 + t2

Exercice 15 Mines-Ponts MP [ 02883 ] [correction]
Soit α un réel non entier.
a) En utilisant la fonction 2π-périodique coïncidant avec x 7→ cos(αx) sur [−π, π],
calculer
+∞
X
(−1)n
1 + 2α2
α 2 − n2
n=1

d) En déduire les coefficients de Fourier de f .
e) Exprimer f à l’aide des fonctions usuelles.

b) En déduire

Exercice 18 [ 03227 ] [correction]
Soit f : R → C, 2π-périodique, impaire et vérifiant

+∞
X
(−1)n
n2
n=1

c) Ici 0 < α < 1. Montrer que
Z

+∞

0

tα−1
π
dt =
1+t
sin απ

Exercice 16 Mines-Ponts MP [ 02884 ] [correction]
Soient α ∈ R\Z et fα l’unique fonction 2π-périodique de R dans R telle que pour
tout x ∈ [−π, π],
fα (x) = cos(αx)
a) Calculer les coefficients de Fourier de fα .
b) Montrer que
+∞
X
(−1)n−1
απ
= 1 + 2α2
sin(απ)
n2 − α 2
n=1
c) Si 0 < α < 1, montrer que
Z

+∞

0

Exercice 17 Mines-Ponts MP
Soit a > 0, x réel. On pose

0 < x < π ⇒ f (x) =

π−x
2

a) Calculer
+∞
X
sin(nx)
S(x) =
n
n=1

b) Soit g : R → C, 2π-périodique, impaire, continue et définie par
g est affine sur [0, 1] et ∀x ∈ [1, π] , g(x) = S(x)
Démontrer
2
+∞
X
sin n
n=1

n

=

+∞
X
sin n
n
n=1

c) Que vaut
+∞
X
sin2 n
?
n4
n=1

π
tα−1
dt =
1+t
sin(απ)

[ 02885 ]

f (x) =

−∞

[correction]

+∞
X
n=−∞

a2

1
+ (x − 2nπ)2

Exercice 19 CCP PSI [ 03811 ] [correction]
Former le développement en série de Fourier de la fonction 2π-périodique donnée
par
f (t) = |sin t|
en précisant la nature de la convergence de cette série.

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Enoncés

4

Exercice 20 Centrale PC [ 03617 ] [correction]
Soit f : R → C une fonction 2π-périodique et k lipschitzienne. Pour n ∈ Z, on pose
Z 2π
1
f (t)e−int dt
cn (f ) =
2π 0
a) Pour tout h ∈ R, on définit la fonction
fh : R → C, x 7→ f (x + h) − f (x)
Calculer cn (fh ) pour tout n ∈ Z.
b) En déduire que

X
nh
(kh)2
2
2
sin
|cn (f )| 6
2
4
n∈Z

c) En utilisant la concavité de la fonction sinus, montrer que
X
2
n2 |cn (f )|
n∈Z

converge.
d) Que peut-on en conclure ?
Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 21 [ 02510 ] [correction]
On considère la fonction f définie sur R par
f (t) =

sin t + |sin t|
2

a) Préciser le mode de convergence de la série de Fourier de f .
b) En déduire
+∞
+∞
X
X
1
1
et
2−1
2 − 1)2
4n
(4n
n=1
n=1

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Corrections

Corrections

5

L’égalité de Parseval donne
+∞

Exercice 1 : [énoncé]
Notons S la série de Fourier de f et Sp les sommes partielles.
Puisque la fonction f est continue, il y a convergence en moyenne quadratique de
(Sp ) vers f .
Z 2π
1
2
|Sp (t) − f (t)| dt → 0
2π 0
Par hypothèse, il y a convergence uniforme de (Sp ) vers sa limite que nous avons
notée S et donc il y a aussi convergence en moyenne quadratique
Z 2π
1
2
|Sp (t) − S(t)| dt → 0
2π 0

16
1
1X
=
2 p=0 (2p + 1)2 π 2

donc

d)

