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S1 3e Math 2014 .pdf


Nom original: S1 3e Math 2014.pdf

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'

$

Lycée Tahar Sfar Sousse

e`me

3

Synthèse N°:1

M2

Durée = 2h

*******

Mathématiques

03 Décembre 2013

&

%

Exercice N°1 (5 points)

(

Soit la fonction f dé nie sur R\{0} par f (x) =

x2 +x−2
2
√x −x
x2 +

si x ∈] − ∞, 1[ \{0}
3 − 2x + 3 si x ∈ [1, +∞[

1.

Calculer lim f (x) .

2.

Calculer lim f (x) et limf (x). Interpréter géométriquement les résultats.

x→+∞

x→−∞

x→0

Montrer que f est continue en 1.
4. Montrer que la droite 4 d'équation y = −x + 3 est une asymptôte oblique à la courbe de
f au voisinage de +∞.
3.

Exercice N°2 (5 points)

Dans le graphique ci-dessous (Cf ) désigne la courbe représentative
dans un repère orthonormé d'une fonction f dénie sur R\{−2, 1}.
Par lecture graphique répondre aux questions suivantes :
1.

Ecrire les équations des asymtôtes à (Cf ) .

2.

f est elle continue sur son ensemble de dé nition? Justi er.

3.

f admet-elle une limite en −2 ? Justi er. f admet-elle une limite en 1 ? Justi er.

4.

Dresser le tableau de variation de f sur ] − 2, +∞[.

5.

Calculer lim f (x) , lim

6.

La fonction g(x) = |f (x)| est elle continue sur son ensemble de dé nition? Justi er.

x→−∞

p

x→+∞



(x)
1
, lim− f (x)
et lim f (x) − 21 x .
f (x) , lim f1−x
x→ 1+

page :

x→ 0

x→+∞

Exercice N°3 (4 points)

~~
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct
√ (O,√i, j) . On
√ donne
√ les points A et B
de coordonnées cartésiennes respectives
+ 3,−1- 3) et ( 3,- 3) et
√ (−1

C le point de coordonnées polaires ( 2, − 4 ).

Déterminer les coordonnées polaires de B et coordonnées cartésiennes de C .
Construire le point B .
2. Montrers que OBAC est un rectangle . Construire le point A.
1.

−→ˆ−−→

[2π]. En déduire les coordonnées polaires de A.

3.

Montrer que (OA, OB) ≡

4.

Répondre par vrai ou Faux en justi ant :

π
6

−−→ −→
det(OB, AO)=−2
(b) cos(x − 13π) − sin(x −
(a)


2 )

= 0.

Exercice N°4 (6 points)

π

~\
~ )≡ [2π ].
On considère dans le plan orienté un triangle ABC rectangle en A tel que (BC,
BA
3
Soit 4 la tangente en A au cercle (ϕ) circonscrit au triangle ABC . La parallèle à (AB)
menée de C coupe 4en T.
−→ −−→

−→ −→

−→ −→

−→ −→

1.

Déterminer la mesure principale de (CA, CB), (AC, AT ), (AB, T A) et (AC, T C).

2.

Soit I le milieu de [AT ].
Montrer que AIC est un triangle équilatéral.
(b) Montrer que la droite (IC) est la tangente en C au cercle (ϕ).
(a)

3.

Soit D un point du segment [AB] distinct de A et B .
La parallèle à 4 menée de D coupe [AC] en E .
−−→ˆ−−→
0
Montrer que (DB, DE) ≡ 5π
6 [2π] et tracer le cercle(ϕ )circonscrit au triangle BCE .

.


−−→ˆ−−→
4. Soit E1 =
M ∈ P tel que (M B, M E) ≡ −π
6 [2π] . Montrer que C ∈ E1 et déterminer E1 .


−−→ˆ−−→
.
5. Soit E2 =
M ∈ P tel que (M B, M E) ≡ 5π
6 [2π] Montrer que D ∈ E2 et déterminer E2 .


4
(ϕ)
page :

2


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