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Nom original: C3_EG1.pdfTitre: CHAP 3: Fonctions numériques de plusieurs variablesAuteur: Ilham HAMOUD BOULALEH

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CHAP 3: Fonctions num´eriques de plusieurs variables
Ilham HAMOUD BOULALEH
Universit´
e de Djibouti
Enseignante en Math´
ematique

EG 1 Math´ematique 1: ANALYSE
Ann´ee 2013-2014

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 21

Sommaire

1

Notion de fonction de plusieurs variables

2

Domaine de d´efinition

3

R´epresentation graphique

4

D´eriv´ees partielles
D´eriv´ees partielles d’ordre 1
D´eriv´ees partielles d’ordre 2
Plan Tangent
Point critique et extrema

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 21

Sommaire

1

Notion de fonction de plusieurs variables

2

Domaine de d´efinition

3

R´epresentation graphique

4

D´eriv´ees partielles
D´eriv´ees partielles d’ordre 1
D´eriv´ees partielles d’ordre 2
Plan Tangent
Point critique et extrema

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
ee 201
/ 21

Notion de fonction de plusieurs variables
Dans le chapitre pr´ec´edent, nous avons etudier les fonctions d’une
variable y = f (x) o`
u x ∈ R. Dans des nombreux probl`emes, on doit
d´ecrire le comportement d’une grandeur en fonction des aures
grandeurs. De fa¸con g´en´erale, une fonction de plusieurs variables est
une fonction dont l’ensemble de d´epart est l’ensemble des couples
(x, y ) ou de triplets (x, y , z) ou des p-uplets (x1 , x2 , ..., xp ) de
nombres r´eels et l’ensemble d’arriv´ee est R.

Exemple
Un capital K plac´e a i `a interˆet compos´e produit au bout de 7 ans un
i 7
int´erˆet f (K , i) = K ((1 + 100
) − 1). On dit que l’int´erˆet produit est
une fonction de deux variables K et i.

f :

R2

→R

(K , i) 7→ f (K , i) = K ((1 +
I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

i 7
) − 1)
100

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ematique 1: ANALYSE Ann´
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Sommaire

1

Notion de fonction de plusieurs variables

2

Domaine de d´efinition

3

R´epresentation graphique

4

D´eriv´ees partielles
D´eriv´ees partielles d’ordre 1
D´eriv´ees partielles d’ordre 2
Plan Tangent
Point critique et extrema

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

EG 1 Math´
ematique 1: ANALYSE Ann´
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Il s’agit du plus grand ensemble sur lequel, ´etant donn´ee l’expression
d’une fonction, on peut d´efinir cette fonction ?

Exemple 1
f : R2 → R, f (x, y ) = x+y1 −1
L’ensemble de d´efinition est
Df = {(x, y ) ∈ R2 tel que x + y − 1 6= 0}. Donc Df est l’ensemble
R2 priv´e de la droite y = −x + 1.

Exemple 2


f (x, y ) = x + y − 1.
f (x, y ) est d´efinie sur Df = {(x, y ) ∈ R2 tel que x + y − 1 ≥ 0}

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

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/ 21

Sommaire

1

Notion de fonction de plusieurs variables

2

Domaine de d´efinition

3

R´epresentation graphique

4

D´eriv´ees partielles
D´eriv´ees partielles d’ordre 1
D´eriv´ees partielles d’ordre 2
Plan Tangent
Point critique et extrema

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

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Une fonction de 2 variables f d´efinie sur Df fait correspondre `a tout
les points (x, y )d’un unique r´eel z = f (x, y ). On peut r´epresenter f
dans l’espace par l’ensemble de coordonn´ees (x, y , f (x, y )). Le
graphique de f est une surface.

D´efinition
Soit f une fonction sur Df ∈ R pour tout c ∈ R, on appelle courbe de
niveau c la courbe d’equation f (x, y ) − c.

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Exemple 1
f (x, y ) = 3x + y
La courbe de niveau c = 2 est la droite d’´equation 3x + y = 2.