+∞
P
n=1

+∞
X

1
n2

existe et
+∞
+∞
+∞
X
X
1
1
1X 1
=
+
n2
(2p + 1)2
4 p=1 p2
n=1
p=0

d’où

Exercice 2 : [énoncé]
a) f impaire donc

Aussi
∀n ∈ N, an = 0

bn =

1
π

Z

π

f (t) sin(nt)dt = 2
−π

1 − (−1)n


4
.
donc b2p = 0 et b2p+1 = (2p+1)π
On a aussi c0 = 0 et pour n ∈ Z, n 6= 0.
Z π
1
(1 − (−1)n )
cn =
f (t)e−i.nt dt =
2π −π
i.nπ

b) La fonction f étant C 1 par morceaux, la série de Fourier converge simplement
vers la régularisée de f .
La convergence ne peut pas être uniforme car la fonction limite n’est pas continue.
c) La convergence simple de la série de Fourier vers f (x) en x = π/2 donne :
+∞
X
4 sin (2p+1)π
2

p=0

d’où

(2p + 1)π

=

+∞
4 X (−1)p
=1
π p=0 2p + 1

f (t)2 dt = 1

−π

1
π2
=
(2p + 1)2
8
p=0

Par unicité de la limite pour la convergence en moyenne quadratique, on peut
affirmer f = S.

Pour n ∈ N? ,

π

Z

+∞
+∞
X
1
1
4X
π2
=
=
n2
3 p=0 (2p + 1)2
6
n=1
+∞
+∞
+∞
X
X
(−1)n−1
1
1X 1
π2
π2
π2
=

=

=
2
2
2
n
(2p + 1)
4 p=1 p
8
24
12
n=1
p=1

Exercice 3 : [énoncé]
a) Puisque f est paire :
∀n ∈ N? , bn = 0
Pour n ∈ N,
an =

1
π

Z

π

f (t) cos(nt) dt =
−π

2
π

Z

π

t cos(nt) dt
0

Pour n = 0 : a0 = π.
Pour n > 0 :

π
Z π
2 t
2
2((−1)n − 1)
an =
sin(nt) −
sin(nt) dt =
π n
nπ 0
n2 π
0
Aussi
c0 =

1


Z

π

t dt =
−π

π
2

?

et pour n ∈ Z :
+∞
X
(−1)p
π
=
2p + 1
4
p=0

cn =

1


Z

π

−π

f (t)e−i.nt dt =

1
π

Z

π

t cos(nt)dt =
0

(−1)n − 1
n2 π

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Corrections
et donc f est de classe C 1 sur [0, π/2] avec

Par suite
+∞
+∞
X
π
4 X cos(2k + 1)t
1
an cos(nt) = −
S(f )(t) = a0 +
2
2
π
(2k + 1)2
n=1
k=0

b) f est continue et C 1 par morceaux, la convergence est donc normale a fortiori
simple et uniforme.
c) S(f )(t) = f (t). Pour t = 0, on obtient
+∞
X
k=0

π2
1
=
2
(2k + 1)
8

Par la formule de Parseval :
1


Z

π

(f (t))2 dt =

−π

+∞
+∞
π2
8 X
1 2 1X 2
1
a0 +
a2k+1 =
+ 2
4
2
4
π
(2k + 1)4
k=0

Or
1



π
π2
1 1 3
(f (t)) dt =
t
=
π 3 0
3
−π

Z

π

2

+∞
X

n=1

Sur ]π/2, π], on a
f (x) = 8xπ − 3π 2 − 4x2
et cette relation est aussi valable pour x = π/2. On en déduit que f est de classe
C 1 sur [π/2, π] avec
fd0 (π/2) = 4π et fg0 (π) = 0
Par parité et périodicité, on peut affirmer que f est de classe C 1 sur R (et un
dessin serait sûrement très convainquant. . . ) et f 0 est une fonction impaire,
2π-périodique avec

8x
si x ∈ [0, π/2]
0
f (t) =
8π − 8x sinon
a) Puisque la fonction f est paire, les coefficients bn sont nuls et
Z
2 π
f (t) cos(nt) dt
an =
π 0

