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Titre: Microsoft Word - Physique _Formulaire v2.1_.doc
Auteur: Jonathan

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Thermodynamique
Formulaire

Grandeurs
Formule

Nom

Symbole

Masse volumique

ρ

Pression

P

Nombre de moles

n

n=

Force d’impact

fi

fi = m

Température

T

T=

Energie cinétique

EC

Energie thermique
ou énergie interne

U

Capacité calorifique molaire
à volume constant

Cv

Capacité calorifique massique
(ou spécifique) à volume constant

cv

Débit de chaleur

H

Capacité calorifique molaire
à pression constante

Cp

Travail d’une transformation
quelconque

W

m
V

kg


F
= ρ gh
S

Pa

N
NA

mol

ρ=
P=

EC =

2v x
δt

N

2EC
nd kB

K, °C, °F

n
1
mv ² = d kB T
2
2

J

U = N ( E C + E R + EV ) =

nd
NkB T
2

J

nd
Q
R=
nΔT
2

J
J
ou
K .mol
K

CV
n R
Q
= d
=
mm
2 mm mΔT

J
K .kg

Q
Δm
= cV
ΔTf
Δt
Δt

J
s

CV =
cV =

Unité

H=

CP = CV + R
W =



Vf

Vi

P(V ).dV

J
J
ou
K .mol
K

J

Remarques

N = nombre de particules
Moyenne : fi = fi .

δt
Δt

=m

2v x δ t
2v
.
=m x
δ t Δt
Δt

En réalité : U = N(EC + E R + EV + WP )
ER : Energie de rotation | EV = Energie de vibration

Q = cV mΔT = CV nΔT

Constantes, unités et autres
Constante de Boltzman

kB

1,38.10-23

Nombre d’Avogadro

NA

6,022.1023

Constante universelle des gaz parfaits

R

8,31

Masse d’un nucléon

mn

1,66.10-24 g

NA . kB = R
n.R = N.kB

kT

Conductivité thermique

⎛W ⎞


⎝ Km ⎠

Variation d’entropie de la thermalisation (isochore)

( T + T2 )
nd
NkB ln 1
2
4T1T2

Variation d’entropie de la détente libre irréversible (isotherme)

NkB ln2

Conservation de l’entropie dans le moteur de Carnot

QB QH
+
=0
TB
TH

Vitesse moyenne quadratique

v mq

Rendement d’une transformation
thermodynamique

r

Coefficient adiabatique

γ

Fonction entropie

S(A)

Variation d’entropie

dS

v mq =

v2

r=

W
Q

2
γ = 1+
nd

S( A) =

dQ

0→A T

dS =

dQ
T

2

Degré Celsius

°C

Fahrenheit

°F

9⎞

1°F = ⎜ 32 + ⎟ °C
5⎠


Kelvin

K

1 K = (1 − 273,15) °C

Calorie

cal

1 cal = 4,186 J

Pa
Pascal

N


M
T ²L

1 atm = 760 Torr = 101325 Pa
= 1,01325 bar = 1013,25 mbar
Joule

J

N.m

M.L²


Principes, lois et théorèmes
Loi des gaz parfaits

PV = NkB T = nRT
SΔT
L

Principe Zéro

Pour deux gaz de températures initiales Ti1 et Ti2, et si Ti1 > Ti2
⇒ Ti1 > Tf > Ti2

ΔU = Q – W

Loi de conductivité

H = kT

Relation de Laplace
(adiabatiques)

PV γ = cste

Premier principe

Inégalité de Clausius

dS ≥ de S

Second principe

dS =

dQ
+ di S = d e S + di S
T

Bilans énergétiques, rendements et entropies

Détente isobare

ΔU

Q

W

nd
P ΔV
2

⎛ nd

⎜ + 1⎟ P ΔV
⎝ 2


P ΔV

nd
NkB ΔT
2

Détente isochore

0
⎛ Vf ⎞
NkB TR .ln ⎜ ⎟
⎝ Vi ⎠

Détente isotherme

0

Détente adiabatique

nd
NkB ΔT
2

Cycle de Carnot
QH = −

Cycle d’Otto (Moteur à combustion
interne)

