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Bac eco 1 .pdf



Nom original: Bac eco -1.pdf
Auteur: Utilisateur Windows

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Exercices sur les limites et la continuité – 2 - Corrigé
Exercice 1
Soit la fonction

définie sur

par

. On note

sa courbe représentative.

Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses :
a) La courbe admet un centre de symétrie. Vrai. est impaire car
donc admet l’origine pour centre de symétrie.
b) La fonction

admet une limite en . Vrai.

c) La fonction

est dérivable en . Vrai.

d) La droite d’équation

La droite d' équation
e) La droite d’équation
f) Vrai car si

La droite d' équation

est définie en donc

est asymptote à . Vrai car si

et

est asymptote au voisinage de
est asymptote à .
et

est asymptote au voisinage de

Exercice 2
Pour tout entier
, on considère la fonction définie sur
par
.
a) Démontrer que pour tout entier naturel
, l’équation
admet une unique solution
dans
Pour tout entier naturel
,
Sur
,
.
La fonction est continue (polynôme), strictement décroissante,
et
.
. Donc l’équation
admet une unique solution
dans
b) A l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à 0,001 près de
et
c) Comparer

Comme

et

.

et .

est strictement décroissante sur

d) Montrer que la suite

et

, on en déduit que

est convergente et préciser sa limite.

D’après les questions précédentes



Exercice 3
Partie A
On considère la fonction polynôme définie pour tout réel
1) Étudier les variations de sur .

par

est un polynôme de degré 2. Ses racines sont 0 et 1. Le coefficient
le tableau de signes :

.

est strictement positif d’où

Sur les intervalles
et
,
donc est strictement croissante.
Sur l’intervalle
donc est strictement décroissante.
On en déduit le tableau de variation suivant :

+

2) Montrer que l’équation
admet une solution unique et que
.
Sur
donc l’équation
n’a pas de solution.
Sur
, la fonction est continue car dérivable, strictement croissante,
et
vers
quand tend vers
.
donc l’équation
admet une solution unique α dans l’intervalle
donc
.
3) Dresser le tableau de signes de
Sur
Sur
, est strictement croissante et
.
D’où le tableau de signes :

donc

et

tend

Partie B
On considère la fonction

définie sur

par

On note la courbe représentative de
1) Étudier les variations de la fonction .

Quelque soit
donc
On en déduit les variations suivantes :
Si
,
donc est décroissante.
Si
donc est croissante.

a le même signe que

.

2) Déterminer les asymptotes à la courbe .

Par produit et quotient de limites on a :
La droite d’équation

La droite d’équation

(axe des abscisses) est asymptote à la courbe

est asymptote à la courbe .

3) Écrire une équation de la droite
a pour équation
Étudier la position de la courbe

Tableau de signes de

au voisinage de

tangente à la courbe
soit

par rapport à

au point d’abscisse 0.

sur l’intervalle

.

sur
1
0

Si
Si
Si

ou

donc est au dessus de .
donc est en dessous de .
, la courbe et la droite se croisent. Points d’intersection (0 ;1) et (1,0).

4) a) Écrire une équation de la droite
a pour équation

tangente à la courbe
soit

au point d’abscisse 1.

.

b) Montrer que pour tout réel

c) Étudier la position de la courbe

Étude du signe de

,

par rapport à

sur

sur l’intervalle

.

.
1

Si
Si

donc

est au dessus de

.

, la courbe et la droite se croisent. Points d’intersection (1,0).

5) Représenter ,
et
Tableau de valeurs
-0.75
-0.5
3.02
1.71

dans un repère orthonormé d’unité graphique 4 cm.
-0.25
1.27

0
1

0.25
0.74

0.5
0.44

0.75
0.18

1
0

2
-0.11

2.5
-0.09

3
-0.07

Exercice 4- Racines d’un polynôme
1) a) Démontrer que tout polynôme de degré 3 s’annule au moins une fois sur .
Toute fonction polynôme de degré 3 étant continue sur , d’après le théorème des valeurs
intermédiaires, elle s’annule au moins une fois.
b) Démontrer que tout polynôme de degré impair s’annule au moins une fois sur .
Toute fonction polynôme étant continue sur , d’après le théorème des valeurs intermédiaires, un
polynôme de degré impair s’annule au moins une fois.
2) Tout polynôme de degré pair s’annule-t-il obligatoirement au moins une fois sur . On pourra
étudier les cas
et
.
Un polynôme de degré impair ne s’annule pas nécessairement. Contre - exemple
Cette fonction est strictement positive sur . La parabole ne coupe pas l’axe des abscisses.
3) On admet qu’un polynôme de degré 3 a au plus trois racines réelles.
a) En calculant les images par des réels
et déterminer le nombre de solutions de l'équation

.
.
est continue sur . D’après les résultats précédents et le fait que
tend vers
quand x tend
vers
v
ff
q l’équation
a au
moins trois solutions dans , une entre
et , une entre et et une dans
donc exactement
trois puisqu’un polynôme de degré 3 a au plus trois racines réelles.
b) Donner un exemple d’équation du troisième degré qui n’a qu’une seule solution dans .
ne s’annule qu’une fois dans . De même pour toute fonction
avec
Exercice 5 – Famille de courbes
Pour tout entier
, on considère la fonction
courbe représentative .

définie sur

par

1) Après avoir conjecturé le résultat, étudier les positions relatives des courbes
entier
.

et de

et

, pour tout

Par lecture graphique, on peut conjecturer que sur l’intervalle
Pour tout
et
, on a :

est en dessous de

.

donc
Donc Pour tout

et

,

2) Démontrer que, pour tout
Sur
,
La fonction

, l’équation

admet une unique solution

.
est continue (fonction polynôme), strictement décroissante,
car
.
donc l'équation
admet une unique solution
sur

sur

.

et
.

3) La suite
est-elle monotone ? Converge-t-elle ?
D’après la première question
est en dessous de donc
Comme
, on en déduit que
.
La fonction est strictement décroissante sur
et
.
et décroissante
;
La suite (
est décroissante et minorée par 0
donc elle converge.

Exercice 6 – Fonction limite d’une suite de fonctions
Pour tout entier

, on considère la fonction

On note la courbe représentative de .
1) a) Déterminer, pour
, les variations de

Pour

,

et

b) Démontrer que les courbes
Quelque soit

.

.

donc

et

strictement décroissante.

passent toutes par deux points fixes que l’on déterminera.

passent par les points de coordonnées

c) Soient deux entiers et non nuls avec
déduire les positions relatives de
et .

Si
Si
, les courbes

et

et

. Comparer

.
soit
et
soit
et
donc
est au dessus de .
donc
est en dessous de

et
et

ou

par

,

Toutes les courbes

Si

définie sur

et

selon les valeurs de . En

.

se croisent. Points d’intersection (0 ;1) et (1 ; ).

3) a) On a représenté ci-dessous les courbes

,

,

,

et

.

Conjecturer, selon les valeurs du réel
, la limite de
quand tend vers
.
D’après le graphique, on peut distinguer trois cas :
et
Si
, les courbes semblent converger vers l’axe d’équation
quand tend vers
Si
, les courbes semblent converger vers l’axe des abscisses quand tend vers
Si

, on a un point fixe de coordonnées (1 ; ).

b) Démontrer la conjecture émise à la question précédente.
q

q

q

3) Pour tout réel

, on note :

On définit ainsi une fonction
a) Expliciter la fonction .

sur

b) La fonction est-elle continue sur
La fonction n’est pas continue en 1 car

.

?

q

.


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