4

k=0

d)

k=0

fd0 (0) = 0 et fg0 (π/2) = 4π

ce qui donne

donc

+∞
P

6

1
n2

π
1
=
(2k + 1)4
96

a2n = 0 et a2n+1 =

existe et
+∞
+∞
+∞
X
X
1
1X 1
1
=
+
n2
(2k + 1)2
4
k2
n=1
k=0

d’où

De même on obtient

+∞
X
π2
1
=
n2
6
n=1
+∞
X
1
π4
=
n4
90
n=1

k=1

32.(−1)n+1
π(2n + 1)3

après quelques calculs pénibles, ou plus simplement après exploitation de la
relation
bn (f 0 ) = −nan (f )
voire de la relation
an (f 00 ) = nbn (f 0 ) = −n2 an (f )
et en considérant la pseudo dérivée d’ordre 2 de f .
c) Puisque la fonction f est de classe C 1 , elle est égale à sa somme de Fourier et
donc
+∞
32 X (−1)n+1
∀x ∈ R, f (x) =
cos((2n + 1)t)
π n=0 (2n + 1)3
En évaluant pour x = 0, on obtient
+∞
X

(−1)n
π3
=
3
(2n + 1)
32
n=0

Exercice 4 : [énoncé]
a) Sur [0, π/2], on a
f (x) = 4x2 − π 2

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Corrections

Exercice 5 : [énoncé]
a) La fonction f est paire. On obtient pour n ∈ N
a2n (f ) =

Exercice 7 : [énoncé]
a) Par définition, pour n ∈ Z,

(−1)n+1 4
et a2n+1 (f ) = 0
π(4n2 − 1)

?

et bn (f ) = 0 pour n ∈ N .
b) La fonction f est de classe C 1 par morceaux, il y a donc convergence uniforme
de la série de Fourier vers f . En x = 0, on obtient :
+∞

2 X (−1)n+1 4
f (0) = +
π n=1 π(4n2 − 1)
donc

7

+∞
X
(−1)n+1
π−2
=
2−1
4n
4
n=1

cn =

1


f (t) =

+∞
X
sin(nt)
n
n=1

b) Pour t = 1, on obtient
+∞
X
sin n
π−1
=
n
2
n=1

c) Par la formule de Parseval
Z π
+∞
1
1X 1
2
=
|f (t)| dt
2 n=1 n2
2π −π
donc

Z
+∞
X
π
1
2 π (π − t)2
1
π2
=
dt =
−(π − t)3 0 =
2
n
π 0
4

6
n=1

f (t)e−int dt

0

Après calcul, on obtient
cn (f ) =

shπ (−1)n
π 1 − in

b) La fonction f est de classe C 1 par morceaux (mais pas continue) donc la série
de Fourier converge simplement vers la fonction f ? régularisée de f avec
x
e
si x ∈ ]−π, π[
?
f (x) =
ch(π) si x = π
Ainsi
∀x ∈ R, f ? (x) =

Exercice 6 : [énoncé]
a) f est C 1 par morceaux et régularisée donc la série de Fourier de f converge
simplement vers f en vertu du théorème de Dirichlet.
La convergence ne peut être uniforme car si telle est le cas f serait continue en 0
en tant que limite uniforme d’une suite de fonctions continues.
b) La fonction f est paire. On obtient an = 0 et par intégration par parties
bn = 1/n.
La série de Fourier de f permet d’écrire



Z

+∞
shπ X (−1)n inx
e
π n=−∞ 1 − in

Pour x = 0, on obtient
+∞
X
π
(−1)n
=
shπ n=−∞ 1 − in

Or


+∞
+∞
+∞
X
X
X
(−1)n
1
1
(−1)n
n
= −1 +
(−1)
+
= −1 + 2
1 − in
1 − in 1 + in
n2 + 1
n=−∞
n=0
n=0
Par suite

+∞
X
(−1)n
1
π
=
1
+
n2 + 1
2
shπ
n=0

De même avec x = π, on obtient
+∞
X
n=0

n2

1
1
= (1 + π coth π)
+1
2

Exercice 8 : [énoncé]
a) La fonction f est paire. On obtient bn = 0 pour n > 1 et
an = (−1)n−1

2α sin(απ)
π(n2 − α2 )

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Corrections

pour n ∈ N. La série de Fourier de f converge normalement vers f car celle-ci est
continue et C 1 par morceaux. Par suite
f (x) =