Cycle de
Brayton



0

QB
TH
TB

r

ΔS

⎛ nd

⎜ + 1⎟
2



−1

⎛ Tf ⎞
⎛ nd

⎜ + 1⎟ NkB ln ⎜ ⎟
⎝ 2

⎝ Ti ⎠

0

⎛ Tf ⎞
nd
NkB ln ⎜ ⎟
2
⎝ Ti ⎠

1

⎛ Vf ⎞
NkB ln ⎜ ⎟
⎝ Vi ⎠

nd
NkB ΔT
2

0

⎛V ⎞
NkB ln ⎜ b ⎟ (TH − TB ) = Q H − Q B
⎝ Va ⎠

1−

⎛ ⎛ V ⎞γ −1 ⎞
nd
NkB [ ΔTbc − ΔTad ] = Q H − Q B = Q H ⎜ 1 − ⎜ b ⎟ ⎟
⎜ ⎝ Va ⎠ ⎟
2



⎛V ⎞
1− ⎜ b ⎟
⎝ Va ⎠

TB
TH
γ −1

Moteur à turbine à gaz

nd
NkB (Tc − Tb )
2

nd
NkB (Ta − Tb + Tc − Td )
2

Ta − Td
+1
Tc − Tb

Réfrigérateur

nd
NkB (Ta − Td )
2

nd
NkB (Ta − Tb )
2

Ta − Td
Tb − Ta

0

Electromagnétisme
Formulaire

Electrostatique
Nom

Symbole

Formule

Unité

Force électrique

G
F

G
G
q q JG
qq G
dWP
F = k0 1 2 1r = q0 E = 0 1r = −

dx
4πε r²

N

Champ électrique

G
E

G
q JG
q JG
E = k0 1r =
1r = − grad(V )

4πε r²

N
C

Remarques
Q =

G

∫ ρ(x).dV

VS

G
σ G
Pour un plan : E =
1S
2ε 0
G
λ G
Pour un fil rectiligne : E =
1R
2π Rε 0
G σ G
Pour un condensateur plan : E = 1x
ε0

G
G
E0
Pour un condensateur plan (muni d’un isolant) : E =
1+ χ
G

Δq m
dV 'm

C


V’ est infinitésimal

G

Δq m
dS 'm

C


S’ est infinitésimal

G

Δq m
dl 'm

C
m

l’ est infinitésimal

Densité de charges volumique

ρ( x m )

G

ρ( x m ) =

Densité de charges surfacique

σ (x m )

G

σ (x m ) =

Densité de charges linéique

λ(x m )

G

λ(x m ) =

Flux

Φ

Φ=

Densité de particules

η(r)

Densité de flux

JG
F

Energie potentielle
Energie mécanique
(ou énergie totale)

η(r) =

ΔN
Δt

s-1

Φ
4π r²v

1

1
sm²

WP

JG
G
Φ JG
F = η(r)v =
1r
4π r²
G
WP (x) = q0 E x = q0V = E m − EC

Em (ou Etot)

