RESUME FONCTION RECIPROQUE (1) .pdf


Nom original: RESUME FONCTION RECIPROQUE (1).pdf
Titre: L
Auteur: Boubaker

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L.S.C.J.Gafsa

RESUME DE COURS
(Fonction réciproque)

Prof :B.Tabbabi

Définition :
Soient I un intervalle de IR et f une fonction définie sur I.
On dit que f réalise une bijection de I sur f( I ) ( ou également f est une bijection de I sur f(I)) si pour tout
réel y de f(I) il existe un seul réel x de I tel que f(x)  y .
Théorème
Si une fonction f est strictement monotone sur un intervalle I de IR alors f réalise une bijection de I sur f(I).
Si de plus f est continue sur I alors f(I) est un intervalle J.
Définition
Soit f une bijection d’un intervalle I sur f(I).On appelle fonction réciproque de f qu’on note f 1 la fonction
définie sur f(I) vérifiant : pour tout x de f(I) ; f 1 ( x)  y si et seulement si f(y)  x .
Conséquences
Soit f une bijection d’un intervalle I sur f(I) ; f 1 est la fonction réciproque de f.On a alors :
.pour tout x de I , f 1 f ( x)  x .
.pour tout y de f(I) , f f 1 ( y )  y .
Courbes de f et de f 1 dans un repère du plan
Les courbes représentatives respectives d’une bijection f et de sa réciproque f 1 sont symétriques par
rapport à la première bissectrice du repère  : y  x .
Théorème
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I de IR .
f 1 étant la fonction réciproque de f ; on a :
.Si f est continue sur I alors f 1 est continue sur f(I).
.f et f 1 ont même sens de variation respectivement sur I et f(I).
Théorème
Soit f une fonction strictement monotone d’un intervalle I sur f(I).
Soit a un réel de I .On note b  f (a).
.Si f est dérivable en a et f '(a)  0 alors f 1 est dérivable en b et on a :  f 1  (b) 

1
.
f '(a)
est dérivable sur f(I) et on a pour tout y de
'

.Si f est dérivable sur I et pour tout x de I , f’(x)  0 alors f 1
'
1
f(I) ;  f 1  ( y) 
.
f '  f 1 ( y) 

voir verso 

x ;n  2 .

n

Fonction x
Théorème

Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
la fonction x
x n réalise une bijection de IR sur IR .
Sa fonction réciproque définie sur IR est appelée fonction racine n-ième.
Conséquence
.Pour tous x et y de IR on a : xn  y  x  n y .
. lim

x 

n

x   .

Opérations sur les racines n-ième.
Soient n et p deux entiers tous les deux supérieurs ou égaux à 2.Soient a et b deux réels positifs.On a :
p
n
a na
np
p
np
n n
a  a ; n a  a ; n ab  n a . n b ; n  n ; n a  a p ; n a p  n a ; n a  a .
b
b

 

 

Théorème
Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
n
x est continue sur 0,  et dérivable sur 0,  et pour tout x >0 on a :
La fonction f : x
f '( x) 



1
n

x n 1

Fonction x

n

n


u( x) ; n  2.

Théorème
Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I de IR .
La fonction f : x

n

u( x) est dérivable sur I et on pour tout x de I ; f '( x) 
n

**************************



u '( x)
n

u ( x) 

n 1



.


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