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d+synthese+1+bac+sc++2013 2014 .pdf



Nom original: d+synthese+1+bac+sc++2013-2014.pdf
Auteur: Bouabid

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Mathématiques

Devoir de Synthèse N°1

Lycée : Chabbi
4 ème Sc.Exp 1+2
Date : le 4/12/2013

Durée : 2 heures
Coefficient : 3

Prof : Ayada .M

Exercice n°1 ( 4points) :
Partie A Répondre par vrai ou faux en justifiant votre réponse
Le tableau ci-dessous est celui d’une fonction f définie et deux fois dérivable sur IR .
x

-

f ’’(x)
f ‘(x)
1) f est strictementcroissante sur ]-

-1

4

5

0

0

0

+

4

3

6

+

0

1

2) la courbe de f admet deux points d’inflexions
3) f réalise une bijection de [ 6 , +

sur f 6;  

4) f admet deux extremums.
Partie B : Pour chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie Aucune
justification n’est demandée.
Soit f la fonction définie et dérivable sur l’intervalle 

3
; 3] dont la représentation graphique, dans
2

(O, I , J ) est la courbe (Cf) ci-dessous. On donne :

un repère orthonormé

*la courbe (Cf) admet en chacun des points B(0 ;2) et C (2 ;0)une tangente parallèle à l’axe des abscisses.
*La tangente à la courbe (Cf) au point A(1 ;1) passe par le point J (3 ; 2).
1) f ' 1 
a)

1
2

b)

3
2

c)

3
2

2) l’image de l’intervalle 0 3] par f est :
a){3}

b) [0,2]

c)]0,2]

3)Soit la fonction g(x)=f(
la limite g(x) en +
a)0

).

est :
b) 1

c) 2

-page 1/2-

Exercice n°2( 6points) :

 1  x2 1

Soit f la fonction définie sur IR par f  x   
x
0


si x  0
si x = 0

1) Calculer lim f  x  ; lim f  x  et interpréter graphiquement les résultats obtenues.
x 

x 

2) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0
3) Montrer que pour tout x non nul : f '  x  

1  x 2 1
x2 1 x2

et que : f '  x  ˃0

4) Dresser le tableau de variation de f
5) Montrer que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l’on précisera.
6) Etudier la continuité et la dérivabilité de f 1 sur J
1
4
7) Calculer f   puis en déduire  f 1  '  
2
3
8) On a représenté sur la feuille d’annexe la courbe de f sur IR .Tracer la courbe de f 1 dans le
même repère O ;i ; j





Exercice n°3( 4.5points)
: Soit l'équation (E): z 3 - 4 iz 2 - 6 z+ 4 i = 0
1)a) Montrer que 2i est une solution de (E).
3

2

2

b) Montrer que z - 4 iz - 6 z+ 4 i = (z-2i)(z -2iz-2)
, l'équation (E) . On donnera les solutions sous forme trigonométrique.

c)Résoudre alors dans





2) Soit dans le plan complexe muni du repère orthonormé direct O, i , j , les points A, B et C d'affixes
respectives -1+i , 1+i et 2i
Montrer que OACB est un carré
3) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tel que z = z+1- i
Exercice n °4( 5.5points)
:
  
Soit f la fonction définie sur   ;  par : f  x   10  6cos  x 
 2 2

1) a / Dresser le tableau de variation de f
b / Déterminer l’extremum de f en précisant leur nature.
2) a / Vérifier que  3  i   8  6i
2

b / Résoudre dans

l’équation : Z2  1  i  Z  2 1  i   0

  
3) Soit  un réel de   ;  . On pose E : Z2  1  ei  Z  2 1  ei   0
 2 2

a / Vérifier que  2  est une solution de ( E  )
b / Déduire l’autre solution de ( E  )

  
4) Soient A et M les oints d’affixes respectivement -2 et 1  ei avec  un réel de   ; 
 2 2
a / Calculer la distance AM en fonction de 

b / En déduire la valeur de  pour laquelle la distance AM est minimale.

-page 2/2-

Exercice n °2
Annexe a rendre


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