E m = WP + EC

J

J
Rappel : EC =

1
mv ²
2

G
Approximation dipolaire : V (x) ≈

Potentiel électrique

Différence de potentiel

V

ΔV

WP (x)
q
=
q0
4πε 0 r

V =

ΔV =

G G G
ΔWP (x)
= − ∫ E(x).dl
q0
i→f

V

G G
p. 1r
+
4πε 0 r 4πε 0 r²

Q

Décharge d’un condensateur : V (t) = V (0).e



1
t
RC

1
− t ⎞

Charge d’un condensateur : V (t) = V0 ⎜ 1 − e RC ⎟



V

Celle-ci est toujours positive
Capacité d’une sphère : 4πε 0 R

Capacité électrique

N

Q εS
C= =
V
e

C

F

Pour les condensateurs en parallèle : C = ∑ Cn
n =1

Pour les condensateurs en série : C

−1

N

= ∑ Cn−1
n =1

Energie stockée dans un
condensateur

We

We =

1
CV ²
2

Densité d’énergie d’un champ
dans un condensateur

we

we =

1 G
ε E
2

Courant électrique

I

Conductivité électrique

σe

Résistivité

ρe

2

Δq
= qeη p Sv
Δt
G
G
J qeη p v
σe = G = G
E
E
I=

ρe =

1

σe

J
J


A
1
Ωm
Ωm
N

Résistance électrique

R=

R

ρL
L
= e
σ eS
S

Pour les résistances en série : R = ∑ Rn
Ω

n =1

N

Pour les résistances en parallèle : R = ∑ Rn−1
−1

n =1

Puissance dissipée

P

Energie thermique

ΔQ ou ΔW

P=

ΔW

= VI = RI² =
Δt
R

W

ΔQ = ΔW = P Δt

J

Magnétostatique
Nom

Formule

Symbole

Remarques

Unité

G
La norme de cette force vaut : FM = LIB sinθ
G
II
Pour deux fils conducteurs : FM = µ0 L 1 2
2π r
L est la longueur du fil conduisant le courant, S est sa
section. I est le courant
B est la norme du champ magnétique
G
θ est l’angle entre le fil conducteur et le champ B

Force magnétique

G
FM

G
G
G G
FM = L S J × B = Ne fM

N

Force de Lorentz

G
fM

G
G G
fM = qv × B

N

C’est la force magnétique appliquée à une seule particule

Force centrifuge
(d’un mouvement circulaire uniforme)

G
fC

G
v² G
fC = −m 1⊥
R

N

Dans la trajectoire circulaire uniforme d’une particule
G
G
G G
déviée par un champ B : fM + fC = 0

Rayon de déflexion

R

mv
qB

m

C’est le rayon du cercle tracé par la trajectoire circulaire
G
uniforme d’une particule déviée par un champ B

Densité surfacique de courant

JS

NI
= nI
L

A
m

Champ magnétique

G
B

R=
JS =

G µI G
B = 0 1θ
2π r

T

n est le nombre de spires par mètre : n =

N
L

r est la distance séparant le champ magnétique et le fil
conduisant le courant.
G

τ = IBS sinθ

Moment d’un couple de forces exercées
sur une spire

τ

Magnéton de Bohr

µB

Perméabilité relative

G

µr

G

G

G

µB =

vrqe
2

G

G

τ = IS 1S × B = mM × B

µr =

µ
µ0

Nm

G
G
G
mM est le moment magnétique, tel que mM = IS 1S
G
G
θ est l’angle que forme le vecteur 1S avec le champ B

A.m²

C’est le moment magnétique d’un électron tournant autour
du noyau. v est sa vitesse, qe sa charge, et r le rayon qui le
sépare du noyau. Pour l’hydrogène, on a : µB = 9,33.10 −24
µr > 1

si le matériau concerné est paramagnétique
µr  1 si le matériau concerné est ferromagnétique
0 < µr < 1 si le matériau concerné est diamagnétique

Autres notions

Principes, lois et théorèmes

G
G
G G
p = ∫ ρ(x ').x '.dV ' = qα E

G
Fm =

JJJG
Fmn

Moment dipolaire
ou polarisation microscopique

G
p

Polarisation macroscopique

G
P

Moment de force sur un dipôle

τ

Permittivité

ε

Permittivité relative

εr

Mobilité des électrons

μ

μ = − Gm

Effet Joule

Densité de courant

G
J

G
G
J = qeη p v

Théorème de Stokes

ΔQ
= IV
Δt
G G
G G
F
.
dl
=
rotF
v∫
∫ .dS

N



n =1≠ m

Loi de Biot et Savart

G G
G µ I dL × 1
0
r
B=
4π ∫C r²

τ = p×E

Loi de Lenz

Le champ magnétique induit par la spire est
opposé à la variation du champ extérieur

ε = ε 0 (1 + χ )

