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bac eco 4 .pdf



Nom original: bac eco-4.pdf
Titre: Exercices_limites_continuite
Auteur: Info

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Exercices limites et continuité 2011-2012
Exercice 1 : limite finie en l'infini

1
Soit f la fonction définie sur]0;+ ∞[ par f(x) = 3 + .
x
1) Soit r un réel strictement positif et I = ]3 – r;3 + r[.
1
Montrer que, si x > , alors f(x) ∈ I.
r
2) En déduire la limite de f en + ∞, en utilisant la définition.
3) Pour quelles valeurs de x a-t-on f(x) – 3 < 10-3 ?
Exercice 2 : continuité
Soit f la fonction définie sur Y par :
f(x) = 2ax² + 5 si x < 2 et f(x) = 2x – 1 si x > 2.
Déterminer a pour que f soit continue en 2.
Exercice 3 : calcul de limites
Déterminer les limites suivantes :
x
a) lim
x→- ∞ 3 - sin x
x² - 4
b) lim+
x→ 2
2- x
1
cos x 2
c) lim
π
x→π/3
x3
Exercice 3 : QCM
-2x² + 7x – 4
est :
3-x
-∞

1) La limite en + ∞ de la fonction f définie sur Y \ {3} par f(x) =
0

2

+∞

3

2) La limite en - ∞ de la fonction f définie sur  - ∞ ; 
2 

x² + x3 + 1
par f(x) =
est :
3x – 4x3
1
1
+∞
-∞
3
4
(2x – 3)(x² + 1)
3) Soit f la fonction définie sur Y \ {-1 ;1} par f(x) =
.
(1 – x²)²
f admet pour limite en + ∞ :
0
-2
-∞
+∞

1

4) Soit f la fonction définie sur Y \ {3} par f(x) =

-2
.
(x – 3)²

La limite de f en 3 est :
-2
-∞

+∞

N’existe pas
1 – cos(x)
5) Soit f la fonction définie sur Y* par f(x) =
.
x
La limite en + ∞ de f est :
+∞
0
1
x3 + 1
6) Soit f la fonction définie sur Y\{-1} par f(x) =
.
x+1
La limite de f en -1 est :
1
3
+∞
7) Soit f la fonction définie sur ]3 ; + ∞[ par f(x) =.

N’existe pas

-∞

x- 3
.
x-3

La limite de f en 3 est :
+∞

3

1
2 3

8) Soit f la fonction définie sur ]1 ; 5[ par f(x) =.
La limite de f en 1 est :
-∞

+∞

1
3
x–4
.
x² - 6x + 5

1

-3

9) Soit f la fonction définie sur ]- ∞ ; -1[ par f(x) =. x² - 1 + x.
La limite de f en - ∞ est :
-∞

+∞

1
2

0

1
2
10) Soit f la fonction définie sur ]1 ; + ∞[ par f(x) =.
+ .
x – x² x
La limite de f en 1 est :
2
-∞
+∞
N’existe pas
1
11) Soit f la fonction définie sur Y* par f(x) =.x sin .
x
La limite de f en 1 est :
N’existe pas
+∞
0
1
12) Soit f la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par f(x) =. x
La limite de f en 0 est :
1
0

1
1+ .
x

+∞

2

13) La courbe représentative de la fonction f définie sur Y \ {-2} par
x² + 3x – 2
admet pour asymptote la droite d’équation :
f(x) =
x+2
y=x
x = -2
y=x+1
y = -2
14) La courbe représentative de la fonction f définie sur ]-1; + ∞[ par
x² - 3
f(x) =
admet pour asymptote la droite d’équation :
x+1

y=x

y=x-1

x = -1

x=-

3

Exercice 4 :
Calculer : lim ( 2x² + 5x + 1 + x + 1)
x→− ∞

3

Exercice 1 : limite finie en l'infini

1
1
< r (car la fonction inverse est décroissante sur ]0;+ ∞[.)
r
x
1
Donc 3 + < 3 + r
x
1
1
D'autre part, > -r car > 0 et r > 0
x
x
1
Donc 3 – r < 3 + < 3 + r
x
Soit f(x) ∈ I.
1
2) Pour x assez grand (supérieur à ) l'intervalle ouvert I contient toutes les valeurs
r
de f(x).
On en déduit que lim f(x) = 3

