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Bac eco 1 ennocé .pdf


Nom original: Bac eco-1 -ennocé.pdf
Auteur: Utilisateur Windows

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Exercices sur les limites et la continuité - 2
Exercice 1
Soit la fonction

définie sur

par

. On note

sa courbe représentative.

Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses :
a) La courbe admet un centre de symétrie.
b) La fonction admet une limite en .
c) La fonction est dérivable en .
d) La droite d’équation
est asymptote à .
e) La droite d’équation
est asymptote à .
Exercice 2
Pour tout entier
, on considère la fonction
définie sur
par
.
a) Démontrer que pour tout entier naturel
, l’équation
admet une unique
solution
dans
b) A l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à 0,001 près de
et .
c) Comparer

et .

d) Montrer que la suite

est convergente et préciser sa limite.

Exercice 3
Partie A
On considère la fonction polynôme définie pour tout réel par
1) Étudier les variations de sur .
2) Montrer que l’équation
admet une solution unique et que
3) Dresser le tableau de signes de

.
.

Partie B
On considère la fonction

définie sur

par

On note la courbe représentative de
1) Étudier les variations de la fonction .
2) Déterminer les asymptotes à la courbe .
3) Écrire une équation de la droite
tangente à la courbe au point d’abscisse 0.
Étudier la position de la courbe par rapport à
sur l’intervalle
.
4) a) Écrire une équation de la droite
tangente à la courbe au point d’abscisse 1.
b) Montrer que pour tout réel

,

c) Étudier la position de la courbe par rapport à
sur l’intervalle
.
5) Représenter ,
et
dans un repère orthonormé d’unité graphique 4 cm.
Exercice 4- Racines d’un polynôme
1) a) Démontrer que tout polynôme de degré 3 s’annule au moins une fois sur .
b) Démontrer que tout polynôme de degré impair s’annule au moins une fois sur .
2) Tout polynôme de degré pair s’annule-t-il obligatoirement au moins une fois sur . On
pourra étudier les cas
et
.
3) On admet qu’un polynôme de degré 3 a au plus trois racines réelles.
a) En calculant les images par des réels
et
déterminer le nombre de solutions de
l'équation

.
b) Donner un exemple d’équation du troisième degré qui n’a qu’une seule solution dans .

Exercice 5 – Famille de courbes
Pour tout entier
, on considère la fonction
courbe représentative .

définie sur

par

et de

1) Après avoir conjecturé le résultat, étudier les positions relatives des courbes
et
,
pour tout entier
.
2) Demontrer que, pour tout
, l’équation
admet une unique solution
sur
3) La suite
est-elle monotone ? Converge-t-elle ?
Exercice 6 – Fonction limite d’une suite de fonctions
Pour tout entier

, on considère la fonction

définie sur

par

.

On note
la courbe représentative de .
1) a) Déterminer, pour
, les variations de .
b) Démontrer que les courbes
passent toutes par deux points fixes que l’on déterminera.
c) Soient deux entiers
et non nuls avec
. Comparer
et
selon les valeurs
de . En déduire les positions relatives de
et
.
2) a) On a représenté ci-dessous les courbes

,

,

,

et

.

Conjecturer, selon les valeurs du réel
, la limite de
quand
b) Démontrer la conjecture émise à la question précédente.
3) Pour tout réel

, on note :

On définit ainsi une fonction sur
a) Expliciter la fonction .
b) La fonction est-elle continue sur

.
?

tend vers

.

.


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