Equation de continuité

G ∂ρ
divJ +
=0
∂t

G
G
G
P = χε 0 E = ηa p

G

Principe de superposition

εr =

G

G

G

ε
= 1+ χ
ε0

I = σ eS

Loi d’Ohm

v

E

V V
=
L R

H=

C

SC

Déformabilité des atomes

α

Théorème d’Ostrogradski

G G
G
F
.
dS
=
divF
v∫
∫ .dV

Susceptibilité des atomes

χ

Application de Stokes

G
rotE s = 0

Densité volumique de charges
électriques

ηe

Application d’Ostrogradski

G
divB = 0

Flux électrique/magnétique

Φ

Force électromotrice

ε

ΦE =

JG G

v∫ E.dS

ΦM =

S

G G

ε = v∫ E.dl = −
C

G G

v∫ B.dS
S

∂ G G
B.dS
∂t S∫C

S

VS

Norme du champ magnétique

Equations de Maxwell

dans certains cas particuliers

JG G

Loi locale de Gauss
(Electrostatique)

G ρ
div E =

Loi locale de Gauss
(Magnétostatique)

G
div B = 0

G G
∂ G G
v∫ E.dl = − ∂t ∫ B.dS
C
SC

Loi locale de Faraday

G
G
∂B
rot E = −
∂t

G
G G
⎛G
∂E ⎞ G
v∫ B.dl = µ0 ∫ ⎜⎜ J + ε 0 ∂t ⎟⎟ .dS
C
SC ⎝


Loi Locale
d’Ampère-Maxwell

G
G
⎛G
∂E ⎞
rot B = µ0 ⎜ J + ε 0


∂t ⎟⎠


1

Champ généré par un fil
rectiligne

µ0 I
2π r

Loi de Gauss
(Electrostatique)

v∫ E.dS = ε ∫ ρ.dV

Champ généré par une paroi
de courant

µ0
JS
2

Loi de Gauss
(Magnétostatique)

v∫ B.dS = 0

Champ généré par une spire

µ0 I
sin³ϕ
2R

Loi d’induction de
Faraday

Champ généré par un
solénoïde

µ0
JS ( cos ϕmin − cos ϕmax )
2

Loi
d’Ampère-Maxwell

S

VS

G G

S

Constantes
Constante de proportionnalité fondamentale

k0

Permittivité du vide

ε0

Perméabilité du vide

µ0

Célérité d’une onde électromagnétique

c

Constante de Planck

h

k 0 = 8,987.10 9

ε0 =

c=

Nm²


1
= 8,85.10 −12
4π k0


Nm²

µ0 = 4π 10 −7

Tm
A

1
= 35,4π 10 −19 ≈ 3.10 8
µ0 ε 0

6,6 10-34

m
s

J.s

ε

Opérateurs

Unités

Gradient

G


G
∂λ G ∂λ G ∂λ G
1x +
1y +
1z
∇λ = grad(λ) =
∂x
∂y
∂z

λ = f (x, y , z)

Newton

N

M.L


Divergence

G


G
GG
∂Fy ∂Fz
∂F
∇F = div(F ) = x +
+
∂x
∂y
∂z

G
G
G
G
F = Fx 1x + Fy 1y + Fz 1z

Coulomb

C

I.T

G
G
G
G
F = Fx 1x + Fy 1y + Fz 1z

Joule

J

N.m

M.L²


λ = f (x, y , z)

Volt

V

J
C

M.L²
I.T ³

Farad

F

C
V

I 2 .T 4
M.L2

Ampère

A

C
s

I

Ohm

Ω

V
A

M.L²
I².T ³

Rotationnel

Laplacien

G
1x

G


G
G G
∇ × F = rot(F ) = ∂ x

G
1y

G
1z

∂y

∂z

Fx

Fy

Fz

G G
∂²λ ∂²λ ∂²λ
Δλ = ∇.∇λ =
+
+
∂x ² ∂y ² ∂z²

Δ

Propriétés des opérateurs
Equation de Laplace

G G
div ( grad ) = ∇. ∇F = ΔF = 0

Watt

W

J
s

M.L²


Application de Stokes

G
G
G
rot ( grad F ) = ∇ × ∇F = 0

Tesla

T

N
A.m

M
I.T ²

Application d’Ostrogradski

G
G G G
div rot F = ∇. ∇ × F = 0

Henry

H

Tm²
A

ML²
I²T ²

( )