1) x >

x→+ ∞

3) f(x) – 3 < 10-3

1
< 10-3 x > 1000
x

Exercice 2 : continuité
f est continue en a si lim− f(x) = lim+ f(x)
x→2

x→2

lim− f(x) = 2×a×4 + 5 = 8a + 5

x→2

lim+ f(x) = 2×2 – 1 = 3

x→2

On doit avoir donc 8a + 5 = 3
1
D'où a = 4
Vérification graphique

4

Exercice 3 : calcul de limites

a) Pour tout x réel, -1 < sin x < 1
Donc 2 < 3 – sin x < 4
1
1
1
Donc <
<
4 3 – sin x 2
x
x
x
Pour x négatif, on a alors : <
<
2 3 – sin x 4
x
x
Or lim
= lim
=-∞
x→− ∞ 2
x→− ∞ 4
Le théorème des gendarmes appliqué à l'encadrement précédent assure que :
x
lim
=-∞
x→- ∞ 3 - sin x
b) Pour x ≠

2,

x² - 4
2-

x

=

(x + 2)(x – 2)×( 2 + x)
= - (x + 2)( 2 + x)
2-x

On en déduit alors facilement que : lim+
x→ 2

x² - 4
2-

x

= -8 2

c) On pose f(x) = cos(x)
1
 π
cos x –
 
f(x)

f
2
3
On a alors
=
π
π
xx3
3
cos x Par définition du nombre dérivé, on a : lim
x→π/3

x-

π
3

1
2

 π
= f'3
 

Or f'(x) = - sin(x)
cos x Donc lim
x→π/3

x-

π
3

1
2

= - sin

3
π
=3
2

5

Exercice 3 : QCM

-2x² + 7x – 4
est :
3-x
-∞

1) La limite en + ∞ de la fonction f définie sur Y \ {3} par f(x) =
0

+∞

2

3

2) La limite en - ∞ de la fonction f définie sur  - ∞ ; 
2 

x² + x3 + 1
par f(x) =
est :
3x – 4x3
1
1
+∞
-∞
3
4
(2x – 3)(x² + 1)
3) Soit f la fonction définie sur Y \ {-1 ;1} par f(x) =
.
(1 – x²)²
f admet pour limite en + ∞ :
0
-2
-∞
+∞
-2
4) Soit f la fonction définie sur Y \ {3} par f(x) =
.
(x – 3)²
La limite de f en 3 est :
-2
-∞
N’existe pas
+∞
1 – cos(x)
5) Soit f la fonction définie sur Y* par f(x) =
.
x
La limite en + ∞ de f est :
+∞
0
1
N’existe pas
3
x +1
6) Soit f la fonction définie sur Y\{-1} par f(x) =
.
x+1
La limite de f en -1 est :
1
3
+∞
-∞
7) Soit f la fonction définie sur ]3 ; + ∞[ par f(x) =.

x- 3
.
x-3

La limite de f en 3 est :
+∞

3

1
2 3

8) Soit f la fonction définie sur ]1 ; 5[ par f(x) =.
La limite de f en 1 est :
-∞

+∞

1

1

3
x–4
.
x² - 6x + 5
-3

9) Soit f la fonction définie sur ]- ∞ ; -1[ par f(x) =. x² - 1 + x.
La limite de f en - ∞ est :
-∞

+∞

0

1
2

6

2
1
+ .
10) Soit f la fonction définie sur ]1 ; + ∞[ par f(x) =.
x – x² x
La limite de f en 1 est :
2
-∞
+∞
N’existe pas
1
11) Soit f la fonction définie sur Y* par f(x) =.x sin .
x
La limite de f en 1 est :
N’existe pas
+∞
0
1
12) Soit f la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par f(x) =. x
La limite de f en 0 est :
1
0

1
1+ .
x

+∞

13) La courbe représentative de la fonction f définie sur Y \ {-2} par
x² + 3x – 2
f(x) =
admet pour asymptote la droite d’équation :
x+2
y=x
x = -2
y=x+1
y = -2
14) La courbe représentative de la fonction f définie sur ]-1; + ∞[ par
x² - 3
f(x) =
admet pour asymptote la droite d’équation :
x+1
y=x

y=x-1

x = -1

x=-

3

Exercice 4 :
Calculer : lim ( 2x² + 5x + 1 + x + 1)
x→− ∞

2x² + 5x + 1 + x + 1

=
=

( 2x² + 5x + 1 + x + 1)× ( 2x² + 5x + 1 – (x + 1))
2x² + 5x + 1 – (x + 1)
2x² + 5x + 1 – (x + 1)²
|x|

2+

5 1
+
-x-1
x x²

x(x + 3)

=
|x|

2+

5 1
+
-x-1
x x²

Pour x négatif, |x| = - x
Donc :
2x² + 5x + 1 + x + 1

=

x(x + 3)

-x


5 1
1
2+ +
+1+ 
x x²
x

=

x+3

-


5 1
1
2+ +
+1+ 
x x²
x

(car x ≠ 0)

7


5 1
1
+1+ =- 2-1
Or lim (x + 3) = - ∞ et lim - 
2+ +
x x²
x
x→− ∞
x→− ∞ 
Donc lim ( 2x² + 5x + 1 + x + 1) = + ∞
x→− ∞

8


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