Exemple 2
f (x, y ) = x 2 + y 2 . Tracer la courbe de niveau c=4.
f (x, y√) = 4 ⇔ x 2 + y 2 = 4. C’est le cercle de centre 0 et de rayon
R = 4 = 2.

- x 2 + y 2 = K cercle de centre 0 et de rayon R = K .
2
- (x − a)2 +
√(y − b) = K , c’est le cercle de centre A(a, b) et de
rayon R = K .

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ANALYSE

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Sommaire

1

Notion de fonction de plusieurs variables

2

Domaine de d´efinition

3

R´epresentation graphique

4

D´eriv´ees partielles
D´eriv´ees partielles d’ordre 1
D´eriv´ees partielles d’ordre 2
Plan Tangent
Point critique et extrema

I.Hamoud Boulaleh ( )

ANALYSE

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D´eriv´ees partielles

Soit f une fonction de deux variables d´efinies sur Df . Lorsque l’on fixe
une de deux variables, on obtient une fonction d’une seule variable
que l’on doit ´etudier. On appelle ces fonctions, les applications
partielles de f .
Il y’a deux types :
pour y0 fix´e : fx = f (x, y0 ) ;
pour x0 fix´e : fy = f (x0 , y ).

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D´eriv´ees partielles d’ordre 1
D´efinition
Si pour tout y fix´e, l’application partielle fx est d´erivable, alors on dit
df
f admet une d´eriv´ee partielle par rapport `a x et on note fx0 (x) ou dx

Exemple 1
f (x, y ) = 3x + y , fx0 (x, y ) =

df (x,y )
dx

= 3 et fy0 (x, y ) =

df (x,y )
dy

=1

Exemple 2
Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre 1 de f .
f (x, y ) = x 2 y 3 − xy 5 + x 4 + 2y
df (x, y )
= 2xy 3 − y 5 + 4x 3
dx
df (x, y )
= x 2 (3y 2 ) − x(5y 4 ) + 2
dy
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ANALYSE

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D´eriv´ees partielles d’ordre 2
D´efinition
Si une fonction f admet des d´eriv´ees partielles d’ordre 1 alors les deux
df
df
fonctions dx
et dy
sont deux fonctions de 2 variables qui peuvent
admettre des d´eriv´ees partielles. Le cas ´ech´eant, on les appelle
d´eriv´ees partielles d’ordre
2 et on les note :

2
d
df
∗fx00 = ddxf2 = dx
dx
∗fy00 =
∗fxy00 =
∗fyx00 =





d
df
d 2f
= dy
dy
dy 2

d 2f
d
df
dxdy = dx dy
d 2f
d
df
dydx = dy dx

Remarque :
on a souvent

d 2f
dxdy

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=

d 2f
dydx

ANALYSE

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D´eriv´ees partielles d’ordre 2

Exemple 1
Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre 2 des fonctions suivantes :
a) f (x, y ) = 3x + y et b)f (x, y ) = x 2 y 2 − xy 5 + x 4 + 2y
Reponse a
df (x,y )
=3
dx
df (x,y )
0
∗fy (x, y ) = dy = 1
2 f (x,y )
∗fxy00 (x, y ) = d dxdy
=

∗fx0 (x, y ) =

I.Hamoud Boulaleh ( )

d 2 f (x,y )
=0
dx 2
d 2 f (x,y )
00
et fy (x, y ) = dy 2 = 0
2 f (x,y )
0 et fyx00 (x, y ) = d dydx
=

et fx00 (x, y ) =

ANALYSE

0

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D´eriv´ees partielles d’ordre 2
Exemple 1
Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre 2 des fonctions suivantes :
a) f (x, y ) = 3x + y et b)f (x, y ) = x 2 y 2 − xy 5 + x 4 + 2y
Reponse b
df (x,y )
= 2xy 2 − y 5 + 4x 3 et
dx
2
)
fx00 (x, y ) = d fdx(x,y
= 2y 2 + 12x 2
2
)
= x 2 × 2y − x × 5y 4 + 2 et
∗fy0 (x, y ) = df (x,y
dy
2
)
fy00 (x, y ) = d fdy(x,y
= 2x 2 − 20xy 3
2
2 f (x,y )
2 f (x,y )
∗fxy00 (x, y ) = d dxdy
= 4xy − 5y 4 et fyx00 (x, y ) = d dydx

