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Activité 6C du chap 5 etude mvt ds chp uniforme .pdf



Nom original: Activité 6C du chap 5 etude mvt ds chp uniforme.pdf
Auteur: carole GERVASI

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Activité 6 du chap. 5 : Mouvement d’un point dans un champ uniforme.
On repère la position d’un objet par la lettre M. Les coordonnées du vecteur
position
changent au cours du temps. On note ces coordonnées (x(t), y(t),
z(t)). On note les coordonnées du vecteur vitesse
de ce point M (vx(t), vy(t),
vz(t)), et les coordonnées de son vecteur accélération
(ax(t), ay(t), az(t)).
Dans toute cette activité on négligera les forces de frottements.
Le but de cette activité est de déterminer les coordonnées du point M pour
différents mouvements à partir de la seule description du problème.
A/ Mouvement dans le champ de pesanteur d’un objet lâché sans vitesse
initiale.
On lâche un objet de masse m d’une hauteur h.
On suppose que le champ de pesanteur est uniforme, c’est-àdire qu’on considère que l’intensité de la pesanteur g est la
même partout.
1. Faire le bilan des forces appliquées à l’objet. Donner l’expression de cette (ou
ces) force(s) en fonction des données du problème.
La seule force qui s’exerce que l’objet est le poids
.
de
2. Appliquer la 2 loi de Newton afin de déterminer le vecteur accélération.
On en déduit
.
3. En déduire les coordonnées du vecteur accélération.
Les coordonnées du vecteur accélération sont :

4. En intégrant les coordonnées du vecteur accélération, déterminer les
coordonnées du vecteur vitesse.
Comme l’accélération est la dérivée de la vitesse, on a :

On peut alors déterminer les coordonnées du vecteur vitesse à l’aide de primitives :

On détermine les constantes grâce aux conditions initiales (c’est-à-dire la vitesse à
l’instant t = 0 s).
Ici, à t = 0s, la vitesse est nulle, donc :

On en déduit que

.

Les coordonnées du vecteur vitesse sont donc :

5. A l’aide d’une nouvelle intégration, déterminer les coordonnées du vecteur
position.
On sait que :

Donc

On détermine les constantes grâce aux conditions initiales (c'est-à-dire la
position à l’instant t = 0 s).
Ici, à t = 0 s,
On en déduit que

et

Les coordonnées du vecteur position sont donc :

6. En déduire une description du mouvement.
Puisque le vecteur accélération est constant, le mouvement est rectiligne
uniformément varié.
On remarque que le mouvement est rectiligne puisque seule la coordonnée z(t)
varie.
B/ Mouvement dans le champ de pesanteur d’un objet lancé avec une vitesse
initiale.
On lance un objet de masse m depuis le point O, avec
une vitesse , faisant un angle α avec l’horizontale.
On suppose que le champ de pesanteur est uniforme,
c’est-à-dire qu’on considère que l’intensité de la
pesanteur g est la même partout.
1. Faire le bilan des forces appliquées à l’objet.
Donner l’expression de cette (ou ces) force(s) en fonction des données du
problème.
La seule force qui s’exerce que l’objet est le poids
.
de
2. Appliquer la 2 loi de Newton afin de déterminer le vecteur accélération.
On en déduit

.

3. En déduire les coordonnées du vecteur accélération.
Les coordonnées du vecteur accélération sont :

4. En intégrant les coordonnées du vecteur accélération, déterminer les
coordonnées du vecteur vitesse.
Comme l’accélération est la dérivée de la vitesse, on a :

On peut alors déterminer les coordonnées du vecteur vitesse à l’aide de primitives :

On détermine les constantes grâce aux conditions initiales (c’est-à-dire la vitesse à
l’instant t = 0 s).
Ici, à t = 0s,

On en déduit que

,

et

Les coordonnées du vecteur vitesse sont donc :

5. A l’aide d’une nouvelle intégration, déterminer les coordonnées du vecteur
position.
On sait que :

Donc

On détermine les constantes grâce aux conditions initiales (c'est-à-dire la position à
l’instant t = 0 s).
Ici, à t = 0 s,
On en déduit que
Les coordonnées du vecteur position sont donc :

6. Comme le mouvement est contenu dans le plan (O, , ), l’équation de la
trajectoire est donnée par la courbe
. On obtient cette équation en

éliminant le temps entre les expressions
l’équation de la trajectoire.
Comme
, on en déduit

et

. Trouver

.

On insère cette expression dans celle de z(t) :

7. En déduire une description de la trajectoire.
On obtient l’équation d’un parabole, donc la trajectoire est une parabole.
C/ Mouvement dans un champ électrostatique d’un objet lancé avec une
vitesse initiale.
Une particule de masse m et de charge q traverse un
champ électrostatique uniforme . La particule entre au
niveau du point O dans le champ électrostatique avec
une vitesse colinéaire à l’axe (Ox).
Le poids est négligeable devant la force électrostatique.
1. Faire le bilan des forces appliquées à l’objet.
Donner l’expression de cette (ou ces) force(s) en
fonction des données du problème.
La seule force qui s’exerce est la force électrostatique :
2. Appliquer la 2de loi de Newton afin de déterminer le vecteur accélération.
On en déduit

.

3. En déduire les coordonnées du vecteur accélération.
Les coordonnées du vecteur accélération sont :

4. En intégrant les coordonnées du vecteur accélération, déterminer les
coordonnées du vecteur vitesse.
Comme l’accélération est la dérivée de la vitesse, on a :

On peut alors déterminer les coordonnées du vecteur vitesse à l’aide de primitives :

On détermine les constantes grâce aux conditions initiales (c’est-à-dire la vitesse à
l’instant t = 0 s).
Ici, à t = 0s,

On en déduit que

,

.

Les coordonnées du vecteur vitesse sont donc :

5. A l’aide d’une nouvelle intégration, déterminer les coordonnées du vecteur
position.
On sait que :

Donc

On détermine les constantes grâce aux conditions initiales (c'est-à-dire la position à
l’instant t = 0 s).
Ici, à t = 0 s,
On en déduit que

Les coordonnées du vecteur position sont donc :

6. Comme le mouvement est contenu dans le plan (O, , ), l’équation de la
trajectoire est donnée par la courbe
. On obtient cette équation en
éliminant le temps entre les expressions
et
. Trouver
l’équation de la trajectoire.
On a
, soit
.
Comme

, on a

.

7. En déduire une description de la trajectoire.
On retrouve l’équation d’une parabole : la trajectoire est une parabole.
L’ESSENTIEL
Pour déterminer le vecteur accélération, on utilise la 2de loi de Newton.
Une fois qu’on a les coordonnées du vecteur accélération, on intègre afin d’obtenir
les coordonnées du vecteur vitesse, puis on intègre une seconde fois pour avoir les
coordonnées du vecteur position.
On utilise les valeurs des vecteurs vitesse et position à l’origine des dates afin de
déterminer les constantes d’intégration.
CE QU’IL FAUT CONNAITRE ET SAVOIR FAIRE
Déterminer les coordonnées du vecteur position d’un point à partir des
données du problème.
POUR S’ENTRAINER
11 p 157, 18 p 158 et 23 p 159.


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