+∞
X

2α sin(απ)
sin(απ)
+
(−1)n−1
cos(nx)
απ
π(n2 − α2 )
n=1

8

b) La fonction f est paire. Après calculs
an = (−1)n−1
et donc la série de Fourier de f est
+∞

b) Pour x = 0, on obtient


+∞
X
(−1)n−1
1
απ
−1
=
n2 − α 2
2α2 sin(απ)
n=1
et pour x = π,
+∞
X

1
1 − απ cot απ
=
2 − α2
n
2α2
n=1
c) Il y a convergence normale de

+∞
P
n=1

1
n2 −α2

pour α ∈ [0, 1/2] donc quand

+∞
+∞
X
X
1
1
=
lim
2
2
α→0
n
n − α2
n=1
n=1

sin(απ) X
2α sin(απ)
(−1)n−1
+
cos(nt)
2 − α2 )
απ
π(n
n=1

Exercice 10 : [énoncé]
a) La fonction f est continue et de classe C 1 par morceaux sur R car elle l’est sur
[−π, π]. On en déduit que la série de Fourier de f converge uniformément vers f .
b) Après calculs, pour n ∈ N,
an = (−1)n−1

cot x =

1 1
− x + o(x)
x 3

2α sin απ
et bn = 0
π(n2 − α2 )

c) Pour tout t = π, la convergence de la série de Fourier de f donne
+∞

cos(απ) =

Quand x → 0,

sin απ X 2α sin(απ)
+
απ
π(α2 − n2 )
n=1

et en posant x = απ on obtient

donc quand α → 0,

+∞

2

1 − απ cot απ
π

2α2
6
d’où

2α sin(απ)
et bn = 0
π(n2 − α2 )

+∞
X
1
π2
=
2
n
6
n=1

cos x =

sin x X 2x sin x
+
x
x2 − (nπ)2
n=1

ce qui fournit la relation demandée.

Exercice 11 : [énoncé]
a) La fonction f est paire. On obtient bn = 0 pour n > 1 et

Exercice 9 : [énoncé]
a) Par périodicité

an = (−1)n
f (−π) = f (π) = cos(απ) = cos(−απ)

Ainsi
∀t ∈ [−π, π] , f (t) = cos(αt)
On peut donc affirmer que f est continue et de classe C 1 par morceaux. On en
déduit que la série de Fourier de f converge uniformément vers f sur R.

2αshαπ
π(α2 + n2 )

pour n ∈ N. La série de Fourier de f converge normalement vers f car celle-ci est
continue et C 1 par morceaux. Par suite
+∞

f (x) =

shαπ X
2αshαπ
cos nx
+
(−1)n
2 + n2 )
απ
π(α
n=1
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Corrections

9

Si n = 1,

b) Pour x = 0, on obtient


+∞
X
1
απ
(−1)n
=

1
n2 + α 2
2α2 sh(απ)
n=1

a1 (f ) = 0
Si n 6= 1,
an (f ) =

et pour x = π,
+∞
X

n2

n=1


π

π
1
2(1 + (−1)n )
1
cos(n + 1)t
cos(n − 1)t

=−


π
n+1
π
n−1
π(n2 − 1)
0
0

1
απ coth(απ) − 1
=
2

2α2

Exercice 12 : [énoncé]
a) S(t) est définie sur R\Z.
2α sin απ
b) an = (−1)n−1 π(n
2 −α2 ) et bn = 0.
c) Puisque f est continue et C 1 par morceaux, le théorème de convergence
normale assure que la série de Fourier de f converge vers f sur R.
d) Pour x = π, on obtient :
+∞
sin απ X 2α sin απ
cos απ =

απ
π(n2 − α2 )
n=1

Exercice 14 : [énoncé]
Le problème est qu’ici f n’est pas de classe C 1 par morceaux puisqu’elle n’admet
de dérivée à droite et à gauche en 0.
Pour n > 0, on a bn = 0 et
Z
Z π
π
2 π√
2 √
1
sin(nx)

an =
x cos(nx) dx =
x sin(nx) 0 −
dx
π 0
πn
nπ 0
x
donc
an = −

1


Z

π

0

sin(nx)
1

dx = − 3/2
x
n π
Z

n=1

n2

1
1
π cot απ
=

− α2
2α2


puis
S(t) = −

1
π cot απ

2



Exercice 13 : [énoncé]
Soit f la fonction 2π périodique paire définie sur [0, π] par f (t) = sin t. f est
continue et C 1 par morceaux. Sa série de Fourier converge donc normalement vers
f et cela permet d’écrire
∀t ∈ [0, π] , sin t =

