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Devoir de Synthèse n 1, Maths, 2013, 2014 .pdf



Nom original: Devoir de Synthèse n 1, Maths, 2013, 2014.pdf

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Etablissement : Lycée Manhal Sousse
Professeur : Zantour Hamdi
Classe : 2e année
Section : Science
Trimestre 1

Mardi 3 décembre 2013

Devoir de Synthèse N◦ 1
Mathématiques

Exercice 1
Répondre par vrai ou faux en justifiant votre choix.


1. Si −
a1 et −
a2 sont deux vecteurs non nuls alors





dét(3 a , 3 −
a ) = 3 dét(−
a ,−
a ).
1

2

1

2

2. Soit a, b >
0. √
Si a est une racine
carrée de b, alors les

a
b



et −
v
sont colinéaires.
vecteurs −
u √
b
a a




5−1
3 + 1 ( 3 + 1)( 5 − 1)
3. √
−√
=
.
4
3−1
5+1
4. Le nombre 1, 8 est une valeur approchée à 10−1 près par


excès de π. ( On donne : π ≈ 1, 772453851 ).
Exercice 2
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A

√ 2
1. Montrer que :
18 − 8 = 2.
2. Montrer que :
3. Montrer que :



√ 2
27 − 12 = 3.



√ 2
45 − 20 = 5.
1

4. Ordonner alors du plus petit au plus grand les nombres
réels
√ : √




12 − 27, 20 − 45 et 8 − 18.
Partie B
1. Montrer, en utilisant deux méthodes différentes, que :

√ 3 √
32 − 18 = 8
2. En déduire qu’on a :


√ −3
2
32 − 18
=
4
Exercice 3
Les parties suivantes sont indépendantes.
~ On note ϑ l’ensemble des vecteurs du plan.



Soit (−
u ,−
v ,−
w ) ∈ ϑ3 .
Simplifier chacun des vecteurs suivants :







x = 2 (6−
u ) − 6 (−
w − 2−
v ) − 3 (4−
u − 2−
w ) − 3 (4−
v ).
1. →





5
3
1
5
1
1








w −2 −
u + −
v + →
w +6 −
u + −
v .
2. →
y =5
10
2
2
4
3
2

→ −


~ Soit O, i , j un repère orthonormée et soit →
u un

vecteur tel que
(−3 −
u ) soit normé.

− −
→ →
−1




On donne : v
et w = 5 i + j − −
v.
2

1. Calculer k6−
u k.



2. Déterminer les composantes du vecteur →
w.


3. Montrer que : −
v ⊥−
w

2

Exercice
4

→ −

Soit O, i , j un repère orthonormée.
Soient les points A(−2, −2), B(−5, 3), C(4, 3) et D(3, −2).
1. Placer les points A, B, C et D.
−−→
2. Déterminer les composantes de chacun des vecteurs AD
−−→
et CD.
−−→
−−→
3. Déterminer les
composantes
du
vecteur
2
AD
+
3
CD

→ −

dans la base 2 i , 3 j .
−−→ −−→
4. a/ Calculer dét(AD, CD).
b/ En déduire que ADC est un triangle puis calculer son
aire.
c/ Déterminer les coordonnées du point G centre de
gravité du triangle ADC.
−−→ −−→
5. a/ Calculer dét(AD, BC).
b/ En déduire que le quadrilatère ABCD est un trapèze.
6. Soit les points E = A ? B et F = C ? D.
Montrer que l’on a :
−→ 1 −−→ −−→
EF =
BC + AD
2
Exercice 5
On considère le nombre réel :



T = |3 2 − 1| − 3| 2 − 2| + 2|4 2 − 7| + 1
1. Montrer que l’on a :


T =8− 8
√ 3

2. a/ Vérifier qu’on a : 8 =
2
b/ En déduire que l’on a :

√ √

T =2 2 3+ 2
2−1
3



3. On donne : 2 ≈ 1, 414213562.
a/ Donner une valeur approchée de T à 10−3 près.
b/ Donner les valeurs approchées par défaut et par excès
de T à 10−3 près.
c/ Donner un encadrement de T d’amplitude 0, 001.
4. a/ Montrer que :


T −1 =

4+ 2
28

b/ Trouver l’arrondi au dixième et celui au centième de
T −1.

Bon Travail


4


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