Devoir de synthأ¨se nآ°1 3أ¨me 13 14 .pdf

Lycée Majida Boulila Sfax
Devoir synthèse n °1
Mr Jarraya Maher
2h : le 2/12/2013
3Maths
Exercice n°1(3pts)
Dans la figure ci-dessous, on a représenté la courbe représentative (C) d’une fonction dans un repère
orthonormé
*(C) admet à gauche en O une demie tangente verticale dirigée vers le haut
*(C) admet à droite en O une demie tangente horizontale
Répondre graphiquement aux questions suivantes :
1) Déterminer
2) a)Déterminer
b) est –elle dérivable en 1 ? Justifier.

Exercice n°2(6pts)
Soit la fonction définie par
est sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé direct

.

1) a) Déterminer le domaine de définition de .
b) Calculer. lim f ( x) Interpréter graphiquement le résultat.
x 

c)Montrer que la droite
2) a)Montrer que

est une asymptote à au voisinage de

.

est continue en 1.

b) Etudier la dérivabilité de f en 1. Interpréter graphiquement le résultat.
3) Soit

la restriction de

à l’intervalle

.

est sa courbe représentative dans un repère

orthonormé direct
a) Montrer que

.

b) Déterminer les points de

en lesquels les tangentes sont perpendiculaire à la droite

.
c) Soit
d’abscisses

deux réels de

tel que

.Montrer que les tangentes à

sont parallèles

4) Soit h la restriction de f sur

.

a)Montrer que h est dérivable en tout réel a de

et

 x2  x  2  2x  2 

 et lim  2h( x)  xh(2) 
lim
b) Déduire la limite de
2
x2 
x 2

x  x6
x2





1

aux points

Exercice n°3(5pts)
P est le plan orienté dans le sens direct.




Soit un triangle ABC tel que ( AB , AC)  π [2π] et ( BA , BC)  - π [2 π] . On prend long [AB] = 6 cm.
4
3


1) Vérifier que ( CA , CB)  5π [2 π] .
12


2) Déterminer et construire l’ensemble  = { M  P / ( MC , MB)  5π [2 π] }.
12
3) Soit E le point de  tel que le triangle CBE soit isocèle de sommet principal C.


a- Montrer que ( BE , BC)  5π [2 π] .
12
b- En déduire que les droites (BE) et (AC) sont parallèle.
4) On note ζ le cercle circonscrit au triangle ABC. La droite (BE) recoupe ζ en F. Montrer que le
quadrilatère ACEF est un parallélogramme
Exercice n°4(6pts)
Soit OAB un triangle rectangle en O , tel que OA = 4 et OB = 3
et soit H le projeté orthogonal de O sur [AB].
1) Montrer que AO . AB = 16 puis en déduire AH et cos(OAB)
2) Soit C et E deux points tels que C  [OB] avec OC = 2
et E  [OA] avec OE = 3 .On construit le rectangle OCDA.
a- Montrer que AE . AC  AD . AC .
b- En déduire que les droites ( ED) et ( AC) sont perpendiculaires .
3) Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( O , OI , OJ ) tel que I  [OA] et J  [OB]
On considère le point K milieu de [EJ].
a- Donner les coordonnées des points : I , J , B , E et K.
b- En déduire que OK et BI sont orthogonaux.
4) a- Montrer que pour tout point M de P on a : ME . ( MO  MC ) = 2 MK² - 5 .
b- En déduire les ensembles suivants :
ζ = { M  P / ME . MO  ME . MC = 13 }  = { M  P / ME . MO  ME . MC - 2 MA² = - 5 }.

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