+∞
X
1
a0 (f ) +
an (f ) cos(nt)
2
n=1

0

sin(u)
√ du
u

0

+∞

sin u
√ du
u

est convergente comme on peut le vérifier à l’aide d’une intégration par parties sur
[1, +∞[

Par conséquent, an = O 1/n3/2 donc la série de Fourier de f est normalement
convergente.
Etant continue, la série de Fourier converge en moyenne quadratique vers f et
donc sa somme est égale à f .

Exercice 15 : [énoncé]
a) La fonction 2π-périodique étudiée est continue et de classe C 1 par morceaux
dont développable en série de Fourier.
an =

2α(−1)n sin(απ)
et bn = 0
π(α2 − n2 )

La valeur en 0 de ce développement permet d’établir :

d’où le résultat.
2
an (f ) =
π



Or l’intégrale

donc
+∞
X

Z

Z
0

π

1
sin t cos(nt) dt =
π

Z

π

sin(n + 1)t − sin(n − 1)t dt
0

1 + 2α2

+∞
X
(−1)n
απ
=
2 − n2
α
sin(απ)
n=1
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b) Par convergence normale, la fonction α 7→

+∞
P
n=1

(−1)n
n2 −α2

Corrections

est continue sur [0, 1/2].

10

on obtient au terme des calculs
an = (−1)n−1

En passant à la limite quand α → 0, on obtient



+∞
X
(−1)n
1
απ
π2
=
lim

1
=

α→0 2α2
n2
sin(απ)
12
n=1

2α sin απ
π(n2 − α2 )

pour n ∈ N.
b) La fonction f est continue et de classe C 1 par morceaux donc sa série de
Fourier converge uniformément vers elle-même. On peut alors écrire

c)
+∞

Z +∞ α−1
tα−1
t
dt +
dt
1
+
t
1
+t
0
0
1
Z 1X
Z
+∞
N Z 1
X
dt =
(−1)n tα−1+n dt =
(−1)n tα−1+n dt+
Z

Z
0

1

tα−1
1+t

tα−1
dt =
1+t

Z

+∞

1

0 n=0

n=0

0

∀x ∈ R, f (x) =
1

+∞
X

ce qui donne
(−1)n tα−1+n dt
+∞

0 n=N +1

Par le critère spécial des séries alternées,
Z
Z
+∞

1 X
1
1


(−1)n tα−1+n dt 6
tα+N dt =
→0


0
N
+
α+1
0

2α sin απ
sin απ X
+
(−1)n−1
cos(nx)
2 − α2 )
απ
π(n
n=1

f (x) =
Pour x = 0, on obtient

n=N +1

1=
donc

+∞ Z 1
+∞
X
X
(−1)n
tα−1
n α−1+n
dt =
(−1) t
=
1+t
n+α
n=0 0
n=0

1

Z
0

a0 X
+
an cos(nx)
2
n=1

+∞
sin απ
sin απ X (−1)n−1
+ 2α2
απ
απ n=1 n2 − α2

puis la relation voulue.
c) La fonction

Par u = 1/t,

f : t 7→
+∞

Z
1

tα−1
dt =
1+t

Z
0

1

+∞
X
u−α
(−1)n−1
du =
u+1
n−α
n=1

par la même démarche qu’au dessus.
Par suite
Z +∞ α−1
+∞
X
t
1
(−1)n
π
dt = + 2α
=
2 − n2
1
+
t
α
α
sin(απ)
0
n=1

tα−1
1+t

est définie et continue par morceaux sur ]0, +∞[. On vérifie f (t) ∼ tα−1 et
t→0

f (t)



t→+∞

1/t2−α ce qui assure l’intégrabilité de f .

