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المتتاليات .pdf


Nom original: المتتاليات.pdf
Titre: Microsoft Word - s-suites.DOC
Auteur: ayoub

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‫اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎت‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪1‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ‬

‫‪1‬‬
‫‪un + 1‬‬
‫‪2‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪5‬‬

‫‪ ( un )n≥1‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬

‫ﻟﺘﻜﻦ‬

‫ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪u1 = 2‬‬
‫‪5u + 3‬‬
‫‪u −3‬‬
‫‪= n‬‬
‫‪; vn = n‬‬
‫‪un + 3‬‬
‫‪un + 1‬‬

‫= ‪ un+1‬و ‪u1 = 1‬‬

‫‪u3 ; u2‬‬

‫‪ -1‬أﺣﺴﺐ‬

‫*‬

‫‪ -2‬ﺑﻴﻦ أن ‪un ≺ 2‬‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫‪ -3‬ﺑﻴﻦ أن ‪ ( un )n≥1‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ‪.‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪2‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ )‪ (un‬و )‪ (vn‬اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬

‫‪1‬‬
‫‪un − 2‬‬

‫‪u0 = 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪u = 5 − 9‬‬
‫‪ n+1‬‬
‫‪un + 1‬‬
‫‪‬‬

‫= ‪vn‬‬

‫‪ ( un )n≥1‬و ‪( vn )n≥1‬‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫‪ -3‬أدرس رﺗﺎﺑﺔ‬

‫‪ -1‬ﺑﻴﻦ أن ) ‪( vn‬‬
‫‪ -2‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ) ‪( un‬‬
‫‪ -3‬أﺣﺴﺐ‬

‫‪∑ vi‬‬
‫‪i =1‬‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ ‪.‬‬
‫ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ و ﺣﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ‬

‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪ n‬اﻟﻤﺠﻤﻮع ‪S n = ∑ vi‬‬
‫‪i =1‬‬

‫ﺛﻢ أﺣﺴﺐ‬

‫‪∑ ui‬‬
‫‪i =1‬‬

‫‪u0 = −1 ; u1 = 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪un+ 2 = un+1 − un‬‬
‫∈ ‪∀n‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ -1‬أﺣﺴﺐ ‪u3 ; u2‬‬
‫‪ -2‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ ) ‪( an‬‬

‫أ‪-‬‬

‫ب‪ -‬ﺑﻴﻦ أن‬

‫‪ -2‬ﺑﻴﻦ أن ‪un ≺ 3‬‬
‫‪ -3‬أدرس رﺗﺎﺑﺔ‬

‫‪un ≥ 2‬‬

‫*‬

‫‪(u n )n ≥1‬‬

‫‪ ( un )n≥1‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬

‫ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬
‫‪v1 = 12‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪un + 3vn‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪vn +1‬‬
‫‪4‬‬

‫و اﺳﺘﻨﺘﺞ أن‬

‫‪ -1‬ﻧﻀﻊ‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫‪i =n‬‬

‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪ S n = ∑ ui‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪n‬‬
‫‪i =1‬‬

‫‪ ( vn )n≥1‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ ﻋﺪدﻳﺘﻴﻦ ﻣﻌﺮﻓﺘﻴﻦ‬

‫‪u1 = 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪un + 2vn‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪un +1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫*‬

‫‪wn = vn − un‬‬

‫‪ --2‬أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن‬

‫‪v n = un − 3‬‬
‫ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪. n‬‬

‫ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ و أﺣﺴﺐ ‪an‬‬

‫*‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫ﺑﻴﻦ أن ‪ ( wn )n ≥1‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ و أﺣﺴﺐ ‪ wn‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪n‬‬

‫‪ -4‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ ( v n ) n ≥1‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬

‫أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪( vn )n≥1‬‬

‫‪1‬‬
‫‪an = un+1 − un‬‬
‫‪2‬‬

‫ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ و أﺣﺴﺐ ‪ bn‬ﺑﺪﻻﻟﺔ‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪7‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ ( un )n≥1‬و‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ و أﺣﺴﺐ‬

‫) ‪( bn‬‬

‫و‬

‫ت‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ‪ un‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪n‬‬

‫‪u3‬‬
‫*‬

‫) ‪( an‬‬

‫) ‪( bn‬‬

‫ﺣﻴﺚ‬

‫‪n‬‬

‫‪u1 = 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ u n + 1 = 3 u n + 2‬‬
‫‪ -1‬أﺣﺴﺐ ‪; u2‬‬

‫ﺑﻴﻦ أن‬

‫ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪n‬‬

‫= '‪ S n‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪. n‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪4‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ‬

‫) ‪ ( un‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‪:‬‬

‫‪; bn = 2n un‬‬

‫= ‪ S n‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪. n‬‬
‫‪i =n‬‬

‫ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ و أﺣﺴﺐ ‪vn‬‬

‫ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪n‬‬

‫اﻟﻤﻤﻴﺰة ‪.‬‬
‫‪i =n‬‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫‪( un )n≥1‬‬

‫أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪( vn )n≥1‬‬

‫‪-4‬‬

‫*‬

‫‪0 ≤ un ≤ 3‬‬

‫‪ -2‬ﺑﻴﻦ أن‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪6‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬

‫‪ u0 = 1 ; u1 = 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪un + 2 = 2un+1 − un‬‬

‫‪vn = un+1 − un‬‬

‫‪un+1‬‬

‫‪i =n‬‬

‫) ‪ ( un‬و ) ‪ ( vn‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﺑـ‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫*‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫‪ -1‬أﺣﺴﺐ ‪ u2‬و ‪ u3‬و ‪v2‬‬

‫ﺑﻴﻦ أن ) ‪ ( vn‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ و أﺣﺴﺐ ‪ vn‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪n‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪3‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ‬

‫ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ ﻋﺪدﻳﺘﻴﻦ ﻣﻌﺮﻓﺘﻴﻦ‬

‫‪vn‬‬

‫‪( u n )n ≥ 1‬‬

‫ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ و أن‬

‫‪( vn )n≥1‬‬

‫ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ‬
‫ب‪ -‬ﺑﻴﻦ أن‬

‫‪un ≺v n‬‬

‫*‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫ج‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ‪ ( un ) n≥1‬ﻣﻜﺒﻮرة و أن ‪ ( vn )n≥1‬ﻣﺼﻐﻮرة‬


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