( )

(

)

(

)

Oscillations et Ondes
Formulaire

Courants Alternatifs
Nom

Symbole

Formule

Unité

Champ induit

G
Ei

G
G G
Ei = v × B

V
m

Inductance

L

Courant
(Charge d’un inducteur)

Courant

IC

L=
IC =

ΦM
I

H

R
− t ⎞
V⎛
L
⎜1− e ⎟
R⎝


A

V − RL t
e
R

A

ID

ID =

Energie magnétique

Wm

Wm =

1
LI²
2

J

Densité d’énergie magnétique

wm

wM =


2 µ0

J


(Décharge d’un inducteur)

Relation entre tensions

Ns
Vp
Np

Vs =

(dans un transformateur)

ηt

Pulsation

ω

Période

T

T=

Fréquence

f

f=

Tension efficace

Veff

Veff =

Courant efficace

Ieff

Ieff =

ηt =

NS et NP sont respectivement le nombre de spires de
l’inducteur secondaire et de l’inducteur primaire

Pu
2R I²
= 1− t
P
P

Rendement d’un transformateur

ω=


= 2π f
T


rad
s

1
f

s

1 ω
=
T 2π

1
f

ω

Remarques

=

Vmax
2
Imax
2

V
A

2
Veff

Puissance moyenne

P

Réactance d’un inducteur

XL

X L = Lω

Ω

Ieff =

Réactance d’un condensateur

XC

XC =

1


Ω

Ieff =

Impédance

Z

Largeur de résonance

Ω

2
P = Veff Ieff = RIeff
=

R

W

XL
Veff
XC

L’impédance n’est pas un phaseur car ce n’est pas un
nombre complexe tournant

Z = R + i ( XL − XC )
Ω=

Veff

R
2L

Oscillations
Nom

Symbole

Formule

Unité

Remarques
Constante κ pour un ressort : κ = mω02

Force de rappel d’un ressort

frapp

frapp = −κ x + mg

N

Constante κ pour une molécule : κ = E p '' ( 0 )
Energie potentielle d’un ressort : E p = κ

Frottement visqueux (amortissement)

Phaseur

fvisq

X

fvisq = −2α x

X = X eiϕ

N


+ mgx
2

α est le coefficient d’amortissement
X est l’amplitude du mouvement. ϕ est sa phase
Grâce aux phaseurs, on passe d’une équation différentielle
⎧ d
= iω

à une équation algébrique en remplaçant : ⎨ dt
⎪⎩ x = X

Le phaseur d’une onde électromagnétique dans un milieu
ε
diélectrique est : X = − 0 χ (ω ) Eω eikz
ηa q

Oscillateurs
Nom

Symbole

Equation

Solution

Remarques
k
m
g
Pulsation propre d’un pendule : ω0 =
l
1
Pulsation propre d’un circuit RLC : ω0 =
LC
1
Energie totale d’un circuit LC : We + Wm = LI02
2

Pulsation propre d’un ressort : ω0 =

x (t ) = a cos (ω0t + ϕ )

Oscillateur Harmonique

OH

x = −ω x
2
0

a est l’amplitude

ϕ est le déphasage

x (t ) = a cos (ωat + ϕ ) e −αt

Oscillateur Linéaire
Amorti

OLA

x = −ω x − 2α x
2
a

où ω = ω − α ²
2
a

et α =

2
0

λ

Exemple : équation d’un circuit RLC : I = −ω02 I − 2α I
R
Coefficient d’amortissement d’un circuit RLC : α =
2L

2m

Coefficient d’amortissement : α =

λ
2m

Amplitude de la force harmonique : a =
Phaseur du mouvement : X =
Oscillateur Linéaire
Amorti Forcé