Par sommation géométrique
Z

1

0

tα−1
dt =
1+t

Z

+∞
1X

(−1)n tn+α−1 dt

0 n=0

En décomposant la somme en deux
Exercice 16 : [énoncé]
a) La fonction f est paire donc bn = 0 pour n > 1 et
Z
2 π
an =
cos(αt) cos(nt) dt
π 0
En exploitant
1
cos(a) cos(b) = (cos(a + b) − cos(a − b))
2

Z

1

0

tα−1
dt ==
1+t

Z

N
1X

(−1)n tn+α−1 dt +

0 n=0

Z

1

+∞
X

(−1)n tn+α−1 dt

0 n=N +1

D’une part
Z

N
1X

0 n=0

(−1)n tn+α−1 dt =

N
+∞
X
X
(−1)n
(−1)n
−−−−−→
n + α N →+∞ n=0 n + α
n=0
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Corrections

la convergence de la série étant acquise par le critère spécial des séries alternées.
D’autre part
Z
Z
+∞
1 X

1


n n+α−1
(−1) t
dt 6
tN +α dt =

0

N +1+α
[0,1[
n=N +1

la majoration de la somme étant obtenue par majoration du reste d’une série
vérifiant le critère spécial des séries alternées.
On peut alors affirmer en passant à la limite quand N → +∞
Z
0

+∞

1

1
1
+ 2
2
+ (x − 2nπ)
a + (x + 2nπ)2
P
P 0
fn est de classe C 1 ,
fn converge simplement et
fn converge normalement sur
[−π, π] donc f est continue et C 1 par morceaux donc développable en série de
Fourier.
c)
Z +∞
cos t
πeb
dt =
2
2
b
−∞ b + t
fn (x) =

1
an =
π

Puisque par changement de variable
Z

Posons

α−1

t
dt =
1 + t u=1/t

Z

1

0

−α

u
du
u+1

Z

1
f (t) cos(nt) =
π


Z
1

+∞

+∞
X
tα−1
(−1)n
dt =
1+t
n + (1 − α)
n=0

On en tire
+∞

Z
0

+∞

0

+∞

π

−π

cos(nt)
1
dt+
a2 + t2
π

Z

+∞
π X

cos(nt)
cos(nt)
+ 2
2 + (t − 2nπ)2
a
a
+
(t + 2nπ)2
−π n=1

+∞ Z π
1 X
cos(nt)
dt
2
π n=−∞ −π a + (t − 2nπ)2

En translatant les intégrales,
Z
Z
n +∞ cos u
1 +∞ cos(nt)
dt
=
du
an =
π −∞ a2 + t2
π −∞ b2 + u2

+∞

tα−1
1 X (−1)n X (−1)n−1
dt = +
+
1+t
α n=0 n + α n=1 n − α

avec b = an pour n 6= 0 et a0 = a1 .
e)

et finalement
Z

Z

Par convergence de la série des intégrales des valeurs absolues,
an =

on a aussi

a2

d) f est paire donc bn = 0 pour tout n ∈ N? .
Pour n ∈ N,

+∞
X
(−1)n
tα−1
dt =
1+t
n+α
n=0

1

11

+∞
X
1
(−1)n−1
tα−1
π
dt = + 2α
=
2 − α2
1+t
α
n
sin(απ)
n=1

f (t) =



+∞
1
1 X an
1
1
1 ea (cos t − 1)
+
−1 + Re
e cos(nt) =
=
a+it
2a a n=1
a
1−e
a 1 − 2ea cos t + ea

(sauf erreur. . . )
Exercice 17 P
: [énoncé]
P
1
a) Les séries
a2 +(x−2nπ)2 et
n>1

n>1

1
a2 +(x+2nπ)2

sont absolument convergentes

donc f est définie sur R.
+∞

X
1
f (x) = 2
+
2
a +x
n=1



1
1
+ 2
2
2
a + (x − 2nπ)
a + (x + 2nπ)2

est paire.
b) Par translation d’indice, on observe que f est 2π-périodique.