∗fx0 (x, y ) =

= 4xy − 5y 4

Remarque :
d 2 f (x,y )
dxdy

=

d 2 f (x,y )
dydx

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ANALYSE

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Plan tangent
L’´equation du plan tangent a la surface r´epresentant f au point (a, b)
est :
z=

df (a, b)
df (a, b)
(x − a) +
(y − b) + f (a, b)
dx
dy

La valeur approch´ee de f (x0 + h, y0 + k) au voisinage du point x0 , y0 )
est :
f (x0 + h, y0 + k) =

df (x0 , y0 )
df (x0 , y0 )
×h+
× k + f (x0 , y0 )
dx
dy

Exemple
f (x, y ) = x 2 y
a) D´eterminer l’´equation du plan tangent `a Cf au point (1, 1).
b) Donner la valeur approch´ee de f (1, 02; 1, 01).
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ANALYSE

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Plan tangent

Correction
f (x, y ) = x 2 y
a) D´eterminer l’´equation du plan tangent `a f (1, 1).
)
)
= 2xy ; df (x,y
= x2
∗ df (x,y
dx
dy
z=
z
z
z
z

df (a,b)
dx (x
df (1,1)
dx (x

df (a,b)
dy (y − b) + f (a, b)
df (1,1)
− 1) + dy (y − 1) + f (1, 1)
1 × (x − 1) + 12 × (y − 1) + 12

− a) +

=
=2×1×
×1
= 2(x − 1) + (y − 1) + 1 = 2x − 2 + y − 1 + 1
= 2x + y − 2

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ANALYSE

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Plan tangent

Correction
f (x, y ) = x 2 y
b) Donner la valeur approch´ee de f (1, 02; 1, 01).
x0 + h = 1, 02 ⇔ x0 = 1 et h = 0, 02
y0 + h = 1, 01 ⇔ y0 = 1 et k = 0, 01
f (x0 + h, y0 + k) = df (xdx0 ,y0 ) × h + df (xdy0 ,y0 ) × k + f (x0 , y0 )
(1,1)
(1,1)
f (1, 02; 1, 01) = df dx
× 0, 02 + df dy
× 0, 01 + f (1, 1)
f (1, 02; 1, 01) = 2 × 0, 02 + 1 × 0, 01 + 1
f (1, 02; 1, 01) = 1, 05

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ANALYSE

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Point critique et extrema

Th´eor`eme
Si une fonction de 2 variables afmet un extremum (minimum ou
maximum) local au point (x0 , y0 ) alors les conditions
df (x0 , y0 )
df (x0 , y0 )
= 0 et
=0
dx
dy
doivent ˆetre v´erifi´ees simultan´ement. Les points qui v´erifient les
conditions sont appel´es points critiques.

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ANALYSE

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Point critique et extrema

Th´eor`eme
Si une fonction de 2 variables admet un point critique A(x0 , y0 ), on
pose :
2 (x ,y )
2 (x ,y )
2
0 0
0 0
0 ,y0 )
r = d f dx
, s = d fdxdy
et t = d f (x
2
y2
i) Si rt − s 2 > 0 et r > 0 alors f admet un minimum local en (x0 , y0 ) ;
ii) Si rt − s 2 > 0 et r < 0 alors f admet un maximum local en
(x0 , y0 ) ;
iii) Si rt − s 2 < 0 alors f admet un point selle en (x0 , y0 ) ;
iv) Si rt − s 2 = 0 aucune solution n’est possible.

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ANALYSE

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Point critique et extrema

Exemple
f (x, y ) = 3x 2 − 2xy + y 2 − 8y
Recherche des points critiques :
df (x,y )
dx

= 6x − 2y et

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df (x,y )
dy

= −2x + 2y − 8

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