OLAF

x = −ω02 x − 2α x + a cos (ωt )

x (t ) = Re ⎡⎣ Xeiωt ⎤⎦

F
m

a

ω − ω + 2α iω
2
0

2

Exemple pour un circuit RLC : I = −ω02 I − 2α I + a cos(ωt)
V ω
R
1
; α=
; a= m
ω02 =
LC
L
2L
Exemple pour une onde électromagnétique dans un milieu
diélectrique : a =

qEω
m

Ondes
Nom

Formule

Symbole

Remarques
δ l est la zone compressée

Module de compressibilité

Pa = B

B

Nombre d’onde

k

k=

Susceptibilité

χ

χ =α

Indice de réfraction

n

Vitesses de phase/groupe

vϕ , v g

vϕ =

f
v
1± E
v

Récepteur en mouvement
T
T' =
v
1± R
v

ω

k=

Compressibilité de l’air : B = γ Patm
G
G
ω
Il existe pour chaque onde, un vecteur d’onde k tel que k = k =
c

ω
c

Pour une onde électromagnétique dans un milieu dispersif:
η q²
1
χ (ω ) = a
2
2
ε 0 m ω0 − ω + 2α iω

ηa q
ε0

vg =

k

ω
c

Vitesse d’une onde dans un milieu autre que le vide : v =

ωn = vn

π
L

c
n

1
k ' (ω )

Relation de dispersion dans les ondes de matière : k (ω ) = 2

n

Modes propres de résonance

Emetteur en mouvement
f'=

Δl

n = εr

Relation de dispersion

Effet Doppler

Δl est la longueur totale
Pa est la pression appliquée sur le solide

δl

kn = n

π
L

λn =

Modes de battement
2L
n

Si on est dans le cas d’une corde, on peut trouver la
longueur qu’elle doit avoir pour entrer en résonance :
L=n

λn
2

TB =

λB =


ω1 − ω2

1
1

λ1



1

λ2

ωmπ
h

Equations d’ondes
Equation

Nom

Remarques
FT
µ
(FT est la force de tension, µ est sa masse linéique)
kΔl²
Vitesse dans le cas du solide cristallin : v ² =
m
( Δl est l’espace entre deux atomes, m leur masse)

Vitesse dans le cas de la corde : v ² =

Equation standard d’une onde matérielle

∂²x ( z,t )
∂t²

= v²

∂²x ( z,t )
∂z²

Vitesse dans le cas du solide de type milieu continu : v ² =
( ρ est la masse volumique)

Equations d’une onde de pression

∂²P ( z )
∂²P ( z )
= v²
∂t²
∂z²

Equations d’une onde électromagnétique

G
G
∂²E
ΔE = μ0 ε 0
∂t²
G
G
∂²B
ΔB = μ0 ε 0
∂t²

Equation de Schrödinger

∂ψ ( z,t )
∂t

=i

Et = At cos ( ktx x − ωt ) e − β z

Solution de l’équation d’une interférence
de deux ondes

E int = 2 A cos ( kx x ) cos ( kz z − ωt )

Et =

Solutions :

G
⎧ E ( xG,t ) =
⎪⎪
⎨ G G
⎪ B ( x,t ) =
⎪⎩

A
cos ( kr − ωt )
r

γ P0
ρ

G
A cos
G
A
cos
c

h ∂²ψ ( z,t )
4π m ∂z²

Solution de l’équation d’une onde évanescente

Solution de l’équation d’une onde diffractée

Pour l’air : v ² =

β = Im [ktz ]

G

(kxG − ωt )
G
(kxG − ωt )

B

ρ

Optique ondulatoire et géométrique
Intensité du champ électrique

I

f = f'

2

G
= A

2

R

Coefficient de réflexion :
n − n2
R= 1
n1 + n2

T

Coefficient de réfraction (ou
transmission :
2n1
T=
n1 + n2

f

Distance focale objet

f’

Distance focale image

p

Position de l’objet

p’

Position de l’image

Coefficients de Fresnel

Distances focales

G
I= E

Positions

Loi de Snell-Descartes
Relation de l’expérience de Young
(voir schéma ci-contre)

Formule de conjugaison
Facteur d’agrandissement

sinθt λt n1
=
=
sinθi λi n2
x=

mλ d
a

1 1 1
= +
f ' p p'
M=

p'
p


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