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Exercice 4- Racines d’un polynôme
1) a) Démontrer que tout polynôme de degré 3 s’annule au moins une fois sur .
Toute fonction polynôme de degré 3 étant continue sur , d’après le théorème des valeurs
intermédiaires, elle s’annule au moins une fois.
b) Démontrer que tout polynôme de degré impair s’annule au moins une fois sur .
Toute fonction polynôme étant continue sur , d’après le théorème des valeurs intermédiaires, un
polynôme de degré impair s’annule au moins une fois.
2) Tout polynôme de degré pair s’annule-t-il obligatoirement au moins une fois sur . On pourra
étudier les cas
et
.
Un polynôme de degré impair ne s’annule pas nécessairement. Contre - exemple
Cette fonction est strictement positive sur . La parabole ne coupe pas l’axe des abscisses.
3) On admet qu’un polynôme de degré 3 a au plus trois racines réelles.
a) En calculant les images par des réels
et déterminer le nombre de solutions de l'équation

.
.
est continue sur . D’après les résultats précédents et le fait que
tend vers
quand x tend
vers
v
ff
q l’équation
a au
moins trois solutions dans , une entre
et , une entre et et une dans
donc exactement
trois puisqu’un polynôme de degré 3 a au plus trois racines réelles.
b) Donner un exemple d’équation du troisième degré qui n’a qu’une seule solution dans .
ne s’annule qu’une fois dans . De même pour toute fonction
avec
Exercice 5 – Famille de courbes
Pour tout entier
, on considère la fonction
courbe représentative .

définie sur

par

1) Après avoir conjecturé le résultat, étudier les positions relatives des courbes
entier
.

et de

et

, pour tout