Serie Dec2013 4math (1) .pdf


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4 eme MATHS

SE´ RIES D’EXERCICES
MATHE´ MATIQUES :

D´ECEMBRE 2013

Pr : BEN FREDJ SOFIANE

an

e

Exercice 1 . L'unite de mesure est le entimetre. On onsidere un parallelepipede de dimensions x, x et 4 x et de volume V .

so
fi

1. Exprimer V (x) a l'aide de x. On pre isera le domaine
de de nition de la fon tion V .

2. Etudier
les variations de V puis determiner la valeur
de x pour laquelle le volume V soit maximal.

4 x

3. Montrer qu'il existe deux reels et de l'intervalle
[0; 4℄ tels que < et V ( ) = V ( ) = 6 m3.

x

Fr
ed
j

Exercice 2 . Soit f une fon tion deux fois derivable sur R telle que :

x

f′

0
0



1

1
2

1
2

1
2

Montrer que pour tout reel x, jf ′ (x)j 

2

Montrer que f est stri tement de roissante sur R
On suppose dans toute la suite que 1 < f (0)  0 et

1  f (1) < 0

Montrer que l'equation f (x) +1 = x admet une solution unique dans

B

4

en

1

3


0

On onsidere la suite (an ) de nie par a0 2℄0; 1[ et pour tout n de

 0, an 2 [0; 1℄
1
(b) Montrer que pour tout n  0, jan +1 j  jan j
2

℄0; 1[

N, an +1 = f (an )+1.

(a) Montrer que pour tout n

( ) Montrer par re urren e que pour tout n
(d) Deduire que (an ) onverge vers

1

 0, jan j  21n ja0 j

x

Exercice 3 . . Soit f la fon tion de nie sur I =℄ 2 ; 2 [ par : f (x) = 1+ tan x.
1. Montrer que f realise une bije tion de l'intervalle I sur l'intervalle J .
2. On note g la re iproque de f . Montrer que g est derivable sur J .

g′ (x) = 2
.
x 2x + 2
4. Donner le tableau de variations de g.
g(x)
5. Pre iser g(1), g′ (1), lim g(x), lim g(x) et lim
x→+
x→−
x→1 x 1

1
[0; +[ et que g′(x) = 1+ x2 .

(b) Donner le tableau de variation de g.

so
fi

1. (a) Montrer que g est derivable sur

an

Exercice 4 . Soit f la fon tion de nie sur I = [0; 2 [ par : f (x) = tan x.
On note g la bije tion re iproque de f .

e

1

3. Montrer que pour tout reel x 2 J ,

g(x)
et lim g(x).
x→+
x→0 x
2. Soit h la fon tion de nie sur [0;[ par : h (x) = x g(x).
( ) Determiner lim


Etudier
les variations de h .
Montrer que l'equation h (x) = 0 admet une solution unique dans
Donner le tableau de signe de h (x) selon les valeurs reels x.

Fr
ed
j

(a)
(b)
( )

[0; +[ que l'on pre isera.

!

en

a h (a)
3. Soit a > 0. On pose H (x) = x h (x) x3
.
a3
(a) Montrer qu'il existe 2℄0;a[ tel que H ′ ( ) = 0.
(b) Deduire qu'il existe 2℄0; 1[ tel que :
a h (a)
1
pour tout a > 0,
=
a3
3(1+ a2 2 ) .
a3
( ) Deduire que pour tout a > 0, 0  a h (a)  .

3

4. On onsidere la suite (Un ) de nie par : U0 = 1 et pour tout n

 0, Un +1 = h (Un ).

B

(a) Montrer que pour tout n  0, Un > 0.
(b) Montrer que la suite (Un ) est onvergente puis al uler sa limite.
( ) Montrer que

Un
= 1.
n →+ Un +1

(d) Montrer que :
(e) Cal uler

2

lim

lim

1

1

!

Un
1
=

Un Un +1 Un
Un +1 3(1+ Un2 2 )
!
1
1
1

n →+ Un Un +1

1

Un

.

Exercice 5 . IAJB est un losange, et soient C et D les symetriques respe tives des points
A et B par rapport au point J .
1

Montrer qu'il existe une unique isometrie ' qui envoie les points I;A et B respe tivement en J;C
et D.

2

Soit

− o

= ' Æ t→
JI u t→
JI

!

est la translation de ve teur JI .

Soit O le milieu de [IJ ℄ et soit

3

e

(a) Determiner les images respe tives de J;D et C par .
(b) Montrer que est une symetrie orthogonale que l'on pre isera l'axe.
( ) Deduire que ' est une symetrie glissante que l'on pre isera l'axe et le ve teur.

 la droite parallele a (AB) et passant par J .

an

−.
(a) Veri er que S Æ S(AB) = t→

IJ

− Æ SO o
u SO est la symetrie entrale
(b) Deduire la nature et les e lements ara teristiques de t→
IJ
de entre O.

so
fi

Pour tout point M du plan, On note M ′ son symetrique par rapport a la droite (AB) et par M ′′
l'image de M ′ par '. Montrer que M et M ′′ sont symetriques par rapport a J .

4

Exercice 6 . . Dans tout l'exer i e, (O; !
u ;!
v ) est un repere orthonormal dire t du plan

omplexe (unite graphique : 3 m).
p
On designe par A et
les points d'aÆxes zA = 1 et z
= 1+i 3.

(a)
(b)
( )
(d)

Montrer que T est une isometrie du plan.
Determiner les images respe tives par la transformation T du point A et du point
:
En deduire la nature et les e lements ara teristiques de la transformation T .
Determiner l'image par la transformation T du er le C de entre O et de rayon 1.

C ′ designe le er le de entre O′ d'aÆxe 2 et de rayon 1.
 tout point M du er le C d'aÆxe z, on asso ie le point M1
(a) A
!
d !

!

que: OM; O M1  [2℄.
3

en

2.

Fr
ed
j

1. On onsidere la transformation T du plan qui, a tout point M d'aÆxe z, asso ie le point M ′
d'aÆxe z′ tel que z′ = z + 2.

B

z
Determiner le module et un argument de 1

z

2

du er le

C′

d'aÆxe z1 tel



. En deduire que z1 = ei 3 z + 2.

(b) Pre iser la nature et les e lements ara teristiques de la transformation r qui a tout point

M du plan d'aÆxe z asso ie le point M1 d'aÆxe z1 telle que z1 = ei 3 z + 2.

3. (a) Determiner l'e riture omplexe de la transformation du plan T Æ r:
(b) Deduire la forme omplexe de la symetrie orthogonale d'axe (
O):

3


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