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bac eco 6 .pdf



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Devoir surveillé n°1
Continuité – Composition – Dérivation – Graphes
E XERCICE 1.1 (3 points).
Pour tous les élèves.
p
Soient f et g deux fonctions
respectivement sur R+ et sur R par f (x) = x et g (x) = 2x 2 +x +1. Soit h la fonction
¡ définies
¢
définie sur R par h(x) = f g (x) .
1. Déterminer les valeurs exactes de h(−3), h(−1), h(0) et h(1).
2. Déterminer l’expression de h(x) en fonction de x.
¡
¢
3. On pose ℓ(x) = g f (x) . Sur R+ , a-t-on ℓ = h ? On justifiera.

E XERCICE 1.2 (3 points).
Pour tous les élèves.

La fonction f est définie sur R par : f (x) =

½

x 2 − 2x − 2
mx + 2

si x < 1
On appelle C m sa représentation graphique.
si x > 1

1. Dans le repère de la figure 1.1 de la présente page tracer en bleu C 1 et en vert C −2 (c’est-à-dire les représentations
de f pour m = 1 et m = −2).
2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction f est continue.

3. Déterminer m pour que f soit continue sur R. Tracer alors sa représentation en rouge.

F IGURE 1.1 – Repère de l’exercice 1.2

y
5

4

3

2

1

−3

−2

−1

O

1

2

3

4

x

−1

−2

−3

David ROBERT

23

E XERCICE 1.3 (5 points).
Pour les élèves ne suivant pas l’enseignement de spécialité.
Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [−2; 5], croissante sur chacun des intervalles [−2; 0] et [2 ; 5] et
décroissante sur l’intervalle [0 ; 2]. On note f ′ sa fonction dérivée sur l’intervalle [−2; 5].
La courbe Γ représentative de la fonction f est tracée sur la figure 1.2 de la présente page dans le plan muni d’un repère
orthogonal. Elle passe par les points A(−2; −9), B(0; −4), C(1; −4, 5), D(2; −5) et E(4 ; 0).
En chacun des points B et D la tangente à la courbe Γ est parallèle à l’axe des abscisses.
On note F le point de coordonnées (3; −6). La droite (CF) est la tangente à la courbe Γ au point C.
F IGURE 1.2 – Repère de l’exercice 1.3 (non spécialistes)

y

8

b

6
4
2
E
−3

−2

O
−2

−1

−4

1

2

C
b

b

−6
b

A

b

4

x

5

D

b

B

3

b

F

−8
b

−10
1. À l’aide des informations précédentes et de la figure, préciser sans justifier :
(a) les valeurs de f (0), f ′ (1) et f ′ (2).
(b) le signe de f ′ (x) suivant les valeurs du nombre réel x de l’intervalle [−2; 5].
(c) le signe de f (x) suivant les valeurs du nombre réel x de l’intervalle [−2; 5].
2. Parmi les trois représentations graphiques 1.3 de la présente page, une représente la fonction dérivée f ′ de f et
une autre représente une fonction h telle que h ′ = f sur [−2; 5].
Déterminer la courbe associée à Ia fonction f ′ et celle qui est associée à la fonction h.
Vous expliquerez avec soin les raisons de votre choix

F IGURE 1.3 – Les trois courbes possibles de l’exercice 1.3 (non spécialistes)
Courbe 1

Courbe 2

3 y

11 y

4

2

10

3

1

9

2

−2

1
−2

−1 O
−1

b

1

2

3

4

−3
−4
−5
−6
−7

−1 O
−1

x

−2

−2

24

Courbe 3

5 y

b

1

2

3

4

8

x

7
b

6

−3

5

−5

3

−7

1

−4

4

−6

2

−8
−9

b

−2

−1 O
−1

1

2

3

4

x

http ://perpendiculaires.free.fr/

E XERCICE 1.3 (5 points).
Pour les élèves suivant l’enseignement de spécialité.
Les questions sont indépendantes.
1. La figure ci-contre propose un graphe.
(a) Citer deux sommets non adjacents (justifier
brièvement).
(b) Ce graphe est-il connexe (justifier brièvement) ?
(c) Ce graphe contient-il un sous-graphe d’ordre 3
qui soit complet ? Et d’ordre 4 ? Si oui le(les) citer.
(d) Ce graphe contient-il un sous-graphe stable d’ordre 3 ? Si oui le citer.
(e) Déterminer graphiquement la distance entre chacun des sommets (on pourra faire un tableau).
(f ) Déterminer le diamètre de ce graphe.

A

B

C

F

E

D

2. Est-il possible que dans un groupe de six personnes (on justifiera chaque réponse) :
(a) quatre d’entre elles aient 4 amis, une d’entre elles 2 amis et la dernière 6 amis ?
(b) trois d’entre elles aient 5 amis, deux d’entre elles 3 amis et la dernière 2 amis ?
(c) deux d’entre elles aient 3 amis, deux d’entre elles 2 amis et les deux dernières 1 ami ?

David ROBERT

25

E XERCICE 1.4 (9 points).
Pour tous les élèves.
Soit f la fonction définie sur R\{3} par :
f (x) =

x 2 − 5x + 7
x −3

On appelle f ′ sa fonction dérivée et C sa représentation graphique.
1.

(a) Montrer que, pour tout x 6= 3, f ′ (x) =

x 2 −6x+8
.
(x−3)2

(b) Étudier le signe de f ′ (x) selon les valeurs de x.
(c) Dresser le tableau des variations de f en indiquant les extremums locaux.
2. Déterminer, s’il y en a, les coordonnées des points d’intersection de C avec les axes de coordonnées.
3. Déterminer, s’il y en a :
(a) les abscisses des points de C où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses ;
(b) une équation de T0 , la tangente à C au point d’abscisse 0.
4. Dans le repère de la figure 1.4 de la présente page où une partie de la courbe C a déjà été tracée :
(a) placer les points de C correspondant aux extremums locaux ;
(b) placer les éventuelles intersections de C avec les axes de coordonnées ;
(c) tracer les tangentes de la question 3 ;
(d) compléter le tracé de la courbe C .

F IGURE 1.4 – Figure de l’exercice 1.4

y

5

4

3

2

1
x
−3

−2

−1

O
−1
−2
−3
−4
−5

1

2

3

4

5

6


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