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Théorème des valeurs intermédiaires
Exercice 1
On considère la fonction définie sur par
1) Étudier les limites aux bornes de l’ensemble de définition de .
2) Dériver et étudier le signe de la dérivée
sur
3) En déduire les variations de sur
4) Dresser le tableau de variations complet de
5) Démontrer que l’équation
admet exactement trois solutions sur
entière.

dont une

Exercice 2
Dénombrer les solutions de l’équation
Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. On justifiera les réponses.
Soit une fonction définie et dérivable sur
dont le tableau de variations est le suivant :
1
3
4

0
a)
b)
c)
d)
e)

1

Pour tout
, l’équation
admet au moins une solution.
Pour tout
, l’équation
admet exactement une solution.
La courbe représentative de admet deux asymptotes horizontales.
L’équation
admet exactement une solution.
Pour tout
,

Exercice 3
On considère la fonction définie sur par
Déterminer, selon les valeurs du réel , le nombre de solutions de l’équation
Exercice 4
Partie A
On considère la fonction définie sur par
1) Étudier le sens de variation de sur
2) Démontrer que l’équation
admet dans
Déterminer un encadrement de d’amplitude
3) Déterminer le signe de
sur .
Partie B
Soit la fonction

définie sur

par

1) a) Déterminer les limites de
b) Déterminer la limite de
2) a) Calculer

en
en

une unique solution que l’on note .
.

. On note

sa courbe représentative.

.
. Que peut-on en déduire pour la courbe

?

.

b) En déduire le sens de variation de
c) En utilisant la définition de

sur

, démontrer que

. En déduire un encadrement de


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