Exercice 18 : [énoncé]
a) La fonction f est de classe C 1 par morceaux et régularisée donc développable
en série de Fourier.
an = 0 et par intégration par parties bn = 1/n.
Le développement en série de Fourier de f s’écrit
f (x) =

+∞
X
sin(nx)
= S(x)
n
n=1
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Corrections

b) Pour x = 1, on obtient

12

donc
+∞
X
π−1
sin n
=
n
2
n=1

La fonction g est de classe C 1 par morceaux et continue donc développable en
série de Fourier.
an = 0 et
Z
Z
2 1 π−1
2 π π−t
bn =
t sin(nt) dt +
sin(nt) dt
π 0
2
π 1
2
Après calculs
sin n
n2

bn =
On a alors

+∞
+∞
X
X
sin2 n
sin n
=
S(1)
=
2
n
n
n=1
n=1

g(1) =

nh
2
|cn (f )|
2
puis par la formule de Parseval et la lipschitzianité de f

Z 2π
X
nh
1
1
(kh)2
2
2
sin2
|cn (f )| = ×
|fh (t)| dt 6
2
4 2π 0
4
2

|cn (fh )| = 4 sin2

c) Par la formule de Parseval

n∈Z

c) Par la concavité de la fonction sinus sur [0, π/2], le graphe est au dessus de la
corde donc
2
∀x ∈ [0, π/2] , sin x > x
π
Ainsi pour |nh| 6 π on a

n2 h2
nh
2
2
2
|cn (f )| 6 sin
|cn (f )|
2
π
2
et donc

+∞
1 X sin2 n
1
=
4
2 n=1 n
π

Z

π

2

|g(t)| dt =
0

(π − 1)2
6


X n2 h2
X
nh
(kh)2
2
2
2
|c
(f
)|
6
sin
|c
(f
)|
6
n
n
π2
2
4
nZ

|nh|6π

Ainsi
X

Exercice 19 : [énoncé]
La fonction f est paire, continue et de classe C 1 par morceaux. Sa série de Fourier
converge donc uniformément vers elle-même. Après calculs, on obtient
+∞

2 X
4

cos(2pt)
π p=0 π((2p)2 − 1)

f (t) =

Exercice 20 : [énoncé]
a) Par 2π-périodicité
Z


−int

f (t + h)e
0

Z

2π+h
−inu inh

f (u)e

dt =

e

Z
du =

h

0



f (u)e−inu einh du

|nh|6π

2

n2 |cn (f )| 6

(kπ)2
4

Ceci valant pour tout h > 0, P
on peut en considérant h → 0+ assurer que les
2
sommes partielles de la série
n2 |cn (f )| sont bornée et que donc cette série
converge.
d) Pour tout t ∈ R,




1 1
2
2
sup cn (f )eint = |cn (f )| 6
+
n
|c
(f
)|
n
2 n2
t∈R
en vertu de l’inégalité 2ab 6 a2 + b2 . Par comparaison de séries à termes positifs,
on peut affirmer la convergence normale de la série des fonctions t 7→ cn (f )eint .
Cette convergence normale entraîne une convergence en moyenne quadratique qui
ne peut avoir lieu que vers f (qui est continue car lipschitzienne). On peut donc
conclure que la série de Fourier de f converge normalement vers f sur R.

donc
cn (fh ) = (einh − 1)cn (f )
b) On a
cn (fh ) = 2ieinh/2 sin

nh
cn (f )
2

Exercice 21 : [énoncé]
a) La fonction f est continue, 2π-périodique et de classe C 1 par morceaux. La
série de Fourier de f converge donc uniformément vers f .
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Corrections

13

b) Après calculs
a2n (f ) = −

2
, a2n+1 (f ) = 0
π(4n2 − 1)

et
b1 (f ) = 1/2 et bn (f ) = 0 pour n > 1
La série de Fourier de f est donc
+∞
X
1
1
2
+ sin(t) +

cos(nt)
2 − 1)
π 2
π(4n
n=1

En calculant en t = 0, on obtient

X

1
1
=
2−1
4n
2
n=1
(ce qui aurai pu aussi s’obtenir par décomposition en éléments simples puis
télescopage).
Par la formule de Parseval
+∞
1
1
1
1
2 X
=
+
+
2
2
2
4

8 π n=1 (4n − 1)2

et donc

+∞
X
n=1

(4n2

π2
1
1
=

2
− 1)
16 2

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