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Nom original: ds14emeth2013-14.pdfTitre: Devoir de synthèse n°1 4ème Matématiques Mr Boudhaouia 03 12 13Auteur: kooli

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Lycée 2 Mars 34 Ksar Hellal

4ème M

Devoir de synthèse N° 1

Prof : Mr Boudhaouia

Durée : 3 h

Le 03/12/2013

Exercice 1 (5 points)
Soit
:

un paramètre complexe de module 2. On considère dans ℂ l’équation :
+ 3−

+2 1+

=0

1) a) Vérifier que 2 est une solution de l’équation
b) Résoudre dans ℂ l’équation

.

.

, ,

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct
les points , ,

d’affixes respectives : 2 , − , − +

et

a) Calculer

et déterminer le milieu du segment

b) Déterminer les valeurs de
3) Si les points ,

et

a) Montrer que le point

pour lesquelles ,

. On considère

et – − .

.
et

soient alignés.

ne sont pas alignés :
est le centre du triangle

b) Déterminer les valeurs de

.

pour lesquelles le triangle

soit isocèle en .

Exercice 2 (7 points)
Soit la fonction ! définie sur ℝ∗# par : ! % = 10 +
1) a) Etudier les variations de ! sur ℝ∗# .

&

'(

b) Déterminer ! ℝ∗# .

2) Soit la fonction ) définie sur ℝ∗# par : ) % = ! % − %

a) Montrer que ) réalise une bijection de ℝ∗# sur un intervalle que l’on déterminera.

b) En déduire que l’équation ! % = % admet dans ℝ∗# une unique solution * telle que

* ≥ 10.

3) Soit la suite réelle ,- définie par : .

,/ = 10
5
∀1 ∈ ℕ ; ,-#& = ! ,-

a) Montrer que ∀1 ∈ ℕ on a : ,- ≥ 10

b) Montrer que ∀% ≥ 10 on a : |! 7 % | ≤
c) En déduire que ∀1 ∈ ℕ on a :

|,-#& − *| ≤

Kooli Mohamed Hechmi

&

9//

1
|, − *|
500 -

http://mathematiques.tk/

-

&

< |,/ − *|
9//

d) Montrer que ∀1 ∈ ℕ on a :|,- − *| ≤ ;
e) Déterminer alors la limite de ,- .

Exercice 3 (8 points)
=' (

&

Soit la fonction ! définie sur 0 , 1 par : ! % = ;1 + sin ;
=
1) a) Montrer que ! est dérivable sur 0 , 1 .

=' (

b) Vérifier que ∀% ∈ 0 , 1 on a : ! 7 % = %ABC ;
c) Dresser le tableau de variation de !.

&

<<.

<.

2) a) Montrer que ! réalise une bijection de 0 , 1 sur D , E.
=

=

&

b) Montrer que la fonction ! F& réciproque de ! est dérivable sur E , D.
c) Etudier la dérivabilité de ! F& en

&

=

=

et

d) Calculer ! F& ; < et ! F& ′ ; <
=
=

=

=

3) Soit la fonction ) définie sur 0 , 1 par ) % = ! % − %
a) Montrer que ∀% ∈ 0 , 1 on a : 0 < ! 7 % < 1

b) Montrer que l’équation ) % = 0 admet dans 0 , 1 une unique solution *
c) En déduire le signe de ) % sur 0 , 1 .

&

,/ = *

5
4) Soit la suite réelle ,- définie par : I
∀1 ∈ ℕ ; ,-#& = ! ,a) Montrer que ∀1 ∈ ℕ on a : 0 ≤ ,- ≤ *

b) Montrer que la suite ,- est croissante.

c) En déduire que la suite ,- est convergente et déterminer sa limite.

Kooli Mohamed Hechmi

http://mathematiques.tk/


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